중복조합

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

서로 다른

n

개에서 중복을 허락하여

r

개를 택하는 중복조합의 수는

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

이에요.

1중복조합의 뜻과 중복조합의 수
2네 가지 경우의 수 비교
3방정식의 정수해의 개수
4같은 물건을 나누어 주기
5다항식을 전개한 항의 개수
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1중복조합의 뜻과 중복조합의 수

정의중복조합

서로 다른

n

개에서 순서를 생각하지 않고 중복을 허락하여

r

개를 택하는 조합을

n

개에서

r

개를 택하는 중복조합이라 한다.
이 중복조합의 수를 기호로

{}_{n}\mathrm{H}_{r}

와 같이 나타낸다.
중복을 허락하므로

r>n

이어도 된다.
중복조합의 수는 다음과 같다.

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

$a,\ b,\ c$ 에서 중복을 허락하여 $2$ 개를 택하면 다음 $6$ 가지예요.
$aa,\ bb,\ cc,\ ab,\ ac,\ bc$
순서를 생각하지 않으므로 $ab$ 와 $ba$ 는 같은 거예요.
따라서 ${}_{3}\mathrm{H}_{2}=6$ 이에요.

택한 결과를 ○ 와 막대 | 로 나타내 봐요. $a,\ b,\ c$ 에서 $4$ 개를 택할 때
첫째 막대 왼쪽의 ○ 는 $a$ , 두 막대 사이의 ○ 는 $b$ , 둘째 막대 오른쪽의 ○ 는 $c$ 를 택한 개수예요.

○ 와 \|	$a$	$b$	$c$	택한 것
$\circ\circ\|\circ\|\circ$	$2$	$1$	$1$	$aabc$
$\|\circ\circ\circ\|\circ$	$0$	$3$	$1$	$bbbc$
$\circ\circ\circ\circ\|\|$	$4$	$0$	$0$	$aaaa$

종류 $3$ 개를 나누는 칸막이는 $3-1=2$ 개면 되므로 막대는 $2$ 개예요.
택하는 방법 하나와 ○ $4$ 개, | $2$ 개의 나열 하나가 서로 하나씩 대응해요.
따라서 ${}_{3}\mathrm{H}_{4}$ 는 ○ $4$ 개와 | $2$ 개를 나열하는 같은 것이 있는 순열의 수와 같아요.
${}_{3}\mathrm{H}_{4}=\frac{6!}{4!\,2!}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15$

학생

{}_{n}\mathrm{H}_{r}

를 바로 조합으로 바꿀 수 있는 이유가 뭐예요?

쌤

○

r

개와 막대

n-1

개, 모두

n+r-1

개의 자리 중 ○ 가 놓일

r

자리만 고르면 나열이 정해져요. 그래서

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

이에요.

공식중복조합의 수

중복조합

\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

r>n

이어도 된다.

같은 것이 있는 순열로

\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r}=\frac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}

○

r

개, |

n-1

개

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

{}_{4}\mathrm{H}_{2}

의 값은?

1

을 빼는 것

✗ 틀린 풀이

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{7}\mathrm{C}_{4}=35

왜 틀렸나

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

이므로 조합의 왼쪽 첨자는

3+4-1=6

이다.

✓ 바른 풀이

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15

막대는 종류의 수보다 하나 적은

3-1=2

개예요.
그래서 나열하는 것은 모두

4+2=6

개예요.

아래 첨자의 자리

✗ 틀린 풀이

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{3}=20

왜 틀렸나

{}_{n}\mathrm{H}_{r}

를 조합으로 바꾸어도 오른쪽 첨자는 택하는 개수

r=4

그대로이다.

✓ 바른 풀이

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15

기억 요령:

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

에서

r

은 양쪽 오른쪽 첨자에 그대로 남는다.

{}_{6}\mathrm{C}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{2}

이므로

{}_{6}\mathrm{C}_{2}

로 계산해도 된다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기외우기 카드

성질공식의 유도

n

종류를 나누려면 막대가

n-1

개 필요하다.
○

r

개와 |

n-1

개, 모두

n+r-1

개를 나열하는 방법은

\frac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}

이것은

n+r-1

개의 자리 중 ○ 가 놓일

r

자리를 택하는 것과 같으므로

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

성질틀로 외우기

{}_{□}\mathrm{H}_{△}={}_{□+△-1}\mathrm{C}_{△}

아래 첨자 오른쪽(△)은 그대로 둔다.
왼쪽은 □ 와 △ 를 더하고

1

을 뺀다.

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{3+4-1}\mathrm{C}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15

{}_{4}\mathrm{H}_{3}={}_{4+3-1}\mathrm{C}_{3}={}_{6}\mathrm{C}_{3}=20

□ 와 △ 를 바꾸면 값이 달라질 수 있다.

공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2○

r

개, 막대

n-1

개

{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-\square}\mathrm{C}_{r}

단계 1 / 2

{}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{\square}\mathrm{C}_{4}=15

성질검산하는 방법

작은 경우는 직접 나열해 본다.

{}_{3}\mathrm{H}_{2}={}_{4}\mathrm{C}_{2}=6

은

aa,\ bb,\ cc,\ ab,\ ac,\ bc

와 맞다.

{}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

에서 왼쪽 첨자와 오른쪽 첨자의 차가

n-1

(막대의 개수)인지 확인한다.

2네 가지 경우의 수 비교

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 방법(순열, 중복순열, 조합, 중복조합)은 「순서를 생각하는가」와 「중복을 허락하는가」에 따라 네 가지예요.
$a,\ b,\ c$ 에서 $2$ 개를 택하는 경우로 비교해 봐요.

공식서로 다른

n

개에서

r

개를 택하기

순열(순서 ○, 중복 ×)

\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}

{}_{3}\mathrm{P}_{2}=6

중복순열(순서 ○, 중복 ○)

\displaystyle {}_{n}\mathrm{\Pi}_{r}=n^r

{}_{3}\mathrm{\Pi}_{2}=9

조합(순서 ×, 중복 ×)

\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}

{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3

중복조합(순서 ×, 중복 ○)

\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}

{}_{3}\mathrm{H}_{2}=6

학생

문제를 읽을 때 무엇부터 확인해요?

쌤

먼저 택한 것을 나열하는지(순서), 다음으로 같은 것을 또 고를 수 있는지(중복)를 봐요. 「일렬로」「자리」가 있으면 순서를 생각하고, 「중복을 허락하여」「충분히 많다」가 있으면 중복을 허락해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

빨강, 파랑, 노랑 공이 각각 충분히 많을 때, 공

3

개를 꺼내는 방법의 수는? (같은 색 공은 서로 구별하지 않는다)

조합과 중복조합

✗ 틀린 풀이

사과, 배, 감 중 중복을 허락하여

2

개를 고르는 방법

{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3

왜 틀렸나 중복을 허락하면 같은 과일을 여러 번 고를 수 있으므로 중복조합

{}_{3}\mathrm{H}_{2}

로 센다.

✓ 바른 풀이

사과, 배, 감 중 중복을 허락하여

2

개를 고르는 방법

{}_{3}\mathrm{H}_{2}=6

같은 과일을

2

개 고르는 사과 사과, 배 배, 감 감도 세요.

3방정식의 정수해의 개수

방정식 $x+y+z=6$ 의 음이 아닌 정수 해 $(x,\ y,\ z)$ 는 $x,\ y,\ z$ 중에서 중복을 허락하여 $6$ 개를 택하고, 택한 횟수를 각 변수의 값으로 보면 돼요. 그래서 개수는
${}_{3}\mathrm{H}_{6}={}_{8}\mathrm{C}_{6}=28$

학생

x=0

인 해도 세는 거예요?

쌤

네. 음이 아닌 정수해이므로

x,\ y,\ z

중 한 번도 택하지 않은 것이 있어도 돼요.

0

을 빼고 싶으면 자연수해로 따로 세요.

자연수해는 $x,\ y,\ z$ 가 모두 $1$ 이상이어야 하므로 $1$ 씩 미리 빼 두고 음이 아닌 정수해를 세요.

x+y+z=6

의 자연수해

x=x'+1,\ y=y'+1,\ z=z'+1

↳◀

x',\ y',\ z'\ge0

(x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=6

↳◀대입해요

x'+y'+z'=3

↳◀음이 아닌 정수해

{}_{3}\mathrm{H}_{3}={}_{5}\mathrm{C}_{3}=10

↳◀해의 개수

공식

x_1+x_2+\cdots+x_n=r

의 해의 개수

음이 아닌 정수해

\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r}

x_i\ge0

자연수해

\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r-n}

x_i\ge1

. 각 변수에서

1

씩 미리 빼 둔다(

r\ge n

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

방정식

x+y=5

의 자연수해

(x,\ y)

의 개수는?

자연수해

✗ 틀린 풀이

x+y+z=6

의 자연수해의 개수

{}_{3}\mathrm{H}_{6}=28

왜 틀렸나 자연수해는 각 문자가

1

이상이므로

1

씩 먼저 주고 남은

3

을 나누는

{}_{3}\mathrm{H}_{3}

으로 센다.

✓ 바른 풀이

x+y+z=6

의 자연수해의 개수

{}_{3}\mathrm{H}_{3}=10

바른 계산은

x=x'+1,\ y=y'+1,\ z=z'+1

로 놓아

x'+y'+z'=3

의 음이 아닌 정수해를 세는 것이다.

{}_{3}\mathrm{H}_{3}={}_{5}\mathrm{C}_{3}=10

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

방정식 $x+y+z=6$ 의 음이 아닌 정수 해 $(x,\ y,\ z)$ 의 개수를 구해 봐요.
$x,\ y,\ z$ 중에서 중복을 허락하여 $6$ 개를 택하고, 택한 횟수를 각각 $x,\ y,\ z$ 의 값으로 정해요.
예를 들어 $x,\ x,\ y,\ z,\ z,\ z$ 를 택하면 $x=2,\ y=1,\ z=3$ 이에요.
따라서 해의 개수는
${}_{3}\mathrm{H}_{6}={}_{8}\mathrm{C}_{6}=28$

예응용

변수

4

개

x+y+z+w=8

의 자연수해의 개수
자연수해는 각 변수가

1

이상이므로 각 변수에서

1

씩 빼면 음이 아닌 정수해를 구하는 문제가 돼요.

x'+y'+z'+w'=4

따라서

{}_{4}\mathrm{H}_{4}={}_{7}\mathrm{C}_{4}=35

4같은 물건을 나누어 주기

같은 사탕 $5$ 개를 세 사람 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ 에게 나누어 줘요. 사탕을 받지 못하는 사람이 있어도 돼요.
사탕은 서로 같으므로 「누가 몇 개 받는가」만 정하면 돼요.
사탕 하나하나에 받을 사람 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ 중 하나를 중복을 허락하여 $5$ 번 택하는 것과 같아요.
${}_{3}\mathrm{H}_{5}={}_{7}\mathrm{C}_{5}=21$

학생

한 사람이 적어도

1

개씩 받아야 하면요?

쌤

먼저 한 사람에게

1

개씩 나누어 주고, 남은

2

개를 세 사람에게 나누어 줘요. 그래서

{}_{3}\mathrm{H}_{2}=6

이에요.

나누어 주는 문제를 중복조합으로 세는 순서

1
받는 쪽(사람, 상자)의 수 $n$ 을 정해요.
받는 쪽이 「종류」이에요.
2
반드시 받아야 하는 개수가 있으면 먼저 나누어 주고 남은 개수 $r$ 를 구해요.
「적어도 $1$ 개」이면 $n$ 개를 먼저 빼요.
3
${}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$ 을 계산해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

같은 공

4

개를 서로 다른 상자

2

개에 넣는 방법의 수는? (빈 상자가 있어도 된다)

같은 물건과 서로 다른 물건

✗ 틀린 풀이

같은 사탕

5

개를 세 사람에게 나누어 주는 방법

{}_{3}\mathrm{\Pi}_{5}=3^5=243

왜 틀렸나 같은 물건을 나누면 사람마다 받는 개수만 정하면 되므로 중복조합

{}_{3}\mathrm{H}_{5}

로 센다.

✓ 바른 풀이

같은 사탕

5

개를 세 사람에게 나누어 주는 방법

{}_{3}\mathrm{H}_{5}=21

물건이 서로 다르면 물건마다 받을 사람을 고르는 중복순열

3^5

이에요.
물건이 같으면 받는 개수만 정하므로 중복조합이에요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

한 사람이 적어도 $1$ 개씩 받아야 하면, 먼저 한 사람에게 $1$ 개씩 나누어 줘요.
남은 $2$ 개를 세 사람에게 나누어 주면 되므로
${}_{3}\mathrm{H}_{2}={}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$

5다항식을 전개한 항의 개수

$(a+b+c)^4$ 을 전개한 각 항은 $a,\ b,\ c$ 에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택해 곱한 거예요. $a,\ a,\ b,\ c$ 를 택하면 항 $a^2bc$ 가 돼요.
그래서 서로 다른 항의 개수는 ${}_{3}\mathrm{H}_{4}=15$ 예요.

학생

aabc

와

abca

처럼 순서가 다르면 다른 항 아니에요?

쌤

곱은 순서를 바꿔도 같아서 둘 다 같은 항

a^2bc

예요. 그래서 순서를 생각하지 않는 중복조합으로 세요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(x+y)^5

을 전개했을 때 서로 다른 항의 개수는?

항의 개수와 곱의 개수

✗ 틀린 풀이

(a+b+c)^4

의 서로 다른 항의 개수

3^4=81

왜 틀렸나 서로 다른 항은

a,\ b,\ c

의 지수의 합이

4

가 되도록 정하는 것이므로 중복조합

{}_{3}\mathrm{H}_{4}

로 센다.

✓ 바른 풀이

(a+b+c)^4

의 서로 다른 항의 개수

{}_{3}\mathrm{H}_{4}=15

3^4

은 동류항을 정리하기 전에 곱해지는 항의 개수예요.

aabc

와

abca

는 같은 항

a^2bc

이므로 순서를 생각하지 않아요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

$(a+b+c)^4$ 을 전개하면 각 항은 $a^pb^qc^r$ 꼴이에요. 단, $p+q+r=4$ 이고 $p,\ q,\ r$ 는 음이 아닌 정수예요.
서로 다른 항은 $a,\ b,\ c$ 에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택하는 것과 같아요.
예를 들어 $a,\ a,\ b,\ c$ 를 택하면 항 $a^2bc$ 가 돼요.
따라서 서로 다른 항의 개수는
${}_{3}\mathrm{H}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15$

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1서로 다른 $n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 중복을 허락하여 $r$ 개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$ 이다.
2택한 것 $r$ 개를 ○ 로, 종류를 나누는 막대 $n-1$ 개를 | 로 나타내면 ○ 와 | 를 나열하는 같은 것이 있는 순열이 된다.
3방정식 $x_1+x_2+\cdots+x_n=r$ 의 음이 아닌 정수해의 개수는 ${}_{n}\mathrm{H}_{r}$ 이다. 자연수해는 각 변수에서 $1$ 씩 빼서 센다.
4같은 물건을 서로 다른 $n$ 명에게 나누어 주는 방법, $(a_1+\cdots+a_n)^r$ 를 전개한 서로 다른 항의 개수도 중복조합이다.

✗ 자주 하는 실수

${}_{n}\mathrm{H}_{r}$ 을 ${}_{n+r}\mathrm{C}_{r}$ 로 계산하거나, ${}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n}$ 처럼 오른쪽 첨자를 잘못 써요.
방정식의 자연수해의 개수를 음이 아닌 정수해처럼 ${}_{n}\mathrm{H}_{r}$ 로 세요.
같은 물건을 나누어 주는 방법을 서로 다른 물건처럼 중복순열 $n^r$ 로 세요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
${}_{4}\mathrm{H}_{3}$ 의 값을 구하시오.
예제 2
방정식 $x+y+z+w=8$ 의 자연수해의 개수를 구하시오.
예제 3
같은 사탕 $8$ 개를 세 사람에게 나누어 줄 때, 각 사람이 적어도 $2$ 개씩 받는 방법의 수를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 이항정리 →

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