산점도와 상관관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 변량의 순서쌍을 좌표평면 위에 점으로 나타낸 그림을 산점도라 해요. 한 변량이 커질 때 다른 변량도 대체로 커지면 양의 상관관계, 대체로 작아지면 음의 상관관계가 있다고 하며, 점들이 한 직선 가까이 모일수록 상관관계가 강해요.

1산점도
2상관관계
3산점도 해석하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (2개 · 핵심 용어 가리기)

1산점도

키가 큰 학생은 대체로 몸무게도 많이 나갈까요?
두 변량 사이의 관계를 알아보려면 두 변량을 함께 나타내야 해요.

정의산점도

두 변량

x

y

의 순서쌍

(x,\ y)

를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타낸 그림을 산점도 라 한다.

키와 몸무게

$x$ (cm)	$150$	$155$	$160$	$165$	$170$	$175$
$y$ (kg)	$42$	$47$	$50$	$56$	$58$	$65$

노란 칸과 그 위의

150

이 순서쌍

(150,\ 42)

예요.

키와 몸무게의 산점도

점들이 오른쪽 위로 올라가요.

학생

산점도에서 점 하나는 무엇을 나타내요?

쌤

학생 한 명이에요. 그 학생의 키를

x

좌표, 몸무게를

y

좌표로 한 순서쌍을 찍은 거예요. 점들이 모인 모양을 보면 두 변량의 관계가 보여요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

키

160\,\text{cm}

, 몸무게

50\,\text{kg}

인 학생을 가로축이 키, 세로축이 몸무게인 산점도에 찍은 점은?

자세히 보기펼치기예제왜 그런지

예표를 순서쌍으로 바꾸기

학생

6

명의 키

x\,(\text{cm})

와 몸무게

y\,(\text{kg})

를 아래 표로 나타냈어요.
표의 세로 한 칸이 순서쌍 하나예요. 차례로

(150,\ 42),\ (155,\ 47),\ \cdots,\ (175,\ 65)

이 점들을 좌표평면에 찍으면 오른쪽 위로 올라가는 모양이 돼요.

산점도 그리는 순서

1
가로축과 세로축에 각각 어떤 변량을 놓을지 정하고 눈금을 매겨요.
두 축의 눈금은 자료의 범위에 맞춰요. $0$ 부터 시작하지 않아도 돼요.
2
각 자료를 순서쌍 $(x,\ y)$ 로 바꿔요.
3
순서쌍을 좌표로 하는 점을 찍어요.
같은 순서쌍이 여러 개이면 겹쳐 찍히므로 개수를 따로 적어요.

2상관관계

정의상관관계

두 변량

x

y

사이에서 한쪽 값이 변함에 따라 다른 쪽 값이 변하는 경향이 있을 때, 두 변량 사이에 상관관계가 있다고 한다.

공식상관관계의 종류

양의 상관관계

\displaystyle \nearrow

x

의 값이 커질 때

y

의 값도 대체로 커진다. 점들이 오른쪽 위로 향하는 직선 주변에 분포한다.
예: 키와 몸무게, 공부 시간과 성적

음의 상관관계

\displaystyle \searrow

x

의 값이 커질 때

y

의 값은 대체로 작아진다. 점들이 오른쪽 아래로 향하는 직선 주변에 분포한다.
예: 기온과 난방비, 자동차의 속력과 목적지까지 걸리는 시간

상관관계가 없다

\displaystyle \cdot\ \cdot\ \cdot

x

의 값이 커질 때

y

의 값이 커지는지 작아지는지 분명하지 않다. 점들이 흩어져 있거나 축에 평행한 직선 주변에 분포한다.
예: 키와 수학 점수, 발 크기와 시력

양의 상관관계

키와 몸무게

음의 상관관계

기온과 난방비

학생

점들이 정확히 한 직선 위에 있지 않아도 상관관계가 있다고 해요?

쌤

네. 점들이 대체로 오른쪽 위나 오른쪽 아래로 향하는 경향만 있으면 돼요. 직선에 얼마나 가까이 모였는지는 상관관계의 강약으로 나타내요.

성질상관관계의 강약

점들이 한 직선에 가까이 모여 있을수록 상관관계가 강하다고 한다.
점들이 직선에서 멀리 흩어져 있을수록 상관관계가 약하다고 한다.
양의 상관관계와 음의 상관관계 모두 강하거나 약할 수 있다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

겨울철 하루 평균 기온과 난방비 사이의 상관관계는?

「대체로」를 빠뜨린 해석

✗ 틀린 풀이

키와 몸무게 사이에 양의 상관관계가 있으므로
키가 큰 학생은 반드시 몸무게가 더 많이 나간다.

왜 틀렸나 상관관계는 전체적인 경향을 나타내므로 「대체로 ~하는 경향이 있다」로 해석한다.

✓ 바른 풀이

키와 몸무게 사이에 양의 상관관계가 있으므로
키가 큰 학생은 대체로 몸무게가 더 많이 나가는 경향이 있다.

상관관계는 전체적인 경향이에요. 키가 더 큰데 몸무게는 덜 나가는 학생이 있을 수 있어요.

⚠ 주의상관관계와 원인

두 변량 사이에 상관관계가 있다고 해서 한쪽이 다른 쪽의 원인이라고 단정할 수는 없어요.
예를 들어 아이스크림 판매량과 물놀이 사고 수는 양의 상관관계를 보이지만, 둘 다 기온이 높을 때 늘어나기 때문이에요.

자세히 보기펼치기그림예제

상관관계가 없다

키와 수학 점수

점들이 어느 방향으로도 모이지 않고 흩어져 있어요.

예음의 상관관계

겨울철 하루 평균 기온

x\,(^\circ\text{C})

와 난방비

y

(천 원)

(-5,\ 92),\ (0,\ 85),\ (5,\ 70),\ (10,\ 61),\ (15,\ 48),\ (20,\ 40)

기온이 높아질수록 난방비가 줄어들므로 음의 상관관계가 있어요.

강한 양의 상관관계

점들이 한 직선 가까이에 모여 있어요.

약한 양의 상관관계

오른쪽 위로 향하는 경향은 있지만 점들이 넓게 흩어져 있어요.

3산점도 해석하기

성질대각선을 기준으로 읽기

대각선

y=x

위에 있는 점: 두 점수가 같다.
대각선보다 위쪽에 있는 점:

y>x

, 즉 2차 점수가 1차 점수보다 높다.
대각선보다 아래쪽에 있는 점:

y<x

, 즉 2차 점수가 1차 점수보다 낮다.
대각선에서 멀리 떨어진 점일수록 두 점수의 차가 크다.

학생 A ~ F 의 1차·2차 점수

보라색 점선이

y=x

예요. A, C, E 는 위쪽, B 는 선 위, D, F 는 아래쪽에 있어요.

학생

왜 대각선보다 위쪽에 있으면 2차 점수가 더 높아요?

쌤

대각선 위의 점은

y=x

예요. 같은

x

에서 대각선보다 위에 있으면

y

가 더 크니까

y>x

, 즉 2차 점수가 더 높아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(1차, 2차) 점수가

(85,\ 70)

인 학생의 점은 대각선

y=x

의 어디에 있어요?

대각선 위쪽과 아래쪽을 바꾼 실수

✗ 틀린 풀이

점

(90,\ 65)

는

65<90

이므로
2차 점수가 더 높다.

왜 틀렸나 점

(x,\ y)

가 대각선

y=x

아래쪽에 있으면

y<x

이므로 2차 점수가 1차 점수보다 낮다.

✓ 바른 풀이

점

(90,\ 65)

는 대각선

y=x

아래쪽에 있으므로
2차 점수(

y

)가 1차 점수(

x

)보다 낮다.

가로축이 1차(

x

), 세로축이 2차(

y

)인지 먼저 확인해요.

성질기준선으로 영역 나누기

「1차 점수가

80

점 이상」은 직선

x=80

위 또는 오른쪽에 있는 점이다.
「2차 점수가

80

점 이상」은 직선

y=80

위 또는 위쪽에 있는 점이다.
「두 점수가 모두

80

점 이상」은 두 조건을 모두 만족하는 오른쪽 위 영역의 점이다.
「이상」은 경계선 위의 점을 포함하고, 「초과」는 포함하지 않는다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

같은 학생들의 1차 점수 $x$ 와 2차 점수 $y$ 처럼 두 변량의 단위와 눈금이 같으면, 직선 $y=x$ (대각선)를 그어 점의 위치를 비교해요.
대각선 위의 점은 $y=x$ 예요. 같은 $x$ 에서 대각선보다 위에 있으면 $y$ 가 더 크므로 $y>x$ 예요.

예대각선으로 비교하기

학생 A ~ F 의 (1차, 2차) 점수

(60,\ 75),\ (70,\ 70),\ (80,\ 85),\ (90,\ 65),\ (75,\ 90),\ (85,\ 80)

2차 점수가 더 높은 학생(대각선 위쪽)은 A, C, E 의

3

명이에요.
두 점수가 같은 학생(대각선 위)은 B 의

1

명이에요.
2차 점수가 더 낮은 학생(대각선 아래쪽)은 D, F 의

2

명이에요.

기준선

x=80

y=80

두 주황 점선의 오른쪽 위(선 위 포함)에 있는 점이 두 점수 모두 80 점 이상인 학생이에요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 변량 $x$ , $y$ 의 순서쌍 $(x,\ y)$ 를 좌표평면 위에 점으로 나타낸 그림을 산점도라 한다.
2 $x$ 의 값이 커질 때 $y$ 의 값도 대체로 커지면 양의 상관관계, 대체로 작아지면 음의 상관관계가 있다고 한다.
3어느 쪽 경향도 없으면 상관관계가 없다고 한다.
4점들이 한 직선 가까이에 모여 있을수록 상관관계가 강하고, 흩어져 있을수록 약하다.

✗ 자주 하는 실수

상관관계를 「반드시 그렇다」로 해석하여, 경향에 맞지 않는 개별 자료가 있을 수 없다고 생각해요.
대각선 $y=x$ 의 위쪽과 아래쪽이 각각 무엇을 뜻하는지 바꾸어 읽어요.
「이상」 조건에서 경계선 위의 점을 빠뜨리거나, 상관관계가 있으면 한 변량이 다른 변량의 원인이라고 단정해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
학생 $6$ 명의 1차와 2차 수학 점수가 다음과 같다. 2차 점수가 1차 점수보다 높은 학생 수와 두 점수가 같은 학생 수를 구하시오. $\begin{array}{c|cccccc}\hline \text{학생} & \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} & \text{F} \\ \hline \text{1차} & 60 & 75 & 80 & 90 & 65 & 85 \\ \text{2차} & 70 & 70 & 80 & 95 & 60 & 90 \\ \hline \end{array}$
예제 2
예제 1 의 자료에서 1차와 2차 점수가 모두 $80$ 점 이상인 학생 수를 구하시오.
예제 3
학생 $10$ 명의 (1차, 2차) 점수가 다음과 같다. 두 점수의 차가 $10$ 점 이상인 학생 수와, 2차 점수가 더 높은 학생은 전체의 몇 % 인지 구하시오. $(50,\ 65),\ (60,\ 55),\ (70,\ 72),\ (80,\ 68),\ (90,\ 92),$ $(55,\ 70),\ (65,\ 66),\ (75,\ 74),\ (85,\ 99),\ (95,\ 90)$

다음 공부

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