정의 중복순열
서로 다른 n n n r r r n n n r r r 중복순열 이라 한다.n Π r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r} n Π r r > n r>n r > n n Π r = n r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^r n Π r = n r 쌤 돼요. 같은 것을 다시 써도 되니까 자리마다 고를 수 있는 개수가 줄지 않아요. 2 2 2 5 5 5 2 5 = 32 2^5=32 2 5 = 32 a , b , c a,\ b,\ c a , b , c 2 2 2 3 3 3 곱의 법칙 에 의해3 Π 2 = 3 × 3 = 3 2 = 9 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=3\times3=3^2=9 3 Π 2 = 3 × 3 = 3 2 = 9
이전 개념 a , b , c a,\ b,\ c a , b , c 2 2 2 첫째 자리
3 3 3 가지마다 둘째 자리가 다시
3 3 3 가지씩 뻗어 가지 끝이
9 9 9 개예요.
각 자리에서 고르는 일은 항상 n n n 곱의 법칙 에 의해 n Π r = n r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^r n Π r = n r
중복순열
n Π r = n r \displaystyle {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^r n Π r = n r 순열(비교)
n P r = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) \displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)\cdots(n-r+1) n P r = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) 0 ≤ r ≤ n 0\le r\le n 0 ≤ r ≤ n 함수의 개수
n Π m = n m \displaystyle {}_{n}\mathrm{\Pi}_{m}=n^m n Π m = n m 원소가 m m m X X X n n n Y Y Y 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
3 Π 4 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{4} 3 Π 4 밑과 지수
✗ 틀린 풀이
3 Π 2 = 2 3 = 8 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=2^3=8 3 Π 2 = 2 3 = 8 왜 틀렸나 n Π r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r} n Π r n n n r r r n r n^r n r ↓ ✓ 바른 풀이
3 Π 2 = 3 2 = 9 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=3^2=9 3 Π 2 = 3 2 = 9 기억 요령: 고를 수 있는 것의 개수가 밑, 자리 수가 지수이다.3 3 3 3 × 3 = 9 3\times3=9 3 × 3 = 9 + 펼치기 접기 왜 그런지 성질 더 보기 외우기 카드 일반적으로 r r r n n n n n n n Π r = n × n × ⋯ × n ⏟ r 개 = n r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=\underbrace{n\times n\times\cdots\times n}_{r\text{개}}=n^r n Π r = r 개 n × n × ⋯ × n = n r r r r n n n 2 Π 5 = 2 5 = 32 {}_{2}\mathrm{\Pi}_{5}=2^5=32 2 Π 5 = 2 5 = 32 부분집합의 개수 2 n 2^n 2 n 2 2 2
이전 개념 성질 틀로 외우기
□ Π △ = □ △ {}_{□}\mathrm{\Pi}_{△}=□^{△} □ Π △ = □ △ □ 는 한 자리에 올 수 있는 것의 개수이고 밑이 된다.4 Π 3 = 4 3 = 64 {}_{4}\mathrm{\Pi}_{3}=4^3=64 4 Π 3 = 4 3 = 64 2 Π 5 = 2 5 = 32 {}_{2}\mathrm{\Pi}_{5}=2^5=32 2 Π 5 = 2 5 = 32 3 Π 2 = 3 2 = 9 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=3^2=9 3 Π 2 = 3 2 = 9 2 3 = 8 2^3=8 2 3 = 8 공식 외우기 — 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
n Π r = n □ {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^{\square} n Π r = n □ 정답 보기
단계 1 / 2
3 Π 4 = 3 □ = 81 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{4}=3^{\square}=81 3 Π 4 = 3 □ = 81 정답 보기
성질 검산하는 방법
작은 수로 직접 나열해 본다.a , b , c a,\ b,\ c a , b , c 2 2 2 9 9 9 3 2 3^2 3 2 3 3 3 1 , 2 , 3 1,\ 2,\ 3 1 , 2 , 3 순열 이에요.3 P 2 = 3 × 2 = 6 {}_{3}\mathrm{P}_{2}=3\times2=6 3 P 2 = 3 × 2 = 6 11 , 22 , 33 11,\ 22,\ 33 11 , 22 , 33 3 Π 2 = 3 × 3 = 9 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=3\times3=9 3 Π 2 = 3 × 3 = 9
이전 개념 성질 차이는 「다음 자리에서 고를 수 있는 개수」
순열은 한 번 쓴 것을 다시 쓸 수 없으므로 자리마다 고를 수 있는 것이 1 1 1 n P r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) {}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) n P r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) n n n n Π r = n × n × ⋯ × n = n r {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n\times n\times\cdots\times n=n^r n Π r = n × n × ⋯ × n = n r 중복조합 이다. 이전 개념 학생 문제에서 중복을 허락하는지는 어떻게 알아요?
쌤 「중복을 허락하여」라는 말이 있거나, 비밀번호·신호처럼 같은 것을 여러 번 써도 되는 상황이면 중복순열이에요. 「서로 다른 숫자」로 만들라고 하면 순열이에요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
1 , 2 , 3 , 4 1,\ 2,\ 3,\ 4 1 , 2 , 3 , 4 중복을 허락하는지 확인하기
✗ 틀린 풀이
1 , 2 , 3 , 4 , 5 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 5 P 3 = 60 {}_{5}\mathrm{P}_{3}=60 5 P 3 = 60 왜 틀렸나 같은 숫자를 다시 쓸 수 있으면 자리마다 5 5 5 5 Π 3 {}_{5}\mathrm{\Pi}_{3} 5 Π 3 ↓ ✓ 바른 풀이
1 , 2 , 3 , 4 , 5 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 5 Π 3 = 5 3 = 125 {}_{5}\mathrm{\Pi}_{3}=5^3=125 5 Π 3 = 5 3 = 125 「중복을 허락하여」가 있으면 112 112 112 서로 다른 편지 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 × 4 × 4 = 4 3 = 64 4\times4\times4=4^3=64 4 × 4 × 4 = 4 3 = 64
편지 3 3 3 4 4 4 편지마다 화살표가 꼭 하나씩 나가요(지수
3 3 3 ). 우체통은 여러 통을 받아도, 하나도 안 받아도 돼요(밑
4 4 4 ).
학생 왜 우체통 개수가 밑이고 편지 개수가 지수예요?
쌤 편지는 반드시 하나씩 우체통을 골라야 해서 자리가 돼요. 우체통은 여러 번 골라져도 되고 비어 있어도 돼요. 반드시 하나씩 고르는 쪽이 지수, 골라지는 쪽이 밑이에요.
중복순열로 세는 순서
1 「고르는 쪽」을 찾아요.
하나도 빠짐없이 반드시 하나씩 정해져야 하는 쪽이 자리가 돼요. 그 개수가 지수예요.
2 「고를 수 있는 것」을 찾아요.
여러 번 골라도 되고 한 번도 안 골라도 되는 쪽이에요. 그 개수가 밑이에요.
3 자리에 제한이 있으면 그 자리만 따로 센 뒤 곱해요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
서로 다른 공 3 3 3 2 2 2 밑과 지수 정하기
✗ 틀린 풀이
편지 3 3 3 4 4 4 3 4 = 81 3^4=81 3 4 = 81 왜 틀렸나 중복순열의 지수는 하나씩 고르는 쪽인 편지의 수이고, 밑은 고를 대상인 우체통의 수이다.
↓ ✓ 바른 풀이
편지 3 3 3 4 4 4 4 3 = 64 4^3=64 4 3 = 64 확인 방법: 편지 한 통마다 넣을 우체통을 4 4 4 4 × 4 × 4 = 64 4\times4\times4=64 4 × 4 × 4 = 64 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 서로 다른 편지 3 3 3 4 4 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 4 Π 3 = 4 3 = 64 {}_{4}\mathrm{\Pi}_{3}=4^3=64 4 Π 3 = 4 3 = 64
예 응용
학생과 동아리
학생 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 3 Π 5 = 3 5 = 243 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{5}=3^5=243 3 Π 5 = 3 5 = 243 집합 X X X Y Y Y 함수 는 X X X Y Y Y m m m X X X n n n Y Y Y n Π m = n m {}_{n}\mathrm{\Pi}_{m}=n^m n Π m = n m
쌤 X X X Y Y Y Y Y Y 예 X = { 1 , 2 , 3 } X=\{1,\ 2,\ 3\} X = { 1 , 2 , 3 } Y = { a , b } Y=\{a,\ b\} Y = { a , b } X X X Y Y Y 2 Π 3 = 2 3 = 8 {}_{2}\mathrm{\Pi}_{3}=2^3=8 2 Π 3 = 2 3 = 8 Y Y Y X X X 3 Π 2 = 3 2 = 9 {}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=3^2=9 3 Π 2 = 3 2 = 9 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
X = { 1 , 2 } X=\{1,\ 2\} X = { 1 , 2 } Y = { a , b , c } Y=\{a,\ b,\ c\} Y = { a , b , c } + 펼치기 접기 왜 그런지 성질 더 보기 X X X Y Y Y X X X
성질 일대일함수와 비교
X X X Y Y Y 일대일함수 는 한 번 쓴 원소를 다시 쓸 수 없으므로 순열이다.X = { 1 , 2 , 3 } X=\{1,\ 2,\ 3\} X = { 1 , 2 , 3 } Y = { 1 , 2 , 3 , 4 } Y=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} Y = { 1 , 2 , 3 , 4 } 4 Π 3 = 4 3 = 64 {}_{4}\mathrm{\Pi}_{3}=4^3=64 4 Π 3 = 4 3 = 64 4 P 3 = 4 × 3 × 2 = 24 {}_{4}\mathrm{P}_{3}=4\times3\times2=24 4 P 3 = 4 × 3 × 2 = 24 이전 개념 0 , 1 , 2 , 3 0,\ 1,\ 2,\ 3 0 , 1 , 2 , 3
자리마다 올 수 있는 수
맨 앞자리에는
0 0 0 이 올 수 없어
3 3 3 가지예요. 곱의 법칙으로
3 × 4 3 = 192 3\times4^3=192 3 × 4 3 = 192 전체
4 4 4^4 4 4 가지에서 맨 앞자리가
0 0 0 인
4 3 4^3 4 3 가지를 빼도
256 − 64 = 192 256-64=192 256 − 64 = 192 예요.
학생 일의 자리에도 조건이 있으면요? 짝수만 만들라든가요.
쌤 그 자리도 따로 세요. 짝수이면 일의 자리에 0 , 2 0,\ 2 0 , 2 2 2 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
0 , 1 , 2 0,\ 1,\ 2 0 , 1 , 2 ✗ 틀린 풀이
0 , 1 , 2 , 3 0,\ 1,\ 2,\ 3 0 , 1 , 2 , 3 4 Π 4 = 256 {}_{4}\mathrm{\Pi}_{4}=256 4 Π 4 = 256 왜 틀렸나 네 자리 자연수의 맨 앞자리에는 0 0 0 1 , 2 , 3 1,\ 2,\ 3 1 , 2 , 3 3 3 3 ↓ ✓ 바른 풀이
0 , 1 , 2 , 3 0,\ 1,\ 2,\ 3 0 , 1 , 2 , 3 3 × 4 3 = 192 3\times4^3=192 3 × 4 3 = 192 0123 0123 0123 + 펼치기 접기 예제 예 응용
짝수
0 , 1 , 2 , 3 0,\ 1,\ 2,\ 3 0 , 1 , 2 , 3 0 0 0 3 3 3 0 , 2 0,\ 2 0 , 2 2 2 2 4 4 4 3 × 4 × 2 = 24 3\times4\times2=24 3 × 4 × 2 = 24 기호 ∙ \bullet ∙ − - − 2 2 2 1 1 1 3 3 3
학생 길이가 다른 신호를 왜 더해요? 곱하면 안 돼요?
쌤 신호 하나의 길이는 1 1 1 2 2 2 3 3 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
기호 ∙ \bullet ∙ − - − 1 1 1 2 2 2 개수가 여러 가지인 신호
✗ 틀린 풀이
1 1 1 3 3 3 2 3 = 8 2^3=8 2 3 = 8 왜 틀렸나 「1 1 1 3 3 3 1 , 2 , 3 1,\ 2,\ 3 1 , 2 , 3 ↓ ✓ 바른 풀이
1 1 1 3 3 3 2 1 + 2 2 + 2 3 = 14 2^1+2^2+2^3=14 2 1 + 2 2 + 2 3 = 14 확인 방법: 길이 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4