수학 개념 노트전체 과목

상자그림

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
자료를 크기순으로 나열하여 4 등분하는 위치의 값 Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3 을 사분위수라 해요. 최솟값, Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3, 최댓값의 다섯 수치로 상자그림을 그리고, 사분위범위 Q3−Q1Q_3-Q_1 과 중앙값으로 자료의 분포를 해석하고 비교해요.
  1. 1사분위수
  2. 2사분위범위와 범위
  3. 3다섯 수치 요약과 상자그림
  4. 4두 자료 비교하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1사분위수

중앙값은 자료를 크기순으로 나열하여 반으로 나누는 값이에요.
자료를 반의반, 즉 4 등분하는 값까지 알면 자료가 어디에 몰려 있는지 더 자세히 알 수 있어요.

정의사분위수
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하여 4 등분하는 위치에 있는 세 값을 사분위수 라 한다.
작은 값부터 차례로 제1사분위수 Q1Q_1, 제2사분위수 Q2Q_2, 제3사분위수 Q3Q_3 이라 한다.
Q2Q_2 는 자료 전체의 중앙값이다.
사분위수를 구하는 순서 (이 교재의 정의)
  1. 1
    변량을 작은 값부터 크기순으로 나열해요.
  2. 2
    전체의 중앙값을 구해요. 이것이 Q2Q_2 이에요.
  3. 3
    중앙값을 기준으로 자료를 아래쪽 절반과 위쪽 절반으로 나눠요.
    변량의 개수가 홀수이면 한가운데 값(중앙값)은 어느 쪽에도 넣지 않아요. 짝수이면 정확히 반씩 나눠요.
  4. 4
    아래쪽 절반의 중앙값이 Q1Q_1, 위쪽 절반의 중앙값이 Q3Q_3 이에요.
    각 절반의 변량 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균이에요.
변량의 개수가 홀수일 때
2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 152,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 11,\ 13,\ 15
Q2=8Q_2=8
↳99 개이므로 9+12=5\frac{9+1}{2}=5 번째 값
Q1=4+52=4.5Q_1=\frac{4+5}{2}=4.5
↳아래쪽 2, 4, 5, 72,\ 4,\ 5,\ 7
Q3=11+132=12Q_3=\frac{11+13}{2}=12
↳위쪽 10, 11, 13, 1510,\ 11,\ 13,\ 15
중앙값 88 은 어느 쪽에도 넣지 않아요.
학생
변량의 개수가 짝수일 때도 이렇게 나눠요?
쌤
네. 짝수이면 자료를 정확히 반씩 나눠요. 이때 각 절반의 변량 개수가 짝수이면 그 절반의 중앙값은 가운데 두 값의 평균이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
자료 1, 3, 4, 6, 7, 9, 101,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10 의 제1사분위수 Q1Q_1 은?
홀수 개에서 중앙값을 절반에 넣은 실수
✗ 틀린 풀이
2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 152,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 11,\ 13,\ 15 에서
아래쪽을 2, 4, 5, 7, 82,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8 로 잡아
Q1=5Q_1=5
왜 틀렸나 자료가 홀수 개이면 중앙값은 아래쪽과 위쪽 어느 쪽에도 넣지 않고 나머지를 반으로 나눈다.
✓ 바른 풀이
중앙값 88 은 어느 쪽에도 넣지 않는다.
아래쪽은 2, 4, 5, 72,\ 4,\ 5,\ 7 이므로
Q1=4.5Q_1=4.5
사분위수를 구하는 방법은 책·프로그램마다 조금씩 달라요. 이 교재는 교과서처럼 중앙값을 빼고 나눠요.
⚠ 주의먼저 크기순으로
자료가 섞여 있으면 반드시 크기순으로 다시 나열한 뒤에 위치를 세요. 주어진 순서대로 가운데 값을 고르는 실수가 많아요.
자세히 보기펼치기예제
변량의 개수가 짝수일 때
3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 143,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 11,\ 12,\ 14
Q2=8+92=8.5Q_2=\frac{8+9}{2}=8.5
↳44, 55 번째 값의 평균
Q1=5+62=5.5Q_1=\frac{5+6}{2}=5.5
↳아래쪽 3, 5, 6, 83,\ 5,\ 6,\ 8
Q3=11+122=11.5Q_3=\frac{11+12}{2}=11.5
↳위쪽 9, 11, 12, 149,\ 11,\ 12,\ 14

2사분위범위와 범위

정의사분위범위
제3사분위수에서 제1사분위수를 뺀 값을 사분위범위 라 한다.(사분위범위)=Q3−Q1(\text{사분위범위})=Q_3-Q_1자료의 가운데 약 50%50\% 가 들어 있는 구간의 길이이다.
최댓값에서 최솟값을 뺀 값은 범위이다.(범위)=(최댓값)−(최솟값)(\text{범위})=(\text{최댓값})-(\text{최솟값})
학생
범위가 있는데 사분위범위는 왜 또 있어요?
쌤
범위는 최댓값과 최솟값 두 값만 써서, 극단적인 값 하나에 크게 흔들려요. 사분위범위 Q3−Q1Q_3-Q_1 은 가운데 약 50%50\% 만 보아서 덜 흔들려요.
위의 88 개 자료에서
11.5−5.5=611.5-5.5=6
↳사분위범위 Q3−Q1Q_3-Q_1
14−3=1114-3=11
↳범위 (최댓값 −- 최솟값)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
Q1=12Q_1=12, Q3=20Q_3=20, 최솟값 55, 최댓값 3030 인 자료의 사분위범위는?
범위와 사분위범위를 혼동한 실수
✗ 틀린 풀이
사분위범위
=14−3=11=14-3=11
왜 틀렸나 사분위범위는 상자의 길이, 곧 제3사분위수와 제1사분위수의 차 Q3−Q1Q_3-Q_1 이다.
✓ 바른 풀이
사분위범위
=Q3−Q1=11.5−5.5=6=Q_3-Q_1=11.5-5.5=6
최댓값과 최솟값의 차는 범위이다. 두 말을 구별한다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질사분위범위는 극단적인 값에 덜 흔들린다
위 자료의 최댓값 1414 를 5050 으로 바꾸면
범위는
50−3=4750-3=47
로 크게 변하지만, Q1Q_1, Q3Q_3 은 그대로이므로 사분위범위는 여전히 66 이다.
따라서 극단적인 값이 있는 자료의 흩어진 정도는 사분위범위로 나타내는 것이 알맞다.

3다섯 수치 요약과 상자그림

정의다섯 수치 요약
최솟값, Q1Q_1, Q2Q_2(중앙값), Q3Q_3, 최댓값의 다섯 값을 다섯 수치 요약이라 한다.
위 자료의 상자그림
4050607080901004193557867
상자는 Q1=55Q_1=55 부터 Q3=78Q_3=78 까지, 상자 안 굵은 선이 중앙값 6767, 양쪽 수염 끝이 최솟값 4141 과 최댓값 9393 이에요.
학생
상자와 양쪽으로 뻗은 선은 각각 무엇을 나타내요?
쌤
상자는 Q1Q_1 부터 Q3Q_3 까지, 상자 안 선은 중앙값 Q2Q_2 예요. 양쪽으로 뻗은 선(수염)은 최솟값과 최댓값까지 그려요. 다섯 수치 요약의 다섯 값이 그대로 그림의 다섯 위치가 돼요.
성질상자그림 읽기
상자그림은 자료를 네 부분으로 나눈다.
최솟값 ~ Q1Q_1
Q1Q_1 ~ Q2Q_2
Q2Q_2 ~ Q3Q_3
Q3Q_3 ~ 최댓값
각 부분에 자료의 약 25%25\% 가 들어 있다.
상자 부분(Q1Q_1 ~ Q3Q_3)에는 가운데 약 50%50\% 가 들어 있다.
어떤 부분의 길이가 길수록 그 부분의 변량이 넓게 흩어져 있다.
네 부분에 각각 약 25%
405060708090100
왼쪽 수염(41~55)은 짧고 오른쪽 수염(78~93)은 길어요. 들어 있는 변량 수는 둘 다 약 25% 로 같고, 오른쪽 부분의 변량이 더 넓게 흩어져 있다는 뜻이에요.
⚠ 주의길이와 개수
수염이 길다고 그 부분에 변량이 많은 것이 아니에요. 네 부분에 들어 있는 변량의 개수는 거의 같고, 길이는 흩어진 정도를 나타내요.
「약」25%25\% 인 이유는 변량의 개수가 4 로 나누어떨어지지 않거나 같은 값이 있을 수 있기 때문이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
상자그림에서 상자 부분(Q1Q_1 ~ Q3Q_3)에 들어 있는 변량은 전체의 약 몇 %?
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
다섯 수치 요약
41, 52, 55, 60, 63, 67, 70, 72, 78, 85, 9341,\ 52,\ 55,\ 60,\ 63,\ 67,\ 70,\ 72,\ 78,\ 85,\ 93
Q2=67Q_2=67
↳1111 개이므로 11+12=6\frac{11+1}{2}=6 번째 값
Q1=55Q_1=55
↳아래쪽 41, 52, 55, 60, 6341,\ 52,\ 55,\ 60,\ 63 의 가운데
Q3=78Q_3=78
↳위쪽 70, 72, 78, 85, 9370,\ 72,\ 78,\ 85,\ 93 의 가운데
다섯 수치 요약은 최솟값 4141, Q1=55Q_1=55, Q2=67Q_2=67, Q3=78Q_3=78, 최댓값 9393 이에요.
상자그림 그리는 순서
  1. 1
    수직선(눈금)을 그리고 다섯 수치의 위치를 표시해요.
  2. 2
    Q1Q_1 에서 Q3Q_3 까지 직사각형(상자)을 그려요.
    상자의 길이가 사분위범위예요.
  3. 3
    상자 안 중앙값(Q2Q_2) 위치에 세로선을 그어요.
  4. 4
    상자의 양 끝에서 최솟값과 최댓값까지 선분(수염)을 그어요.

4두 자료 비교하기

두 자료의 상자그림(다섯 수치 요약)을 나란히 놓으면 중심과 흩어진 정도를 한눈에 비교할 수 있어요.
중심은 중앙값으로, 흩어진 정도는 사분위범위(상자의 길이)와 범위로 비교해요.

두 반의 수학 점수
405060708090100A 반4595607870B 반5088657672
상자(사분위범위)는 B 반이 더 짧고, 상자 안 굵은 선(중앙값)은 B 반이 조금 오른쪽에 있어요.
학생
중앙값이 높은 반은 학생들 점수가 모두 더 높은 거예요?
쌤
아니에요. 중앙값은 가운데 학생의 점수일 뿐이에요. 중앙값이 높아도 상자나 수염이 길면 낮은 점수의 학생이 섞여 있을 수 있어요.
두 반의 수학 점수 비교
72>7072>70
↳중앙값: B 반이 높아요
78−60=1878-60=18
↳A 반의 사분위범위
76−65=1176-65=11
↳B 반의 사분위범위 (더 모여 있어요)
95−45=50,88−50=3895-45=50,\quad 88-50=38
↳범위: A 반이 더 넓어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A 반은 Q1=60Q_1=60, Q3=78Q_3=78, B 반은 Q1=65Q_1=65, Q3=76Q_3=76 이에요. 가운데 50%50\% 의 점수가 더 모여 있는 반은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하여 4 등분하는 위치의 값을 사분위수라 하고, 작은 쪽부터 Q1Q_1(제1사분위수), Q2Q_2(제2사분위수), Q3Q_3(제3사분위수)라 한다. Q2Q_2 는 중앙값이다.
  2. 2Q1Q_1 은 중앙값보다 작은 쪽 자료의 중앙값, Q3Q_3 은 중앙값보다 큰 쪽 자료의 중앙값이다. 변량의 개수가 홀수이면 중앙값은 양쪽 어디에도 넣지 않는다.
  3. 3(사분위범위)=Q3−Q1=Q_3-Q_1, (범위)==(최댓값)−-(최솟값)
  4. 4최솟값, Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3, 최댓값을 다섯 수치 요약이라 하고, 이것으로 그린 그림이 상자그림이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 자료를 크기순으로 나열하지 않고 주어진 순서대로 사분위수를 구해요.
  • 변량의 개수가 홀수일 때 중앙값을 아래쪽이나 위쪽 절반에 넣어 Q1Q_1, Q3Q_3 을 구해요.
  • 사분위범위를 (최댓값)−-(최솟값)으로 계산하거나, 수염이 긴 부분에 변량이 더 많다고 해석해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 자료의 Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3 과 사분위범위를 구하시오.12, 7, 15, 9, 20, 11, 1812,\ 7,\ 15,\ 9,\ 20,\ 11,\ 18
  2. 예제 2
    다음 자료의 다섯 수치 요약을 구하고, 범위와 사분위범위를 구하시오.6, 13, 9, 4, 15, 10, 8, 12, 17, 56,\ 13,\ 9,\ 4,\ 15,\ 10,\ 8,\ 12,\ 17,\ 5
  3. 예제 3
    학생 6060 명의 몸무게(단위: kg\text{kg})의 다섯 수치 요약이 다음과 같다. 몸무게가 58 kg58\,\text{kg} 이상인 학생은 약 몇 명인지 구하시오.최솟값Q1Q2Q3최댓값4048535875\begin{array}{ccccc}\hline \text{최솟값} & Q_1 & Q_2 & Q_3 & \text{최댓값} \\ \hline 40 & 48 & 53 & 58 & 75 \\ \hline \end{array}

다음 공부

이전 개념: 산포도설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 대푯값중학교 3학년 목차
← 산포도산점도와 상관관계 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기