지수법칙과 단항식의 계산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

거듭제곱의 곱셈(

a^m\times a^n=a^{m+n}

), 거듭제곱의 거듭제곱(

(a^m)^n=a^{mn}

), 나눗셈, 곱과 몫의 거듭제곱에 대한 지수법칙을 이용하여 단항식의 곱셈·나눗셈과 혼합 계산을 해요.

1지수법칙 ① 거듭제곱의 곱셈
2지수법칙 ② 거듭제곱의 거듭제곱
3지수법칙 ③ 거듭제곱의 나눗셈
4지수법칙 ④ 곱과 몫의 거듭제곱
5단항식의 곱셈과 나눗셈
6단항식의 혼합 계산
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1지수법칙 ① 거듭제곱의 곱셈

성질거듭제곱의 곱셈

m

n

이 자연수일 때

a^m\times a^n=a^{m+n}

밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더한다.
세 개 이상도 같다.

x^3\times x^4\times x=x^{3+4+1}=x^8

수에도 쓸 수 있다.

2^3\times2^4=2^7

학생

왜 지수를 곱하지 않고 더해요?

쌤

a^2

은

a

를

2

개,

a^3

은

a

를

3

개 곱한 거예요. 둘을 곱하면

a

를 모두

2+3=5

개 곱한 셈이라

a^5

이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x^4\times x^3

을 간단히 하면?

지수를 곱하지 말 것

✗ 틀린 풀이

a^2\times a^3=a^6

왜 틀렸나 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 곱하는 문자의 개수가 합쳐지므로 지수끼리 더한다.

✓ 바른 풀이

a^2\times a^3=a^{2+3}=a^5

확인 방법:

a\times a

와

a\times a\times a

를 늘어놓고

a

의 개수를 세어 본다.
지수끼리 곱하는 것은

(a^2)^3

일 때이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? $a^2\times a^3$ 을 곱셈으로 풀어 써 봐요.
$a^2\times a^3=(a\times a)\times(a\times a\times a)$
$a$ 를 모두 $2+3=5$ 번 곱했으므로 $a^5$ 이에요.

2지수법칙 ② 거듭제곱의 거듭제곱

성질거듭제곱의 거듭제곱

m

n

이 자연수일 때

(a^m)^n=a^{mn}

예:

(x^3)^2\times x=x^6\times x=x^7

학생

(a^2)^3

은 왜 지수를 곱해요?

쌤

a^2

덩어리를

3

번 곱한 거라서 지수

2

를

3

번 더해요.

2+2+2=2\times3

이니까

a^6

이에요.

공식①과 ② 나란히 비교

곱 → 지수 더하기

\displaystyle a^2\times a^3=a^{5}

a

를

2

개,

3

개 곱한 것을 합친다.

거듭제곱 → 지수 곱하기

\displaystyle (a^2)^3=a^{6}

a^2

덩어리를

3

번 곱한다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(x^3)^4

을 간단히 하면?

자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? $(a^2)^3$ 은 $a^2$ 을 세 번 곱한 거예요.
$(a^2)^3=a^2\times a^2\times a^2=a^{2+2+2}=a^6$
$2$ 를 $3$ 번 더한 것은 $2\times3$ 이므로 지수끼리 곱하게 돼요.

3지수법칙 ③ 거듭제곱의 나눗셈

성질거듭제곱의 나눗셈

a\ne0

이고

m

n

이 자연수일 때

m>n

이면

a^m\div a^n=a^{m-n}

m=n

이면

a^m\div a^n=1

m<n

이면

a^m\div a^n=\frac{1}{a^{n-m}}

지수끼리 빼되, 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼고 큰 쪽이 있던 자리(분자 또는 분모)에 남긴다.

학생

왜 지수끼리 빼요?

쌤

분수로 쓰고 약분하면 분자와 분모에서

a

가 같은 개수만큼 지워져요.

a^5\div a^2

이면

a

다섯 개 중 두 개가 지워져

a^3

이 남아요.

나눗셈을 분수로 쓰고 약분하기

a^5\div a^2=\frac{aaaaa}{aa}=a^3

↳◀분자에

3

개 남아요

a^3\div a^3=\frac{aaa}{aaa}=1

↳◀모두 약분돼요

a^2\div a^5=\frac{aa}{aaaaa}=\frac{1}{a^3}

↳◀분모에

3

개 남아요

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

a^2\div a^6

을 간단히 하면?

지수를 나누지 말 것

✗ 틀린 풀이

a^6\div a^2=a^3

왜 틀렸나 밑이 같은 거듭제곱끼리 나누면 약분되는 개수만큼 줄어들므로 지수끼리 뺀다.

✓ 바른 풀이

a^6\div a^2=a^{6-2}=a^4

a

여섯 개 중 두 개가 약분되어 네 개가 남아요.

같은 지수의 나눗셈

✗ 틀린 풀이

a^3\div a^3=0

왜 틀렸나 분자와 분모가 같으면 모두 약분되어

1

이 남으므로

a^m\div a^m=1

이다.

✓ 바른 풀이

a^3\div a^3=1

검산:

a=2

를 넣으면

8\div8=1

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

분자와 분모 중 $a$ 가 더 많은 쪽에 남아요.

4지수법칙 ④ 곱과 몫의 거듭제곱

성질곱과 몫의 거듭제곱

n

이 자연수일 때

(ab)^n=a^nb^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\ne0)

괄호 안의 계수, 부호, 각 문자에 모두 지수를 적용한다.

학생

(ab)^3

은 왜

a^3b^3

이 돼요?

쌤

(ab)^3=ab\times ab\times ab

이고, 곱하는 순서를 바꿔

a

끼리,

b

끼리 모으면

a^3b^3

이에요.

예계수·분수·음수가 있을 때

(-3a^2b^3)^2=(-3)^2\times(a^2)^2\times(b^3)^2=9a^4b^6

\left(\frac{2x}{y^2}\right)^3=\frac{2^3x^3}{(y^2)^3}=\frac{8x^3}{y^6}

\left(-\frac{1}{2}ab^2\right)^2=\frac{1}{4}a^2b^4

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(-2x^2)^3

을 간단히 하면?

⚠ 주의음수의 거듭제곱과 부호

(-x)^2=x^2

이지만

-x^2

은

x^2

에

-

를 붙인 거예요.

(-x)^3=-x^3

괄호 안이 음수이면 지수가 짝수일 때

+

, 홀수일 때

-

이에요.

계수에도 지수를 적용

✗ 틀린 풀이

(2a)^3=2a^3

왜 틀렸나 괄호째 거듭제곱하면 괄호 안의 계수도 문자와 함께 지수만큼 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

(2a)^3=2^3a^3=8a^3

검산:

a=1

을 넣으면

(2\times1)^3=8

이고,

8a^3

에 넣어도

8

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림외우기 카드

왜 그런가요? $(ab)^3=ab\times ab\times ab=(a\times a\times a)\times(b\times b\times b)=a^3b^3$
괄호 안의 각 인수가 모두 세 번씩 곱해져요.

틀에 넣기:

(AB)^3=A^3B^3

에

A=-2x^2

B=y

① 공식을 틀로 본다

\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3}=\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3}

②

- 8 x^{6} y^{3}

에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다

\textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{- 2 x^{2}}

\textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{y}

③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다

틀의 항	괄호째 넣기	부호	숫자	문자	결과
$\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3}$	$\textcolor{#2563eb}{(- 2 x^{2})}^{3} \textcolor{#ea580c}{y}^{3}$	−	$8$	$x^{6} y^{3}$	$- 8 x^{6} y^{3}$

답

- 8 x^{6} y^{3}=- 8 x^{6} y^{3}

✓ 검산:

x=1,\ y=1

을 넣으면 왼쪽

-8

, 오른쪽

-8

지수법칙 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2곱은 더하기

a^m\times a^n=a^{m\square n}

단계 1 / 2거듭제곱은 곱하기

(a^m)^n=a^{m\square n}

단계 1 / 2나눗셈은 빼기

a^m\div a^n\ (m>n)=a^{m\square n}

단계 1 / 2

(ab)^n=a^{\square}b^{\square}

성질거꾸로 쓰기

지수 구하기

x^3\times x^{\square}=x^8

이면 왼쪽은

x^{3+\square}

이고 밑이

x

로 같으므로 지수끼리 비교하여

3+\square=8

따라서

\square=5

(x^{\square})^4=x^{12}

이면

\square\times4=12

따라서

\square=3

5단항식의 곱셈과 나눗셈

정의단항식의 곱셈

단항식 끼리의 곱셈은 계수 끼리, 문자끼리 곱한다.
같은 문자의 곱은 지수법칙으로 정리한다.

예단항식의 곱셈

3x^2y\times(-4xy^3)=3\times(-4)\times x^2\times x\times y\times y^3=-12x^3y^4

거듭제곱이 있으면 먼저 계산해요.

(-2a)^2\times3a^3b=4a^2\times3a^3b=12a^5b

정의단항식의 나눗셈

방법 1: 분수 꼴로 고쳐서 약분한다.

A\div B=\frac{A}{B}

방법 2: 나누는 식의 역수를 곱한다.

A\div B=A\times\frac{1}{B}

나누는 식의 계수가 분수이면 방법 2가 편리하다.

학생

나눗셈은 두 방법 중 어느 걸 써요?

쌤

대부분은 분수 꼴로 써서 약분하는 게 빨라요. 나누는 식의 계수가

\frac{3}{2}

처럼 분수이면 역수를 곱하는 쪽이 편해요.

예단항식의 나눗셈

분수 꼴로 약분하면

12x^4y^3\div4xy^2=\frac{12x^4y^3}{4xy^2}=3x^3y

역수를 곱하면

6a^3b\div\frac{3}{2}ab=6a^3b\times\frac{2}{3ab}=\frac{12a^3b}{3ab}=4a^2

(

\frac{3}{2}ab=\frac{3ab}{2}

이므로 역수는

\frac{2}{3ab}

예요.)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

12x^4y^3\div4x^2y

를 간단히 하면?

계수가 분수인 식의 역수

✗ 틀린 풀이

\frac{3}{2}ab

의 역수는

\frac{2}{3}ab

왜 틀렸나 역수는 곱해서

1

이 되는 수이므로 계수와 문자를 모두 분모로 보내야 한다.

✓ 바른 풀이

\frac{3}{2}ab

의 역수는

\frac{2}{3ab}

\frac{3}{2}ab=\frac{3ab}{2}

이므로 역수는 분자와 분모를 바꾼

\frac{2}{3ab}

이에요.
문자도 분모로 내려가요.

6단항식의 혼합 계산

곱셈과 나눗셈이 섞인 계산 순서

1
괄호의 거듭제곱을 먼저 계산해요.
지수법칙 ②, ④
2
나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꿔요.
$\div B$ → $\times\frac{1}{B}$
3
부호를 정해요.
$-$ 의 개수가 홀수이면 $-$ , 짝수이면 $+$
4
계수끼리, 문자끼리 계산해요.
지수법칙 ①, ③

학생

왜 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꿔요?

쌤

곱셈만 남으면 순서를 바꿔도 결과가 같아서, 계수는 계수끼리 문자는 문자끼리 한꺼번에 계산할 수 있어요. 나눗셈이 섞인 채로 순서를 바꾸면 답이 달라져요.

4x^3y\div(2xy)^2\times3xy^2

=4x^3y\div4x^2y^2\times3xy^2

↳◀거듭제곱 먼저

=4x^3y\times\frac{1}{4x^2y^2}\times3xy^2

↳◀나눗셈은 역수의 곱셈

=\frac{4\times3}{4}\times\frac{x^3\times x}{x^2}\times\frac{y\times y^2}{y^2}

↳◀계수끼리, 문자끼리

=3x^2y

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

6x^3\div2x\times x

를 간단히 하면?

나눗셈이 두 번 이상일 때

✗ 틀린 풀이

8x^4\div2x\div2x^2=8x^4\div(2x\div2x^2)

왜 틀렸나 곱셈과 나눗셈이 섞여 있으면 앞에서부터 차례로 계산하므로 나누는 식마다 역수를 곱한다.

✓ 바른 풀이

8x^4\div2x\div2x^2=8x^4\times\frac{1}{2x}\times\frac{1}{2x^2}=2x

검산:

x=1

을 넣으면

8\div2\div2=2

이고,

2x

에 넣어도

2

이다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기

성질검산

문자에 수 넣기

계산 전 식과 결과에 같은 값을 넣어 비교한다.

3x^2y\times(-4xy^3)=-12x^3y^4

에

x=1

y=2

를 넣으면
왼쪽은

3\times2\times(-4\times8)=-192

오른쪽은

-12\times16=-192

두 값이 같으므로 맞게 계산하였다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1 $m$ , $n$ 이 자연수일 때 $a^m\times a^n=a^{m+n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ 이다.
2 $a\ne0$ 일 때 $a^m\div a^n$ 은 $m>n$ 이면 $a^{m-n}$ , $m=n$ 이면 $1$ , $m<n$ 이면 $\frac{1}{a^{n-m}}$ 이다.
3 $(ab)^n=a^nb^n$ , $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ( $b\ne0$ ) 이다.
4단항식의 곱셈은 계수끼리, 문자끼리 곱하고, 나눗셈은 나누는 식의 역수를 곱한다. 혼합 계산은 거듭제곱 → 나눗셈을 역수의 곱셈으로 → 앞에서부터 계산한다.

✗ 자주 하는 실수

$a^2\times a^3=a^6$ , $(a^2)^3=a^5$ 처럼 곱셈과 거듭제곱의 지수 계산(더하기/곱하기)을 바꾸어 써요.
$(2a)^3=2a^3$ , $(-x^2)^3=x^6$ 처럼 괄호 안의 계수나 부호에 지수를 적용하지 않아요.
$\frac{3}{2}ab$ 로 나눌 때 역수를 $\frac{2}{3}ab$ 로 쓰거나, 나눗셈이 여러 번일 때 뒤에서부터 계산해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$(-2x^2y)^3\times3xy^2$ 을 계산하시오.
예제 2
$8a^4b^3\div\left(-\frac{2}{3}a^2b\right)$ 를 계산하시오.
예제 3
$(2x^2y)^3\div(-4x^4y^2)\times3xy$ 를 계산하시오.

다음 공부

다음 개념: 다항식의 계산 →

설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 일차식의 계산, 중1 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈, 중1 소수와 거듭제곱, 대수 지수의 확장과 지수법칙 (나중에)중학교 2학년 목차

← 유리수와 순환소수 다항식의 계산 →

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