정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면

+

, 다르면

-

를 절댓값의 곱(몫)에 붙여요. 여러 수의 곱은 음수의 개수가 짝수이면

+

, 홀수이면

-

이에요. 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하여 계산해요.

1두 수의 곱셈
2곱셈의 계산 법칙과 여러 수의 곱셈
3거듭제곱의 부호
4분배법칙
5역수와 나눗셈
6혼합 계산의 순서
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1두 수의 곱셈

성질두 수의 곱셈의 부호

부호가 같은 두 수의 곱: 두 수의 절댓값의 곱에

+

를 붙인다.

(+2)\times(+3)=+6

(-2)\times(-3)=+6

부호가 다른 두 수의 곱: 두 수의 절댓값의 곱에

-

를 붙인다.

(+2)\times(-3)=-6

(-2)\times(+3)=-6

어떤 수와

0

의 곱은 항상

0

이다.

곱하는 수를

1

씩 줄이기

곱하는 수	$+2$	$+1$	$0$	$-1$	$-2$
$(+3)\times$	$+6$	$+3$	$0$	$-3$	$-6$
$(-3)\times$	$-6$	$-3$	$0$	$+3$	$+6$

윗줄은

3

씩 줄고, 아랫줄은

3

씩 늘어요. 이 규칙을 노란 칸(음수를 곱함)까지 이으면 양수

\times

음수

=

음수, 음수

\times

음수

=

양수예요.

학생

음수 곱하기 음수는 왜 양수예요?

쌤

곱하는 수를

1

씩 줄이면 곱도 일정하게 변해요. 이 규칙을 음수까지 그대로 이으면

(-3)\times(-1)=+3

이 돼요. 그래서 부호가 같으면

+

, 다르면

-

예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(-4)\times(-5)

의 값은?

덧셈 규칙과 헷갈리기

✗ 틀린 풀이

(-2)\times(-3)=-6

왜 틀렸나 곱셈에서는 두 수의 부호가 같으면 항상

+

이므로 음수끼리 곱하면 양수가 된다.

✓ 바른 풀이

(-2)\times(-3)=+6

기억 요령:

0

이 아닌 수의 곱셈은 음수의 개수가 짝수이면

+

, 홀수이면

-

이다.

2곱셈의 계산 법칙과 여러 수의 곱셈

공식곱셈의 계산 법칙

교환법칙

\displaystyle a\times b=b\times a

결합법칙

\displaystyle (a\times b)\times c=a\times(b\times c)

곱하는 순서와 묶는 방법을 바꾸어도 결과는 같다.

성질여러 수의 곱셈

부호부터

곱하는 음수의 개수가 짝수 개이면

+

곱하는 음수의 개수가 홀수 개이면

-

그다음 각 수의 절댓값을 모두 곱한다.
음수 두 개를 곱할 때마다

+

가 되기 때문이다.

예음수가

2

개

(-2)\times(+3)\times(-5)

음수가

2

개이므로 부호는

+

절댓값의 곱은

2\times3\times5=30

따라서

+30

학생

왜 음수의 개수만 세면 돼요?

쌤

음수 두 개를 곱할 때마다

+

가 되니까 둘씩 짝을 지으면 부호가 사라져요. 짝을 못 지은 음수가 하나 남으면

-

, 모두 짝이 지어지면

+

예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(-1)\times(-2)\times(-3)\times4

의 값은?

자세히 보기펼치기예제

예분수가 섞이고 음수가

3

개

\left(-\frac{1}{2}\right)\times\left(-\frac{4}{3}\right)\times(-3)

음수가

3

개이므로 부호는

-

절댓값의 곱은

\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times3=2

따라서

-2

3거듭제곱의 부호

성질음수의 거듭제곱

양수의 거듭제곱은 항상 양수이다.
음수의 거듭제곱은 지수가 짝수이면 양수, 홀수이면 음수이다.
특히

(-1)^{\text{짝수}}=1

(-1)^{\text{홀수}}=-1

예)

(-1)^{100}=1

(-1)^{99}=-1

학생

-2^2

이랑

(-2)^2

은 같아요?

쌤

아니요. 괄호가 있는지에 따라 달라져요. 지수는 바로 앞의 수에만 붙거든요.

공식괄호가 있을 때와 없을 때

(-2)^2

\displaystyle (-2)\times(-2)=4

-2

전체를 두 번 곱한다.

-2^2

\displaystyle -(2\times2)=-4

2

만 두 번 곱하고

-

를 붙인다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

-3^2+(-2)^3

의 값은?

괄호 없는 거듭제곱

✗ 틀린 풀이

-2^2=4

왜 틀렸나 지수는 바로 앞의 수에만 붙으므로

-2^2

은

2^2

에

-

를 붙인 수이다.

✓ 바른 풀이

-2^2=-4

확인 방법:

-2^2=-(2\times2)

이고

(-2)^2=(-2)\times(-2)

이므로 괄호가 있는지에 따라 값이 달라진다.

음수의 세제곱

✗ 틀린 풀이

(-3)^3=27

왜 틀렸나 음수를 홀수 번 곱하면 음수이므로

-3

을 세 번 곱한 값은 음수이다.

✓ 바른 풀이

(-3)^3=-27

음수를

3

번(홀수 번) 곱하면 음수예요.
분수도 같아요.

\left(-\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{8}

자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것이므로 여러 수의 곱셈의 부호 규칙을 그대로 써요. 문자에 음수를 대입할 때도 이 규칙이 쓰여요.
$(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$
$(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$

부호 규칙 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1부호가 같으면

+

(-)\times(-)=\square

단계 1 / 1

(-1)^{\text{홀수}}=\square

단계 1 / 2

(-2)^3=\square 8

4분배법칙

공식분배법칙

앞에 곱할 때

\displaystyle a\times(b+c)=a\times b+a\times c

뒤에 곱할 때

\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c

괄호 안의 각 수에 빠짐없이 곱한다.

분배법칙은 두 방향으로 써요. 문자가 든 식에서도 똑같이 써요.

괄호를 푸는 방향

(-8)\times\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)

=(-8)\times\frac{1}{4}-(-8)\times\frac{1}{2}

↳◀두 수에 모두 곱해요

=-2+4=2

학생

괄호 앞이 음수이면 뭘 조심해요?

쌤

괄호 안의 수마다 음수를 곱하니 부호가 모두 바뀌어요.

(-8)\times\left(-\frac12\right)=+4

처럼 뒤의 수에 곱할 때 부호를 놓치기 쉬워요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(-6)\times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)

의 값은?

괄호 안의 모든 수에 곱하기

✗ 틀린 풀이

(-8)\times\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=-2-\frac{1}{2}

왜 틀렸나 분배법칙에서는 괄호 앞의

-8

을 괄호 안의 모든 항에 부호까지 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

(-8)\times\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=-2+4=2

-8

을

\frac{1}{2}

에도 곱해야 해요.

-(-8)\times\frac{1}{2}=+4

자세히 보기펼치기예제 2

공통인 수로 묶는 방향

13\times(-7)+87\times(-7)

=(13+87)\times(-7)

↳◀

-7

로 묶어요

=100\times(-7)=-700

예계산을 쉽게

99\times(-7)

99=100-1

로 봐요.

99\times(-7)=(100-1)\times(-7)

=100\times(-7)-1\times(-7)

=-700+7=-693

5역수와 나눗셈

성질두 수의 나눗셈의 부호

나눗셈의 부호는 곱셈과 같다.
부호가 같으면 절댓값의 몫에

+

(-12)\div(-4)=+3

부호가 다르면 절댓값의 몫에

-

(+12)\div(-4)=-3

0

을

0

이 아닌 수로 나눈 몫은

0

이고, 어떤 수도

0

으로 나눌 수 없다.

정의역수

두 수의 곱이

1

일 때, 한 수를 다른 수의 역수 라 한다.

3\times\frac{1}{3}=1

이므로

3

과

\frac{1}{3}

은 서로 역수이다.

\left(-\frac{2}{5}\right)\times\left(-\frac{5}{2}\right)=1

이므로

-\frac{2}{5}

의 역수는

-\frac{5}{2}

0

은 무엇을 곱해도

1

이 될 수 없으므로 역수가 없다.

공식역수 구하기

\frac{b}{a}

\displaystyle \frac{a}{b}

분자와 분모를 바꾼다. 부호는 그대로.

-4=-\frac{4}{1}

\displaystyle -\frac{1}{4}

분모가

1

인 분수로 본다.

0.4=\frac{2}{5}

\displaystyle \frac{5}{2}

먼저 분수로 고친다.

-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}

\displaystyle -\frac{2}{3}

먼저 가분수로 고친다.

성질나눗셈은 역수의 곱셈

나누는 수의 역수를 곱하여 계산한다.

a\div b=a\times\frac{1}{b}

(

b\ne0

)
예)

(-6)\div\frac{2}{3}=(-6)\times\frac{3}{2}=-9

곱셈으로 고치면 교환법칙과 결합법칙을 쓸 수 있다.

학생

나누는 대신 역수를 곱해도 왜 값이 같아요?

쌤

a\div b

는

b

를 곱하면

a

가 되는 수예요.

a\times\frac1b

에

b

를 곱해도

a

가 되니 두 값이 같아요. 곱셈으로 바꾸면 교환법칙도 쓸 수 있어 편해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

-\frac{3}{4}

의 역수는?

역수의 부호

✗ 틀린 풀이

-\frac{2}{3}

의 역수는

\frac{2}{3}

왜 틀렸나 역수는 곱해서

1

이 되는 수이므로 음수의 역수는 부호가 그대로 음수이다.

✓ 바른 풀이

-\frac{2}{3}

의 역수는

-\frac{3}{2}

곱해서

1

이 나오는 두 수는 부호가 같아요.
역수는 반대 부호의 수(곱해서

-1

, 더해서

0

)와 달라요.

6혼합 계산의 순서

계산 순서

1
거듭제곱을 먼저 계산해요.
2
괄호 안을 계산해요.
소괄호 $(\ )$ $\to$ 중괄호 $\{\ \}$ $\to$ 대괄호 $[\ ]$ 순서
3
곱셈과 나눗셈을 앞에서부터 차례로 계산해요.
나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾸면 실수가 줄어들어요.
4
덧셈과 뺄셈을 계산해요.

계산 순서의 첫 단계는 거듭제곱이에요. 다음 식으로 순서를 따라가 봐요.

-2^2+(-3)\times\{5-(-1)^3\}\div2

=-4+(-3)\times\{5-(-1)\}\div2

↳◀거듭제곱 먼저:

-2^2=-4

(-1)^3=-1

=-4+(-3)\times6\div2

↳◀중괄호 안

=-4+(-18)\div2

↳◀곱셈·나눗셈 앞에서부터

=-4+(-9)

↳◀이어서 나눗셈

=-13

↳◀마지막으로 덧셈

학생

곱셈을 나눗셈보다 먼저 하는 거 아니에요?

쌤

아니에요. 곱셈과 나눗셈은 같은 순서라서 앞에서부터 차례로 해요. 헷갈리면 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾸면 순서 걱정이 없어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

8\div(-4)\times2

의 값은?

곱셈과 나눗셈은 앞에서부터

✗ 틀린 풀이

12\div(-2)\times3=12\div(-6)=-2

왜 틀렸나 곱셈과 나눗셈이 섞여 있으면 앞에서부터 차례로 계산하므로

12\div(-2)

를 먼저 한다.

✓ 바른 풀이

12\div(-2)\times3=(-6)\times3=-18

확인 방법: 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾸면

12\times\left(-\frac{1}{2}\right)\times3=-18

로 같은 값이 나온다.

자세히 보기펼치기틀리기 쉬운 곳

⚠ 주의검산

부호를 먼저 정했는지 음수의 개수를 다시 세어 봐요.
나눗셈의 답은 곱셈으로 확인해요.

(-6)\div\frac{2}{3}=-9

이면

(-9)\times\frac{2}{3}=-6

✓

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1부호가 같은 두 수의 곱은 절댓값의 곱에 $+$ , 부호가 다른 두 수의 곱은 절댓값의 곱에 $-$ 를 붙인다. 나눗셈의 부호도 같다.
2여러 수의 곱은 곱하는 음수의 개수가 짝수이면 $+$ , 홀수이면 $-$ 이다. 그래서 $(-2)^2=4$ , $(-2)^3=-8$ 이고, $-2^2=-4$ 와 $(-2)^2=4$ 는 다르다.
3곱해서 $1$ 이 되는 두 수를 서로 역수라 한다. 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하는 것과 같다. 곱셈에서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
4혼합 계산은 거듭제곱 $\to$ 괄호(소괄호 $\to$ 중괄호 $\to$ 대괄호) $\to$ 곱셈·나눗셈(앞에서부터) $\to$ 덧셈·뺄셈 순서로 한다.

✗ 자주 하는 실수

$-2^2$ 과 $(-2)^2$ 을 구별하지 못해 $-2^2=4$ 로 계산해요.
음수의 역수를 구할 때 부호까지 바꾸어 $-\frac{2}{3}$ 의 역수를 $\frac{3}{2}$ 로 써요.
곱셈·나눗셈이 섞인 식에서 곱셈을 먼저 하여 $12\div(-2)\times3=-2$ 로 계산해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(+\frac{2}{9}\right)\times(-6)$ 을 계산하시오.
예제 2
$(-2)^3\div\left(-\frac{4}{3}\right)\times\left(-\frac{1}{2}\right)^2$ 을 계산하시오.
예제 3
$5-3\times\{(-2)^2-6\div(-3)\}$ 을 계산하시오.

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