수학 개념 노트전체 과목

대푯값

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
자료 전체를 대표하는 값인 대푯값으로 평균, 중앙값, 최빈값을 구하고, 극단적인 값이 있는지·자료가 수인지에 따라 알맞은 대푯값을 골라요.
  1. 1변량과 대푯값
  2. 2평균
  3. 3중앙값
  4. 4최빈값
  5. 5자료에 알맞은 대푯값
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1변량과 대푯값

어느 모둠 학생 55 명이 일주일 동안 읽은 책의 수가 다음과 같아요.6, 8, 7, 5, 96,\ 8,\ 7,\ 5,\ 9이 모둠이 책을 「대체로 몇 권」 읽었는지를 수 하나로 말하려면 어떻게 해야 할까요?
이처럼 자료 전체를 대표하는 값을 정하여 자료의 특징을 간단히 나타내요.

정의변량과 대푯값
자료를 수량으로 나타낸 것을 변량이라 한다.
위 자료에서 66, 88, 77, 55, 99 가 각각 변량이다.
자료 전체의 중심 경향이나 특징을 대표하는 값을 대푯값이라 한다.
대푯값으로는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
학생
대푯값은 평균 하나만 있는 거 아니에요?
쌤
평균이 가장 많이 쓰이지만 중앙값과 최빈값도 대푯값이에요. 자료에 따라 어떤 값이 자료를 더 잘 대표하는지가 달라요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
자료 3, 5, 5, 73,\ 5,\ 5,\ 7 에서 변량은 모두 몇 개일까요?

2평균

정의평균
변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값을 평균이라 한다.(평균)=(변량의 총합)(변량의 개수)(\text{평균})=\frac{(\text{변량의 총합})}{(\text{변량의 개수})}
책의 수 6, 8, 7, 5, 96,\ 8,\ 7,\ 5,\ 9 의 평균
6+8+7+5+9=356+8+7+5+9=35
↳변량의 총합
(평균)=355=7 (권)(\text{평균})=\frac{35}{5}=7\ (\text{권})
↳변량의 개수 55 로 나눠요
학생
평균은 꼭 변량 중 하나예요?
쌤
아니에요. 1, 21,\ 2 의 평균은 1.51.5 처럼 자료에 없는 값일 수 있어요. 다만 평균은 항상 가장 작은 변량과 가장 큰 변량 사이에 있어요.
성질평균의 식을 거꾸로 쓰기
(변량의 총합)=(평균)×(변량의 개수)(\text{변량의 총합})=(\text{평균})\times(\text{변량의 개수})평균이 주어지고 변량 하나를 모를 때는 먼저 총합을 구한 뒤 아는 변량을 뺀다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
변량 5, 8, x, 75,\ 8,\ x,\ 7 의 평균이 66 일 때 xx 의 값은?
자세히 보기펼치기예제성질 더 보기
변량 4, 7, x, 94,\ 7,\ x,\ 9 의 평균이 66 일 때 xx 의 값
6×4=246\times4=24
↳총합 == 평균 6×6\times 개수 44
x=24−(4+7+9)=4x=24-(4+7+9)=4
↳아는 변량을 빼요
성질평균의 검산
평균은 항상 가장 작은 변량 이상, 가장 큰 변량 이하이다.
위의 책의 수에서 가장 작은 값은 55, 가장 큰 값은 99 이고 평균 77 은 그 사이에 있다.
계산한 평균이 이 범위를 벗어나면 계산이 틀린 것이다.

3중앙값

정의중앙값
자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열할 때 한가운데 있는 값을 중앙값이라 한다.
학생
중앙값은 그냥 가운데 있는 값이에요?
쌤
네, 하지만 먼저 크기순으로 나열해야 해요. 변량의 개수가 짝수이면 한가운데 두 값의 평균이 중앙값이에요.
공식변량이 nn 개일 때 중앙값
nn 이 홀수
n+12번째 변량\displaystyle \frac{n+1}{2}\text{번째 변량}
한가운데 값이 하나이다.
nn 이 짝수
n2번째와 (n2+1)번째 변량의 평균\displaystyle \frac{n}{2}\text{번째와 }\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{번째 변량의 평균}
한가운데 값이 두 개이므로 두 값의 평균을 구한다.
변량의 개수가 짝수
8, 3, 10, 5, 6, 128,\ 3,\ 10,\ 5,\ 6,\ 12
3, 5, 6, 8, 10, 123,\ 5,\ \boxed{6},\ \boxed{8},\ 10,\ 12
↳크기순으로 나열
6+82=7\frac{6+8}{2}=7
↳33 번째와 44 번째의 평균
(중앙값)=7(\text{중앙값})=7
↳자료에 없는 값일 수도 있어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
9, 2, 6, 49,\ 2,\ 6,\ 4 의 중앙값은?
중앙값을 구할 때 크기순 나열
✗ 틀린 풀이
8, 3, 10, 5, 6, 128,\ 3,\ 10,\ 5,\ 6,\ 12 에서 가운데 두 값
10+52=7.5\frac{10+5}{2}=7.5
왜 틀렸나 중앙값은 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 뒤 한가운데에 있는 값으로 구한다.
✓ 바른 풀이
크기순으로 나열한 3, 5, 6, 8, 10, 123,\ 5,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12 에서 가운데 두 값
6+82=7\frac{6+8}{2}=7
확인 방법: 중앙값 77 보다 작은 값과 큰 값이 각각 33 개씩인지 센다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
중앙값을 구하는 순서
  1. 1
    변량을 작은 값부터 크기순으로 나열해요.
    같은 값이 여러 번 나오면 모두 적어요.
  2. 2
    변량의 개수 nn 이 홀수인지 짝수인지 확인해요.
  3. 3
    홀수이면 n+12\frac{n+1}{2} 번째 값을 골라요.
  4. 4
    짝수이면 n2\frac{n}{2} 번째 값과 그다음 값의 평균을 구해요.
변량의 개수가 홀수
3, 7, 4, 9, 53,\ 7,\ 4,\ 9,\ 5
3, 4, 5, 7, 93,\ 4,\ \boxed{5},\ 7,\ 9
↳크기순으로 나열
5+12=3 (번째)\frac{5+1}{2}=3\ (\text{번째})
↳55 개이므로 33 번째
(중앙값)=5(\text{중앙값})=5

4최빈값

정의최빈값
자료의 변량 중에서 가장 많이 나타나는 값을 최빈값이라 한다.
예: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 41,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4 에서 33 이 세 번으로 가장 많으므로 최빈값은 33 이다.
학생
최빈값은 꼭 하나예요?
쌤
아니요. 가장 많이 나타나는 값이 두 개면 둘 다 최빈값이고, 모두 같은 횟수로 나타나면 최빈값이 없어요. 혈액형처럼 수가 아닌 자료에도 쓸 수 있어요.
성질최빈값의 성질
최빈값은 두 개 이상일 수도 있다.
5, 7, 7, 8, 9, 95,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9 에서 77 과 99 가 두 번씩 가장 많이 나타나므로 최빈값은 77, 99 이다.
모든 변량이 같은 횟수로 나타나면 최빈값은 없다.
1, 2, 3, 41,\ 2,\ 3,\ 4 는 모두 한 번씩 나타나므로 최빈값이 없다.
최빈값은 좋아하는 색깔, 혈액형처럼 수로 나타낼 수 없는 자료에서도 구할 수 있다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2, 4, 4, 6, 6, 82,\ 4,\ 4,\ 6,\ 6,\ 8 의 최빈값은?
공식세 대푯값 비교
평균
(변량의 총합)(변량의 개수)\displaystyle \frac{(\text{변량의 총합})}{(\text{변량의 개수})}
모든 변량을 반영한다. 극단적인 값의 영향을 크게 받는다.
중앙값
크기순으로 한가운데 값\displaystyle \text{크기순으로 한가운데 값}
극단적인 값의 영향을 적게 받는다.
최빈값
가장 많이 나타나는 값\displaystyle \text{가장 많이 나타나는 값}
수가 아닌 자료에도 쓸 수 있다. 두 개 이상이거나 없을 수 있다.

5자료에 알맞은 대푯값

어느 동아리 학생 66 명이 한 달 동안 받은 용돈(천 원)이 다음과 같아요.200, 210, 220, 230, 240, 1500200,\ 210,\ 220,\ 230,\ 240,\ 1500

평균과 중앙값 비교
(평균)=200+210+220+230+240+15006=26006=433.3⋯(\text{평균})=\frac{200+210+220+230+240+1500}{6}=\frac{2600}{6}=433.3\cdots
↳15001500 이 끌어올려요
(중앙값)=220+2302=225(\text{중앙값})=\frac{220+230}{2}=225
↳가운데 두 값의 평균
학생
평균이 항상 가장 좋은 대푯값이에요?
쌤
대부분은 평균을 써요. 하지만 아주 크거나 아주 작은 값이 끼어 있으면 평균이 그쪽으로 끌려가서 중앙값이 더 알맞아요.
성질대푯값을 고르는 기준
일반적으로 가장 많이 쓰는 대푯값은 평균이다.
자료에 매우 크거나 매우 작은 값, 즉 극단적인 값이 있으면 평균보다 중앙값이 자료의 중심을 더 잘 나타낸다.
가장 많이 팔린 옷의 치수, 가장 좋아하는 과목처럼 「가장 많은 것」이 궁금하거나 자료가 수가 아니면 최빈값이 알맞다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
변량 3, 4, 5, 6, 1003,\ 4,\ 5,\ 6,\ 100 의 대푯값으로 가장 알맞은 것은?
극단적인 값이 있을 때
✗ 틀린 풀이
용돈 자료의 대푯값은 평균 433.3⋯433.3\cdots 천 원이다.
왜 틀렸나 극단적인 값이 있으면 평균이 그 값에 크게 끌려가므로 대푯값으로 중앙값이 알맞다.
✓ 바른 풀이
용돈 자료의 대푯값으로는 중앙값 225225 천 원이 알맞다.
평균은 극단적인 값 15001500 의 영향을 크게 받아 대부분의 학생보다 큰 값이 되었어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

66 명 중 55 명이 240240 천 원 이하인데 평균은 433433 천 원이 넘어요. 극단적인 값 15001500 이 평균을 크게 끌어올렸기 때문이에요.
15001500 을 빼고 남은 55 명의 평균을 구하면 11005=220\frac{1100}{5}=220 으로, 남은 55 명의 중앙값 220220 과 같아져요.
자료가 얼마나 흩어져 있는지는 산포도로 나타내요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 하나의 수로 나타낸 값을 대푯값이라 한다. 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
  2. 2평균은 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값이다.
  3. 3중앙값은 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열할 때 한가운데 있는 값이다. 변량의 개수가 짝수이면 한가운데 있는 두 값의 평균이 중앙값이다.
  4. 4최빈값은 자료에서 가장 많이 나타나는 값이다. 극단적인 값이 있으면 평균보다 중앙값이, 수로 나타낼 수 없는 자료는 최빈값이 대푯값으로 알맞다.
✗ 자주 하는 실수
  • 중앙값을 구할 때 크기순으로 나열하지 않고 주어진 순서 그대로 한가운데 값을 골라요.
  • 변량의 개수가 짝수일 때 가운데 두 값 중 하나를 중앙값으로 답해요(두 값의 평균을 구해야 해요).
  • 최빈값을 「가장 큰 변량」이나 「가장 많이 나타난 횟수」로 착각해요(2, 3, 3, 32,\ 3,\ 3,\ 3 의 최빈값은 세 번 나온 변량 33 이에요).
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구하시오.4, 8, 6, 10, 7, 6, 9, 64,\ 8,\ 6,\ 10,\ 7,\ 6,\ 9,\ 6
  2. 예제 2
    다음 자료의 평균이 88 일 때, xx 의 값을 구하시오.6, 8, x, 7, 96,\ 8,\ x,\ 7,\ 9
  3. 예제 3
    다음은 변량 66 개를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값이 1010 일 때, xx 의 값을 구하시오.3, 5, 9, x, 12, 153,\ 5,\ 9,\ x,\ 12,\ 15

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