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다각형

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
nn 각형의 대각선은 n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} 개, 내각의 크기의 합은 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2), 외각의 크기의 합은 360∘360^\circ 이에요. 정 nn 각형의 한 외각은 360∘n\frac{360^\circ}{n} 이에요.
  1. 1다각형과 내각·외각
  2. 2다각형의 대각선
  3. 3삼각형의 내각과 외각
  4. 4다각형의 내각의 크기의 합
  5. 5다각형의 외각의 크기의 합
  6. 6정다각형의 한 내각과 한 외각
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1다각형과 내각·외각

정의다각형
여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 다각형이라 한다. 선분이 nn 개이면 nn 각형이라 한다.
다각형을 이루는 선분을 변, 변과 변이 만나는 점을 꼭짓점이라 한다. nn 각형은 변도 꼭짓점도 nn 개이다.
곡선이 있거나(원), 열려 있거나, 입체인 도형은 다각형이 아니다.
정의내각과 외각
다각형에서 이웃한 두 변으로 이루어진 내부의 각을 내각이라 한다.
한 꼭짓점에서 한 변과 그 이웃한 변의 연장선이 이루는 각을 그 꼭짓점에서의 외각이라 한다.
한 꼭짓점에서 내각과 외각은 합쳐서 평각을 이룬다.(내각)+(외각)=180∘(\text{내각})+(\text{외각})=180^\circ
내각외각ABCDE
꼭짓점 BB 에서 변 ABAB 의 연장선과 변 BCBC 가 이루는 각이 외각
학생
한 꼭짓점에서 외각은 하나뿐이에요?
쌤
변을 연장하는 방향이 두 가지라 외각도 두 개 생겨요. 하지만 두 외각은 맞꼭지각이라 크기가 같아서 하나만 생각해요.
정의정다각형
모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 다각형을 정다각형이라 한다. 변이 nn 개이면 정 nn 각형이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
내각의 크기가 125∘125^\circ 인 꼭짓점에서 외각의 크기는?
정다각형의 조건
✗ 틀린 풀이
네 변의 길이가 모두 같은 마름모는 정사각형이다.
왜 틀렸나 정다각형이 되기 위해서는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기도 같아야 하므로 두 조건을 함께 확인한다.
✓ 바른 풀이
변의 길이도 모두 같고, 내각의 크기도 모두 같아야 정다각형이다.
마름모는 변만 같고 각이 다를 수 있어요. 직사각형은 각만 같고 변이 다를 수 있어요. 둘 다 정다각형이 아닐 수 있어요.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지
변← 꼭짓점ABCDE
오각형 ABCDEABCDE: 변 55 개, 꼭짓점 55 개

한 꼭짓점에서 변을 연장하는 방법은 두 가지라서 외각도 두 개 생겨요. 그러나 두 외각은 맞꼭지각이라 크기가 같으므로 둘 중 하나만 생각해요.
예: 내각이 110∘110^\circ 인 꼭짓점의 외각은 180∘−110∘=70∘180^\circ-110^\circ=70^\circ 이에요.

110°70°70°
두 외각은 맞꼭지각이라 크기가 같아요.
정오각형: 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같아요.

2다각형의 대각선

정의대각선
다각형에서 서로 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라 한다.
nn 각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 n−3n-3 개이다.
ABCDEF
육각형의 꼭짓점 AA 에서 그을 수 있는 대각선은 6−3=36-3=3 (개)
학생
왜 nn 에서 33 을 빼요?
쌤
자기 자신과 양옆에 이웃한 두 꼭짓점으로는 대각선을 그을 수 없어서 nn 개 중 33 개를 빼요. 그래서 (n−3)(n-3) 개예요.
성질대각선의 개수
nn 각형의 대각선의 개수는n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}
nn 각형의 대각선
nn445566881010
한 꼭짓점 n−3n-31122335577
전체 n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}22559920203535
전체 개수는 (꼭짓점 수)×\times(한 꼭짓점에서의 개수)÷2\div2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
칠각형의 대각선의 개수는?
22 로 나누기
✗ 틀린 풀이
팔각형의 대각선은
8×5=408\times5=40 (개)
왜 틀렸나 대각선 하나는 양 끝 꼭짓점에서 한 번씩, 모두 두 번 세어지므로 22 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
팔각형의 대각선은
8×52=20\frac{8\times5}{2}=20 (개)
확인 방법: 사각형에 쓰면 4×12=2\frac{4\times1}{2}=2 개로, 직접 그린 대각선의 개수와 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

왜 그런가요? nn 각형의 한 꼭짓점에서는 자기 자신과 양옆에 이웃한 두 꼭짓점으로는 대각선을 그을 수 없어요.
그래서 nn 개의 꼭짓점 중 33 개를 빼요.

왜 그런가요? nn 개의 꼭짓점에서 각각 (n−3)(n-3) 개씩 그으면 n(n−3)n(n-3) 개예요.
그런데 대각선 ACAC 는 점 AA 에서 한 번, 점 CC 에서 또 한 번, 두 번씩 세어져요. 그래서 22 로 나눠요.

ABCDE
오각형의 대각선 5×22=5\frac{5\times2}{2}=5 (개)
거꾸로
대각선이 2020 개인 다각형
n(n−3)2=20\frac{n(n-3)}{2}=20
n(n−3)=40n(n-3)=40
↳양변에 22 를 곱해요
8×5=408\times5=40
↳nn 과 n−3n-3 은 차가 33 인 두 자연수
n=8n=8
↳팔각형

3삼각형의 내각과 외각

성질삼각형의 세 내각의 크기의 합
△ABC\triangle ABC 에서∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ
lABC
엇각을 옮기면 세 각이 직선 ll 위에서 평각을 이뤄요.
학생
삼각형의 세 내각의 합은 왜 180∘180^\circ 예요?
쌤
한 꼭짓점을 지나고 마주 보는 변에 평행한 직선을 그으면, 평행선의 엇각 때문에 세 각이 그 직선 위에 모여 평각을 이뤄요.
성질삼각형의 외각의 성질
△ABC\triangle ABC 에서 변 BCBC 의 연장선 위에 점 DD 를 잡으면 ∠ACD\angle ACD 는 ∠C\angle C 의 외각이다.∠ACD=∠A+∠B\angle ACD=\angle A+\angle B즉 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
∠A+∠BABCD
∠ACD=∠A+∠B\angle ACD=\angle A+\angle B
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
△ABC\triangle ABC 에서 ∠A=40∘\angle A=40^\circ, ∠B=75∘\angle B=75^\circ 일 때 ∠C\angle C 의 외각의 크기는?
어느 두 내각을 더하는가
✗ 틀린 풀이
∠C\angle C 의 외각 =∠A+∠C=\angle A+\angle C
왜 틀렸나 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
✓ 바른 풀이
∠C\angle C 의 외각 =∠A+∠B=\angle A+\angle B
확인 방법: ∠C\angle C 와 그 외각의 합은 180∘180^\circ 이고 세 내각의 합도 180∘180^\circ 이므로 외각은 ∠A+∠B\angle A+\angle B 와 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3그림

왜 그런가요? 꼭짓점 AA 를 지나고 BC‾\overline{BC} 에 평행한 직선 ll 을 그어요.
∠B\angle B 와 엇각인 각, ∠C\angle C 와 엇각인 각이 ∠A\angle A 의 양옆에 생겨요.
세 각이 모여 직선 ll 위의 평각을 이루므로 합이 180∘180^\circ 예요.

외각의 성질이 성립하는 이유
∠ACD=180∘−∠C\angle ACD=180^\circ-\angle C
↳평각에서 ∠C\angle C 를 빼요
∠A+∠B=180∘−∠C\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C
↳세 내각의 합은 180∘180^\circ
∠ACD=∠A+∠B\angle ACD=\angle A+\angle B
↳두 식의 오른쪽이 같아요
예외각의 성질 쓰기
∠A=55∘\angle A=55^\circ, ∠B=65∘\angle B=65^\circ 이면
∠C\angle C 의 외각 =55∘+65∘=120∘=55^\circ+65^\circ=120^\circ
∠C=180∘−120∘=60∘\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ 로 검산할 수 있어요.
55°65°?ABC
예세 내각의 비가 주어질 때
세 내각의 크기의 비가 2:3:42:3:4 이면 세 각을 2k2k, 3k3k, 4k4k 로 놓을 수 있어요.
2k+3k+4k=180∘2k+3k+4k=180^\circ 이므로 k=20∘k=20^\circ
가장 큰 각은 4k=80∘4k=80^\circ (한 번에: 180∘×42+3+4180^\circ\times\frac{4}{2+3+4})

4다각형의 내각의 크기의 합

성질nn 각형의 내각의 크기의 합
180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2)삼각형 (n−2)(n-2) 개의 내각의 합과 같다.
ABCDEF
육각형은 대각선 33 개로 삼각형 44 개로 나뉘어요. 내각의 합 180∘×4180^\circ\times4
학생
왜 180∘180^\circ 에 (n−2)(n-2) 를 곱해요?
쌤
한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면 삼각형 (n−2)(n-2) 개로 나뉘어요. 삼각형 하나의 내각의 합이 180∘180^\circ 이니까요.
공식nn 각형의 내각의 크기의 합
삼각형
180∘×1=180∘\displaystyle 180^\circ\times1=180^\circ
사각형
180∘×2=360∘\displaystyle 180^\circ\times2=360^\circ
오각형
180∘×3=540∘\displaystyle 180^\circ\times3=540^\circ
육각형
180∘×4=720∘\displaystyle 180^\circ\times4=720^\circ
구각형
180∘×7=1260∘\displaystyle 180^\circ\times7=1260^\circ
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
팔각형의 내각의 크기의 합은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

왜 그런가요? nn 각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면 (n−3)(n-3) 개의 대각선에 의해 (n−2)(n-2) 개의 삼각형으로 나뉘어요. 이 삼각형들의 내각을 모두 모으면 nn 각형의 내각이 돼요.

거꾸로
내각의 합이 1260∘1260^\circ
180∘×(n−2)=1260∘180^\circ\times(n-2)=1260^\circ
n−2=7n-2=7
↳양변을 180∘180^\circ 로 나눠요
n=9n=9
↳구각형
예나머지 한 내각 구하기
오각형의 네 내각이 100∘100^\circ, 110∘110^\circ, 120∘120^\circ, 105∘105^\circ 이면
나머지 한 내각은 540∘−(100∘+110∘+120∘+105∘)=105∘540^\circ-(100^\circ+110^\circ+120^\circ+105^\circ)=105^\circ
그 외각은 180∘−105∘=75∘180^\circ-105^\circ=75^\circ
?100°110°120°105°

5다각형의 외각의 크기의 합

성질외각의 크기의 합
다각형의 외각의 크기의 합은 꼭짓점의 개수와 관계없이 항상 360360 도이다.
삼각형도, 백각형도 외각의 합은 360∘360^\circ 이다.
ABCDE
다섯 외각을 모으면 한 바퀴, 360∘360^\circ
학생
변이 많아져도 외각의 합은 왜 그대로예요?
쌤
꼭짓점마다 내각과 외각의 합이 180∘180^\circ 라서 전부 더하면 180∘×n180^\circ\times n 이에요. 여기서 내각의 합 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2) 를 빼면 늘 360∘360^\circ 가 남아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
십이각형의 외각의 크기의 합은?
내각의 합과 외각의 합
✗ 틀린 풀이
육각형의 외각의 합은
180∘×(6−2)=720∘180^\circ\times(6-2)=720^\circ
왜 틀렸나 다각형의 외각의 크기의 합은 변의 개수와 관계없이 항상 360∘360^\circ 이다.
✓ 바른 풀이
육각형의 외각의 합은 360∘360^\circ
720∘720^\circ 는 육각형의 내각의 합이다.
변이 늘면 내각의 합은 커지지만 외각의 합은 그대로 360∘360^\circ 이에요.
자세히 보기펼치기예제
외각의 합이 360∘360^\circ 인 이유
(내각)+(외각)=180∘(\text{내각})+(\text{외각})=180^\circ
↳꼭짓점 하나에서
(내각의 합)+(외각의 합)=180∘×n(\text{내각의 합})+(\text{외각의 합})=180^\circ\times n
↳꼭짓점이 nn 개
(외각의 합)=180∘×n−180∘×(n−2)(\text{외각의 합})=180^\circ\times n-180^\circ\times(n-2)
↳내각의 합을 빼요
=360∘=360^\circ

6정다각형의 한 내각과 한 외각

공식정 nn 각형
한 내각
180∘×(n−2)n\displaystyle \frac{180^\circ\times(n-2)}{n}
한 외각
360∘n\displaystyle \frac{360^\circ}{n}
한 외각을 먼저 구하고 180∘180^\circ 에서 빼면 한 내각을 빠르게 구한다.
정육각형
360∘6=60∘, 180∘−60∘=120∘\displaystyle \frac{360^\circ}{6}=60^\circ,\ 180^\circ-60^\circ=120^\circ
한 외각, 한 내각
정십각형
360∘10=36∘, 180∘−36∘=144∘\displaystyle \frac{360^\circ}{10}=36^\circ,\ 180^\circ-36^\circ=144^\circ
한 외각, 한 내각
학생
정다각형이 아니어도 이렇게 나눠서 구해요?
쌤
아니요. 정다각형은 모든 내각과 모든 외각의 크기가 같아서 합을 nn 으로 나눌 수 있어요. 정다각형이 아니면 각마다 크기가 달라 이렇게 구할 수 없어요.
120°60°
정육각형: 한 외각 60∘60^\circ, 한 내각 120∘120^\circ
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정팔각형의 한 내각의 크기는?
한 내각과 내각의 합
✗ 틀린 풀이
정오각형의 한 내각은
180∘×(5−2)=540∘180^\circ\times(5-2)=540^\circ
왜 틀렸나 정다각형의 한 내각은 내각의 크기의 합을 꼭짓점의 개수로 나누어 구한다.
✓ 바른 풀이
정오각형의 한 내각은
540∘5=108∘\frac{540^\circ}{5}=108^\circ
확인 방법: 한 내각은 180∘180^\circ 보다 작아야 한다.
정오각형의 한 외각 360∘5=72∘\frac{360^\circ}{5}=72^\circ 를 180∘180^\circ 에서 빼도 108∘108^\circ 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제외우기 카드

왜 그런가요? 정 nn 각형은 nn 개의 내각의 크기가 모두 같으므로 내각의 합을 nn 으로 나누면 한 내각이 돼요. 외각도 모두 같으므로 360∘360^\circ 를 nn 으로 나누면 한 외각이에요.

예거꾸로
한 내각이 150∘150^\circ 인 정다각형
한 외각은 180∘−150∘=30∘180^\circ-150^\circ=30^\circ
360∘n=30∘\frac{360^\circ}{n}=30^\circ 이므로 n=12n=12
따라서 정십이각형이에요.
한 내각의 식 180∘×(n−2)n=150∘\frac{180^\circ\times(n-2)}{n}=150^\circ 을 풀어도 같지만, 외각으로 푸는 것이 간단해요.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2한 꼭짓점에서 n−3n-3 개, 두 번 세어짐
n각형의 대각선=n(n−□)2n\text{각형의 대각선}=\frac{n(n-\square)}{2}
단계 1 / 2삼각형 n−2n-2 개
n각형의 내각의 합=180∘×(n−□)n\text{각형의 내각의 합}=180^\circ\times(n-\square)
단계 1 / 1nn 과 관계없다
n각형의 외각의 합=□n\text{각형의 외각의 합}=\square
단계 1 / 2
정 n각형의 한 외각=□n\text{정 }n\text{각형의 한 외각}=\frac{\square}{n}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1nn 각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 (n−3)(n-3) 개, 대각선 전체는 n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} 개이다.
  2. 2삼각형의 세 내각의 합은 180∘180^\circ 이고, 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
  3. 3nn 각형의 내각의 크기의 합은 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2), 외각의 크기의 합은 항상 360∘360^\circ 이다.
  4. 4정 nn 각형의 한 내각은 180∘×(n−2)n\frac{180^\circ\times(n-2)}{n}, 한 외각은 360∘n\frac{360^\circ}{n} 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 대각선의 개수를 n(n−3)n(n-3) 으로 구하고 22 로 나누지 않아요.
  • 정 nn 각형의 한 내각을 구할 때 내각의 합 180∘×(n−2)180^\circ\times(n-2) 를 nn 으로 나누지 않아요.
  • 외각의 합도 nn 에 따라 커진다고 생각해요(항상 360∘360^\circ 예요).
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    정십각형의 대각선의 개수, 한 외각의 크기, 한 내각의 크기를 각각 구하시오.
    한 꼭짓점에서 대각선 77 개
  2. 예제 2
    내각의 크기의 합이 1260∘1260^\circ 인 다각형의 대각선의 개수를 구하시오.
  3. 예제 3
    △ABC\triangle ABC 에서 ∠A=(2x+10)∘\angle A=(2x+10)^\circ, ∠B=(x+20)∘\angle B=(x+20)^\circ 이고, ∠C\angle C 의 외각의 크기가 (4x−10)∘(4x-10)^\circ 일 때 xx 의 값을 구하시오.
    (2x+10)°(x+20)°(4x−10)°ABC

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