수학 개념 노트전체 과목

같은 것이 있는 순열

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
nn 개 중 같은 것이 각각 pp 개, qq 개, ⋯\cdots, rr 개씩 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 순열의 수는 n!p! q!⋯r!\frac{n!}{p!\,q!\cdots r!} 이에요(p+q+⋯+r=np+q+\cdots+r=n).
  1. 1같은 것이 있는 순열의 수
  2. 2순서가 정해진 것을 포함하는 순열
  3. 3최단 경로의 수
  4. 4특정한 문자에 조건이 있는 경우
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1같은 것이 있는 순열의 수

a, a, ba,\ a,\ b 를 모두 일렬로 나열하면 aab, aba, baaaab,\ aba,\ baa 의 33 가지예요.
순열로 세려고 두 aa 를 잠시 a1, a2a_1,\ a_2 로 구별하면 서로 다른 33 개의 나열이므로 3!=63!=6 가지가 돼요.

a1, a2a_1,\ a_2 를 구별구별을 없애면
a1a2b, a2a1ba_1a_2b,\ a_2a_1baabaab
a1ba2, a2ba1a_1ba_2,\ a_2ba_1abaaba
ba1a2, ba2a1ba_1a_2,\ ba_2a_1baabaa
한 배열이 a1, a2a_1,\ a_2 의 자리를 바꾸는 2!2! 가지씩 겹쳐서 세어졌으므로 3!2!=3\frac{3!}{2!}=3 이에요.
학생
같은 문자가 섞여 있으면 왜 그냥 3!3! 이 아니에요?
쌤
a1, a2a_1,\ a_2 의 자리만 바꾼 두 배열이 구별을 없애면 똑같아져요. 한 배열이 2!2! 번씩 겹쳐 세어지니까 3!3! 을 2!2! 로 나눠 33 가지예요.
정의같은 것이 있는 순열
nn 개 중에서 같은 것이 각각 pp 개, qq 개, ⋯\cdots, rr 개씩 있을 때, 이들 nn 개를 모두 일렬로 나열하는 순열을 같은 것이 있는 순열이라 한다.
그 수는 다음과 같다.n!p! q!⋯r!(단, p+q+⋯+r=n)\frac{n!}{p!\,q!\cdots r!}\quad(\text{단, }p+q+\cdots+r=n)
공식같은 것이 있는 순열의 수
기본
n!p! q!⋯r!\displaystyle \frac{n!}{p!\,q!\cdots r!}
p+q+⋯+r=np+q+\cdots+r=n
두 종류일 때
(p+q)!p! q!=p+qCp\displaystyle \frac{(p+q)!}{p!\,q!}={}_{p+q}\mathrm{C}_{p}
p+qp+q 개의 자리 중 첫째 종류가 놓일 pp 자리를 택하는 것과 같다.
모두 다를 때
n!1! 1!⋯1!=n!\displaystyle \frac{n!}{1!\,1!\cdots1!}=n!
보통의 순열이 된다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a, a, b, b, ca,\ a,\ b,\ b,\ c 를 모두 일렬로 나열하는 방법의 수는?
분모는 계승의 곱
✗ 틀린 풀이
bananabanana 의 나열
6!3!+2!\frac{6!}{3!+2!}
왜 틀렸나 같은 것끼리 바꾸는 일들은 동시에 일어나므로 분모는 각 계승의 곱 3!×2!3!\times2! 이다.
✓ 바른 풀이
bananabanana 의 나열
6!3!×2!=60\frac{6!}{3!\times2!}=60
확인 방법: aabaab 의 나열은 aab, aba, baaaab,\ aba,\ baa 의 33 가지이고 3!2!×1!=3\frac{3!}{2!\times1!}=3 과 같다.
같은 것 묶음을 모두 나누기
✗ 틀린 풀이
bananabanana 의 나열
6!3!=120\frac{6!}{3!}=120
왜 틀렸나 같은 것이 여러 묶음 있으면 묶음마다 그 개수의 계승으로 모두 나누어야 하므로 nn 의 2!2! 로도 나눈다.
✓ 바른 풀이
bananabanana 의 나열
6!3! 2!=60\frac{6!}{3!\,2!}=60
바른 계산에서는 aa 의 3!3! 과 nn 의 2!2! 로 모두 나눈다.
확인 방법: 묶음의 개수 3+2+13+2+1 이 전체 문자 수 66 과 같은지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기외우기 카드

이유는 다음과 같아요. 같은 것들을 모두 구별하면 n!n! 가지예요.
같은 것 pp 개끼리 자리를 바꾸는 p!p! 가지는 구별을 없애면 모두 같은 배열이에요.
qq 개, ⋯\cdots, rr 개에 대해서도 마찬가지이므로 하나의 배열이 p!×q!×⋯×r!p!\times q!\times\cdots\times r! 번씩 세어졌어요.
그러므로 n!n! 을 p! q!⋯r!p!\,q!\cdots r! 로 나눠요.

성질틀로 외우기
(전체 개수)!(같은 것 개수)!×⋯\frac{(\text{전체 개수})!}{(\text{같은 것 개수})!\times\cdots}
분자는 나열하는 전체 개수의 계승이다.
분모는 같은 것의 묶음마다 그 개수의 계승을 곱한다. 11 개뿐인 것은 1!=11!=1 이므로 생략해도 된다.
bananabanana 는 aa 가 33 개, nn 이 22 개, bb 가 11 개이므로
6!3! 2! 1!=72012=60\frac{6!}{3!\,2!\,1!}=\frac{720}{12}=60
1, 1, 2, 2, 21,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2 를 모두 나열하는 방법은
5!2! 3!=10\frac{5!}{2!\,3!}=10
공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2모두 구별한 뒤 겹친 만큼 나눈다
같은 것이 p, q, r 개=□p! q! r!\text{같은 것이 }p,\ q,\ r\text{ 개}=\frac{\square}{p!\,q!\,r!}
단계 1 / 2
a,a,a,b,b=5!□=10a,a,a,b,b=\frac{5!}{\square}=10
성질검산하는 방법
분모의 계승 속 수를 모두 더하면 분자의 수와 같아야 한다.
6!3! 2! 1!\frac{6!}{3!\,2!\,1!} 에서 3+2+1=63+2+1=6 이다.
계산 결과는 항상 자연수이다. 작은 경우는 직접 나열해 본다.
○ 와 막대를 나열하는 중복조합에서도 이 공식을 쓴다.

2순서가 정해진 것을 포함하는 순열

성질순서가 정해진 kk 개
순서가 정해진 kk 개를 모두 같은 문자로 보고 나열한 뒤, 그 자리에 정해진 순서대로 넣는다.
그래서 순서가 정해진 kk 개가 있으면 k!k! 로 나눈다.
a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서대로 오도록 a, b, c, d, ea,\ b,\ c,\ d,\ e 를 나열하는 방법은
5!3!=20\frac{5!}{3!}=20
학생
순서가 정해진 것을 같은 것으로 봐도 정말 괜찮아요?
쌤
괜찮아요. 같은 문자 XX 로 나열한 배열 하나에 앞의 XX 는 aa, 뒤의 XX 는 bb 를 넣으면 조건에 맞는 배열이 딱 하나 나와요. 서로 하나씩 대응하니까 개수가 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a, b, c, da,\ b,\ c,\ d 를 일렬로 나열할 때 aa 가 bb 보다 앞에 오는 방법의 수는?
이웃하는 것과 구별하기
✗ 틀린 풀이
aa 가 bb 보다 앞에 오는 방법
a, ba,\ b 를 한 묶음으로 보고 4!=244!=24
왜 틀렸나 「aa 가 bb 보다 앞」은 이웃하지 않아도 되므로 a, ba,\ b 를 같은 것으로 보고 나열한 뒤 순서를 정한다.
✓ 바른 풀이
aa 가 bb 보다 앞에 오는 방법
5!2!=60\frac{5!}{2!}=60
「앞에 온다」는 이웃하지 않아도 돼요.
a c d b ea\,c\,d\,b\,e 도 조건에 맞아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

a, b, c, d, ea,\ b,\ c,\ d,\ e 를 일렬로 나열할 때 aa 가 bb 보다 앞에 오는 방법을 생각해요.
a, ba,\ b 를 모두 같은 문자 XX 로 보고 X, X, c, d, eX,\ X,\ c,\ d,\ e 를 나열해요.
5!2!=60\frac{5!}{2!}=60
나열한 뒤 앞의 XX 에는 aa 를, 뒤의 XX 에는 bb 를 넣으면 조건에 맞는 배열이 하나씩 정해져요.
거꾸로 조건에 맞는 배열에서 a, ba,\ b 를 XX 로 바꾸면 X, X, c, d, eX,\ X,\ c,\ d,\ e 의 배열이 하나 나와요.
따라서 구하는 수는 6060 이에요.

성질왜 나누는가
a, ba,\ b 의 자리만 바꾼 두 배열 중 정확히 하나만 「aa 가 bb 보다 앞」이다.
그래서 전체 5!5! 가지의 절반이다.
5!2=60\frac{5!}{2}=60

3최단 경로의 수

바둑판 모양의 길에서 최단 경로는 오른쪽(→\rightarrow) 또는 위쪽(↑\uparrow)으로만 한 칸씩 움직여요.
가로 44 칸, 세로 33 칸이면 →\rightarrow 44 개와 ↑\uparrow 33 개를 나열한 것 하나가 경로 하나예요.

최단 경로 하나
→→↑→↑↑→\rightarrow\rightarrow\uparrow\rightarrow\uparrow\uparrow\rightarrow
AB
→\rightarrow 44 개와 ↑\uparrow 33 개의 순서만 정하면 경로가 하나 정해져요.

따라서 가로 44 칸, 세로 33 칸인 최단 경로의 수는
7!4! 3!=35\frac{7!}{4!\,3!}=35

학생
왼쪽이나 아래쪽으로 가면 왜 안 돼요?
쌤
왼쪽이나 아래쪽으로 한 번이라도 가면 그만큼 되돌아와야 해서 길이 길어져요. 그래서 최단 경로는 →\rightarrow 와 ↑\uparrow 만 써요.
최단 경로의 수 구하기
  1. 1
    출발점에서 도착점까지 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸인지 세요.
    가로 mm 칸, 세로 nn 칸
  2. 2
    →\rightarrow mm 개, ↑\uparrow nn 개를 나열하는 방법의 수를 구해요.
    (m+n)!m! n!\frac{(m+n)!}{m!\,n!}
  3. 3
    반드시 지나는 점 P\mathrm{P} 가 있으면 A→P\mathrm{A}\to\mathrm{P}, P→B\mathrm{P}\to\mathrm{B} 로 나누어 곱해요.
    두 구간을 잇달아 가므로 곱의 법칙
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
가로 33 칸, 세로 22 칸인 바둑판 모양의 길에서 최단 경로의 수는?
경로의 수를 칸 수로 세기
✗ 틀린 풀이
가로 44 칸, 세로 33 칸의 최단 경로
4×3=124\times3=12
왜 틀렸나 최단 경로의 수는 →\rightarrow 44 개와 ↑\uparrow 33 개를 한 줄로 나열하는 방법의 수와 같다.
✓ 바른 풀이
가로 44 칸, 세로 33 칸의 최단 경로
7!4! 3!=35\frac{7!}{4!\,3!}=35
확인 방법: 가로 11 칸, 세로 11 칸이면 2!1! 1!=2\frac{2!}{1!\,1!}=2 가지로, 직접 그려 본 경로의 수와 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

바둑판 모양의 길에서 점 A\mathrm{A} 를 출발해 오른쪽으로 44 칸, 위쪽으로 33 칸 떨어진 점 B\mathrm{B} 까지 가는 최단 경로를 생각해요.
최단 경로는 오른쪽(→\rightarrow) 또는 위쪽(↑\uparrow)으로만 한 칸씩 움직여요.
그러므로 하나의 최단 경로는 →\rightarrow 44 개와 ↑\uparrow 33 개를 나열한 것 하나와 같아요.
예를 들어 →→↑→↑↑→\rightarrow\rightarrow\uparrow\rightarrow\uparrow\uparrow\rightarrow 는 경로 하나예요.
따라서 최단 경로의 수는
7!4! 3!=35\frac{7!}{4!\,3!}=35

예응용
반드시 지나는 점
점 (0, 0)(0,\ 0) 에서 점 (4, 3)(4,\ 3) 까지 최단 경로로 가되 점 (2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 경우
(0, 0)(0,\ 0) 에서 (2, 1)(2,\ 1) 까지는 →\rightarrow 22 개, ↑\uparrow 11 개를 나열하므로
3!2! 1!=3\frac{3!}{2!\,1!}=3
(2, 1)(2,\ 1) 에서 (4, 3)(4,\ 3) 까지는 →\rightarrow 22 개, ↑\uparrow 22 개를 나열하므로
4!2! 2!=6\frac{4!}{2!\,2!}=6
곱의 법칙에 의해
3×6=183\times6=18
(2, 1)(2,\ 1) 을 지나지 않는 경로는 전체에서 빼면 돼요.
35−18=1735-18=17
(2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 경로
APB
A→P\mathrm{A}\to\mathrm{P} 는 33 가지(파랑은 그중 하나), P→B\mathrm{P}\to\mathrm{B} 는 66 가지(주황은 그중 하나)라서 3×6=183\times6=18 이에요.
성질조합과의 관계
→\rightarrow mm 개, ↑\uparrow nn 개의 나열은 m+nm+n 개의 자리 중 ↑\uparrow 가 놓일 nn 자리를 택하면 정해진다.(m+n)!m! n!=m+nCn\frac{(m+n)!}{m!\,n!}={}_{m+n}\mathrm{C}_{n}7!4! 3!=7C3=35\frac{7!}{4!\,3!}={}_{7}\mathrm{C}_{3}=35
이 수는 이항정리의 계수와 같다.

4특정한 문자에 조건이 있는 경우

자리가 정해진 문자는 먼저 그 자리에 놓고, 남은 문자들을 같은 것이 있는 순열로 나열해요.
a, a, a, b, b, ca,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c 를 일렬로 나열할 때 양 끝에 모두 aa 가 오는 경우
양 끝에 aa 를 놓으면 aa 는 33 개 중 22 개를 썼으니 11 개 남아요.
가운데에 a, b, b, ca,\ b,\ b,\ c 를 나열하면 돼요.
4!2!=12\frac{4!}{2!}=12

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a, a, b, b, ca,\ a,\ b,\ b,\ c 를 일렬로 나열할 때 cc 가 맨 앞에 오는 방법의 수는?
남은 것의 개수 다시 세기
✗ 틀린 풀이
양 끝이 aa 인 경우
4!3! 2!\frac{4!}{3!\,2!}
왜 틀렸나 양 끝에 aa 를 놓고 나면 남은 문자는 aa 11 개, nn 22 개, bb 11 개이므로 이것으로 다시 센다.
✓ 바른 풀이
양 끝이 aa 인 경우
4!1! 2! 1!=12\frac{4!}{1!\,2!\,1!}=12
양 끝에 aa 를 22 개 썼으므로 남은 aa 는 11 개예요.
분모의 수를 더하면 44 가 되어야 해요.
자세히 보기펼치기예제
예cc 가 맨 앞에 오는 경우
cc 를 맨 앞에 놓고 a, a, a, b, ba,\ a,\ a,\ b,\ b 를 나열해요.
5!3! 2!=10\frac{5!}{3!\,2!}=10
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1nn 개 중 같은 것이 각각 pp 개, qq 개, ⋯\cdots, rr 개씩 있을 때, 모두 일렬로 나열하는 방법의 수는 n!p! q!⋯r!\frac{n!}{p!\,q!\cdots r!} 이다.
  2. 2같은 것끼리 자리를 바꾸어도 같은 배열이므로, 모두 다르다고 본 n!n! 을 같은 것의 개수의 계승으로 나눈다.
  3. 3순서가 정해진 것들은 같은 문자로 보고 나열한 뒤, 정해진 순서대로 바꾸어 넣는다.
  4. 4가로 mm 칸, 세로 nn 칸의 최단 경로의 수는 →\rightarrow mm 개, ↑\uparrow nn 개를 나열하는 방법의 수 (m+n)!m! n!\frac{(m+n)!}{m!\,n!} 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 분모를 계승의 곱이 아니라 합으로 쓰거나, 같은 것의 묶음 중 일부만 나눠요.
  • 「aa 가 bb 보다 앞에」를 a, ba,\ b 가 이웃하는 경우로 착각해 한 묶음으로 세요.
  • 최단 경로의 수를 가로 칸 수와 세로 칸 수의 곱으로 계산하거나, 반드시 지나는 점이 있을 때 두 구간의 수를 더해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    1, 1, 1, 2, 2, 31,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3 의 여섯 개의 숫자를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수의 개수를 구하시오.
  2. 예제 2
    a, b, c, d, e, fa,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f 를 일렬로 나열할 때, a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서대로 놓이는 방법의 수를 구하시오.
  3. 예제 3
    점 (0, 0)(0,\ 0) 에서 출발하여 오른쪽 또는 위쪽으로 한 칸씩 움직여 점 (5, 3)(5,\ 3) 까지 가는 최단 경로 중 점 (2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 경로의 수를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 중복조합 →
이전 개념: 중복순열설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 순열, 공통수학1 합의 법칙과 곱의 법칙, 공통수학1 조합확률과 통계 목차
← 중복순열중복조합 →
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