수학 개념 노트전체 과목

표준정규분포

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평균이 00, 분산이 11 인 정규분포 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1) 을 표준정규분포라 해요. XX 가 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르면 Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} 는 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1) 을 따르므로 표준정규분포표로 확률을 구해요. 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 는 nn 이 충분히 크면 근사적으로 N(np, npq)\mathrm{N}(np,\ npq) 를 따라요.
  1. 1표준정규분포
  2. 2표준화
  3. 3표준정규분포표 읽기
  4. 4정규분포의 확률 구하기
  5. 5이항분포와 정규분포의 관계
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1표준정규분포

정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 은 mm, σ\sigma 에 따라 곡선이 모두 다르므로 정규분포마다 넓이를 구해 둘 수는 없어요.
그래서 가장 간단한 정규분포 하나를 기준으로 정하고, 다른 정규분포는 이것으로 바꾸어 확률을 구해요.
표본평균의 확률도 이 방법으로 구해요.

정의표준정규분포
평균이 00, 분산이 11 인 정규분포 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1) 을 표준정규분포 라 한다.
표준정규분포를 따르는 확률변수는 보통 ZZ 로 나타내고, 확률밀도함수는f(z)=12πe−z22f(z)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}이다. 곡선은 직선 z=0z=0 (yy 축) 에 대하여 대칭이다.
학생
왜 하필 평균 00, 분산 11 이에요?
쌤
가장 간단한 수라서 계산이 편하기 때문이에요. 곡선이 z=0z=0 에 대하여 대칭이라 양수 zz 쪽 넓이만 표로 정리해 두면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
표준정규분포를 따르는 확률변수 ZZ 에 대하여 P(Z≥0)P(Z\ge 0) 의 값은?

2표준화

성질정규분포의 표준화
확률변수 XX 가 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따를 때Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma}로 놓으면 ZZ 는 표준정규분포 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1) 을 따른다.
이와 같이 XX 를 ZZ 로 바꾸는 것을 표준화 라 한다.

Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} 의 평균은 00 이고 분산은 11 이에요.

학생
ZZ 의 값은 무슨 뜻이에요?
쌤
XX 가 평균에서 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지예요. Z=2Z=2 이면 평균보다 2σ2\sigma 만큼 크고, Z=−1Z=-1 이면 σ\sigma 만큼 작아요.
공식XX 가 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따를 때
표준화
Z=X−mσ\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}
분모는 분산이 아니라 표준편차이다.
범위 바꾸기
P(a≤X≤b)=P(a−mσ≤Z≤b−mσ)\displaystyle P(a\le X\le b)=P\left(\frac{a-m}{\sigma}\le Z\le\frac{b-m}{\sigma}\right)
부등식의 각 변에서 mm 을 빼고 σ\sigma 로 나눈다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 정규분포 N(30, 25)\mathrm{N}(30,\ 25) 를 따를 때 X=40X=40 을 표준화한 값은?
표준편차로 나눈다
✗ 틀린 풀이
XX 가 N(50, 16)\mathrm{N}(50,\ 16) 을 따를 때
Z=X−5016Z=\dfrac{X-50}{16}
왜 틀렸나 표준화 Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} 에서는 표준편차 σ=16=4\sigma=\sqrt{16}=4 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
Z=X−504Z=\dfrac{X-50}{4}
기억 요령: N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 둘째 자리는 분산이므로 표준화하기 전에 근호를 씌워 σ\sigma 를 구해 둔다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런지 평균과 분산으로 확인해 봐요. XX 가 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따를 때 Z=X−mσ=1σX−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma}=\dfrac{1}{\sigma}X-\dfrac{m}{\sigma} 로 놓아요.
E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b 이므로
E(Z)=1σ×m−mσ=0E(Z)=\dfrac{1}{\sigma}\times m-\dfrac{m}{\sigma}=0
V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X) 이므로
V(Z)=1σ2×σ2=1V(Z)=\dfrac{1}{\sigma^2}\times\sigma^2=1
즉 ZZ 의 평균은 00 이고 분산은 11 이에요. 이때 ZZ 도 정규분포를 따른다는 것이 알려져 있어요.

X−mX-m 은 평균에서 얼마나 떨어졌는지, 다시 σ\sigma 로 나누면 표준편차의 몇 배만큼 떨어졌는지를 나타내요.
예를 들어 XX 가 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따를 때 X=58X=58 은 평균보다 88, 즉 σ\sigma 의 22 배만큼 크므로 Z=58−504=2Z=\dfrac{58-50}{4}=2 이에요.

3표준정규분포표 읽기

표준정규분포표는 양수 zz 에 대하여 P(0≤Z≤z)P(0\le Z\le z), 즉 00 부터 zz 까지 곡선 아래의 넓이를 적은 표예요.
실제 표는 zz 를 소수 둘째 자리까지 나누어 적은 큰 표예요. 여기서는 다음 값을 써요.

자주 쓰는 표준정규분포표
zzP(0≤Z≤z)P(0\le Z\le z)
0.50.50.19150.1915
110.34130.3413
1.51.50.43320.4332
220.47720.4772
2.52.50.49380.4938
330.49870.4987
넓이는 00 부터 zz 까지 곡선 아래의 넓이 P(0≤Z≤z)P(0\le Z\le z) 예요.
공식표준정규분포표로 확률 구하기 (a>0a>0, b>0b>0)
오른쪽 끝
P(Z≥a)=0.5−P(0≤Z≤a)\displaystyle P(Z\ge a)=0.5-P(0\le Z\le a)
왼쪽 끝
P(Z≤−a)=P(Z≥a)=0.5−P(0≤Z≤a)\displaystyle P(Z\le -a)=P(Z\ge a)=0.5-P(0\le Z\le a)
대칭
0 을 지나 왼쪽 전체
P(Z≤a)=0.5+P(0≤Z≤a)\displaystyle P(Z\le a)=0.5+P(0\le Z\le a)
0 을 걸침
P(−a≤Z≤b)=P(0≤Z≤a)+P(0≤Z≤b)\displaystyle P(-a\le Z\le b)=P(0\le Z\le a)+P(0\le Z\le b)
P(−a≤Z≤0)=P(0≤Z≤a)P(-a\le Z\le 0)=P(0\le Z\le a)
한쪽 사이
P(a≤Z≤b)=P(0≤Z≤b)−P(0≤Z≤a)\displaystyle P(a\le Z\le b)=P(0\le Z\le b)-P(0\le Z\le a)
a<ba<b 일 때
학생
표의 값에 왜 0.50.5 를 더하거나 빼요?
쌤
표는 00 부터 zz 까지의 넓이만 알려 줘요. z=0z=0 의 한쪽 넓이가 0.50.5 라서, 끝부분은 0.50.5 에서 빼고 00 의 반대쪽까지 포함하면 0.50.5 를 더해요.
예표 읽기
P(Z≥1.5)=0.5−0.4332=0.0668P(Z\ge 1.5)=0.5-0.4332=0.0668
P(Z≤1)=0.5+0.3413=0.8413P(Z\le 1)=0.5+0.3413=0.8413
P(Z≤−2)=P(Z≥2)=0.5−0.4772=0.0228P(Z\le -2)=P(Z\ge 2)=0.5-0.4772=0.0228
P(−1≤Z≤2)=0.3413+0.4772=0.8185P(-1\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185
P(1≤Z≤2)=0.4772−0.3413=0.1359P(1\le Z\le 2)=0.4772-0.3413=0.1359
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
P(0≤Z≤1)=0.3413P(0\le Z\le 1)=0.3413 일 때 P(Z≤−1)P(Z\le -1) 의 값은?
0 의 같은 쪽이면 뺀다
✗ 틀린 풀이
P(1≤Z≤2)=0.3413+0.4772=0.8185P(1\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185
왜 틀렸나 11 과 22 가 모두 00 의 오른쪽에 있으면 00 부터 22 까지 넓이에서 00 부터 11 까지 넓이를 뺀다.
✓ 바른 풀이
P(1≤Z≤2)=0.4772−0.3413=0.1359P(1\le Z\le 2)=0.4772-0.3413=0.1359
확인 방법: 1≤Z≤21\le Z\le 2 는 0≤Z≤20\le Z\le 2 의 일부이므로 그 확률은 0.47720.4772 보다 작아야 한다.
00 을 걸치는 −1≤Z≤2-1\le Z\le 2 일 때만 더한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

표에는 00 부터 오른쪽 넓이만 있어요. 나머지는 곡선의 성질로 구해요.
직선 z=0z=0 에 대하여 대칭이에요.
z=0z=0 의 오른쪽과 왼쪽의 넓이는 각각 0.50.5 이에요.

4정규분포의 확률 구하기

정규분포를 따르는 XX 의 확률은 범위의 끝 값을 z=x−mσz=\dfrac{x-m}{\sigma} 로 표준화한 뒤, 표준정규분포표로 넓이를 구해요.

XX 가 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따를 때
P(X≥56)=P(Z≥56−504)P(X\ge 56)=P\left(Z\ge\frac{56-50}{4}\right)
↳표준화
=P(Z≥1.5)=0.5−0.4332=0.0668=P(Z\ge 1.5)=0.5-0.4332=0.0668
↳오른쪽 끝
P(46≤X≤58)=P(−1≤Z≤2)P(46\le X\le 58)=P(-1\le Z\le 2)
↳46−504=−1\frac{46-50}{4}=-1, 58−504=2\frac{58-50}{4}=2
=0.3413+0.4772=0.8185=0.3413+0.4772=0.8185
↳00 을 걸쳐요
학생
표준화해도 확률이 정말 같아요?
쌤
네. X≥56X\ge 56 과 Z≥1.5Z\ge 1.5 는 같은 사건을 다른 눈금으로 나타낸 것이라 확률이 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따를 때 P(X≤54)P(X\le 54) 의 값은? (단, P(0≤Z≤1)=0.3413P(0\le Z\le 1)=0.3413)
평균 쪽 확률을 0.5 와 함께 쓴다
✗ 틀린 풀이
P(X≥56)=P(Z≥1.5)=0.4332P(X\ge 56)=P(Z\ge 1.5)=0.4332
왜 틀렸나 표의 값은 0≤Z≤1.50\le Z\le 1.5 의 넓이이므로 끝부분 Z≥1.5Z\ge 1.5 는 0.50.5 에서 그 값을 빼서 구한다.
✓ 바른 풀이
P(X≥56)=0.5−0.4332=0.0668P(X\ge 56)=0.5-0.4332=0.0668
확인 방법: 평균보다 큰 쪽 끝부분의 확률은 0.50.5 보다 작아야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
정규분포를 따르는 X 의 확률을 구하는 순서
  1. 1
    mm 과 σ\sigma 를 읽어요.
    N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 두 번째 자리는 분산이에요.
  2. 2
    범위의 끝 값을 z=x−mσz=\dfrac{x-m}{\sigma} 로 바꿔요.
  3. 3
    표준정규분포 곡선에 범위를 표시해요.
    00 을 걸치는지, 끝까지 가는지 봐요.
  4. 4
    표준정규분포표와 대칭, 0.50.5 를 이용해 계산해요.
응용
XX 가 N(60, 52)\mathrm{N}(60,\ 5^2) 을 따르고 P(X≥k)=0.1587P(X\ge k)=0.1587 일 때 kk
P(Z≥k−605)=0.1587P\left(Z\ge\frac{k-60}{5}\right)=0.1587
↳표준화
P(0≤Z≤k−605)=0.3413P\left(0\le Z\le\frac{k-60}{5}\right)=0.3413
↳0.5−0.15870.5-0.1587
k−605=1\frac{k-60}{5}=1
↳표에서 0.34130.3413 은 z=1z=1
k=65k=65
0.15870.1587 이 0.50.5 보다 작으므로 k−605\frac{k-60}{5} 은 양수예요.
예표준화로 상대적인 위치 비교
AA 반의 점수는 N(70, 102)\mathrm{N}(70,\ 10^2), BB 반의 점수는 N(60, 42)\mathrm{N}(60,\ 4^2) 을 따른다고 해요.
AA 반에서 8585 점의 표준화한 값은 85−7010=1.5\dfrac{85-70}{10}=1.5
BB 반에서 6868 점의 표준화한 값은 68−604=2\dfrac{68-60}{4}=2
점수는 8585 점이 높지만, 자기 반에서의 상대적인 위치는 ZZ 의 값이 더 큰 BB 반의 6868 점이 더 높아요.

5이항분포와 정규분포의 관계

이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 의 확률을 막대그래프로 그리면, nn 이 커질수록 평균 npnp 를 중심으로 좌우 대칭인 종 모양에 가까워져요.
nn 이 크면 nCx pxqn−x{}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x} 를 하나하나 더하기 어려우므로, 같은 평균과 분산을 가지는 정규분포로 바꾸어 확률을 구해요.

성질이항분포의 정규분포 근사
확률변수 XX 가 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따를 때, nn 이 충분히 크면 XX 는 근사적으로 평균이 npnp, 분산이 npqnpq 인 정규분포를 따른다. (단, q=1−pq=1-p)
즉 XX 는 근사적으로 N(np, npq)\mathrm{N}(np,\ npq) 를 따른다.
일반적으로 np≥5np\ge 5, nq≥5nq\ge 5 이면 nn 이 충분히 큰 것으로 본다.
학생
왜 nn 이 충분히 커야만 돼요?
쌤
nn 이 작으면 막대그래프가 한쪽으로 치우쳐 종 모양과 많이 달라요. npnp, nqnq 가 모두 55 이상이면 좌우 대칭에 가까워져서 정규분포로 바꿔도 오차가 작아요.
XX 가 B(100, 12)\mathrm{B}\left(100,\ \frac{1}{2}\right) 를 따를 때 P(X≥60)P(X\ge 60)
E(X)=100×12=50E(X)=100\times\frac{1}{2}=50
V(X)=100×12×12=25V(X)=100\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=25
↳근사적으로 N(50, 52)\mathrm{N}(50,\ 5^2)
P(X≥60)=P(Z≥60−505)P(X\ge 60)=P\left(Z\ge\frac{60-50}{5}\right)
↳표준화
=P(Z≥2)=0.5−0.4772=0.0228=P(Z\ge 2)=0.5-0.4772=0.0228
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 이항분포 B(400, 12)\mathrm{B}\left(400,\ \frac{1}{2}\right) 를 따를 때, XX 가 근사적으로 따르는 정규분포는?
표준화할 때 분모는 √(npq)
✗ 틀린 풀이
P(X≥60)=P(Z≥60−5025)P(X\ge 60)=P\left(Z\ge\dfrac{60-50}{25}\right)
왜 틀렸나 이항분포를 정규분포로 근사하여 표준화할 때는 표준편차 npq=5\sqrt{npq}=5 로 나눈다.
✓ 바른 풀이
P(X≥60)=P(Z≥60−5025)=P(Z≥2)P(X\ge 60)=P\left(Z\ge\dfrac{60-50}{\sqrt{25}}\right)=P(Z\ge 2)
기억 요령: 표준화의 분모에는 언제나 표준편차가 들어간다.
B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 이면 평균은 npnp, 표준편차는 npq\sqrt{npq} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
이항분포의 확률을 정규분포로 구하는 순서
  1. 1
    nn, pp 를 확인하고 E(X)=npE(X)=np, V(X)=npqV(X)=npq 를 구해요.
  2. 2
    XX 가 근사적으로 N(np, npq)\mathrm{N}(np,\ npq) 를 따른다고 봐요.
    표준편차는 npq\sqrt{npq} 이에요.
  3. 3
    Z=X−npnpqZ=\dfrac{X-np}{\sqrt{npq}} 로 표준화해요.
  4. 4
    표준정규분포표로 확률을 구해요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1표준정규분포: 평균이 00, 분산이 11 인 정규분포 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1)
  2. 2XX 가 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르면
    Z=X−mσZ=\dfrac{X-m}{\sigma} 는 N(0, 1)\mathrm{N}(0,\ 1) 을 따른다.
  3. 3P(a≤X≤b)=P(a−mσ≤Z≤b−mσ)P(a\le X\le b)=P\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\le Z\le\dfrac{b-m}{\sigma}\right) 를 표준정규분포표로 구한다.
  4. 4XX 가 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르고 nn 이 충분히 크면
    XX 는 근사적으로 N(np, npq)\mathrm{N}(np,\ npq) 를 따른다. (q=1−pq=1-p)
✗ 자주 하는 실수
  • N(50, 16)\mathrm{N}(50,\ 16) 을 표준화할 때 Z=X−5016Z=\dfrac{X-50}{16} 처럼 분산으로 나눠요.
  • P(Z≥1.5)P(Z\ge 1.5) 를 표의 값 0.43320.4332 로 답하거나, P(1≤Z≤2)P(1\le Z\le 2) 를 두 값의 합으로 계산해요.
  • 이항분포를 정규분포로 근사할 때 분산 npqnpq 를 표준편차로 쓰거나, 분산을 npnp 로 잡아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    확률변수 XX 가 정규분포 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따를 때, 아래 표준정규분포표를 이용하여 P(X≥56)P(X\ge 56) 을 구하시오.zP(0≤Z≤z)1.50.4332\begin{array}{c|c} z & P(0\le Z\le z) \\ \hline 1.5 & 0.4332 \end{array}
  2. 예제 2
    확률변수 XX 가 정규분포 N(70, 102)\mathrm{N}(70,\ 10^2) 을 따를 때, 아래 표준정규분포표를 이용하여 P(55≤X≤90)P(55\le X\le 90) 을 구하시오.zP(0≤Z≤z)1.50.433220.4772\begin{array}{c|c} z & P(0\le Z\le z) \\ \hline 1.5 & 0.4332 \\ 2 & 0.4772 \end{array}
  3. 예제 3
    한 개의 주사위를 720720 번 던질 때 11 의 눈이 나오는 횟수를 XX 라 하자. 아래 표준정규분포표를 이용하여 P(110≤X≤135)P(110\le X\le 135) 를 구하시오.zP(0≤Z≤z)10.34131.50.4332\begin{array}{c|c} z & P(0\le Z\le z) \\ \hline 1 & 0.3413 \\ 1.5 & 0.4332 \end{array}

다음 공부

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