수학 개념 노트전체 과목

문자의 사용과 식의 값

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
문자를 사용하면 수량 사이의 관계를 하나의 식으로 나타낼 수 있어요. 곱셈 기호 ×\times 와 나눗셈 기호 ÷\div 를 규칙에 따라 생략하고, 문자에 수를 대입하여 식의 값을 구해요.
  1. 1문자를 사용한 식
  2. 2곱셈 기호의 생략
  3. 3나눗셈 기호의 생략
  4. 4식의 값
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1문자를 사용한 식

한 자루에 500500 원인 연필의 값
1자루 → 500×1 (원)1\text{자루}\ \to\ 500\times1\ (\text{원})
2자루 → 500×2 (원)2\text{자루}\ \to\ 500\times2\ (\text{원})
3자루 → 500×3 (원)3\text{자루}\ \to\ 500\times3\ (\text{원})
↳바뀌는 건 자루 수뿐
x자루 → 500×x (원)x\text{자루}\ \to\ 500\times x\ (\text{원})
↳자루 수를 xx 로
학생
식에 왜 문자를 써요?
쌤
연필 11 자루, 22 자루, 33 자루의 값을 하나하나 쓰지 않고, xx 자루의 값 500×x500\times x 원 하나로 모두 나타낼 수 있어서예요.
정의문자를 사용한 식
문자를 사용하여 수량이나 수량 사이의 관계를 나타낸 식을 문자를 사용한 식이라 한다.
문자로는 보통 a, b, c, x, ya,\ b,\ c,\ x,\ y 등을 쓴다.
문자를 사용한 식을 세우는 순서는 다음과 같다.
① 문제의 뜻을 파악하여 규칙을 찾는다.
② 수 대신 문자를 넣어 규칙을 식으로 나타낸다.
③ 단위가 있으면 단위를 붙인다.
공식자주 쓰는 수량 관계
물건값
(물건값)=(한 개의 값)×(개수)\displaystyle (\text{물건값})=(\text{한 개의 값})\times(\text{개수})
한 개에 aa 원인 공책 33 권의 값은 3a3a 원
거리
(거리)=(속력)×(시간)\displaystyle (\text{거리})=(\text{속력})\times(\text{시간})
시속 xx km 로 22 시간 간 거리는 2x2x km
시간
(시간)=(거리)(속력)\displaystyle (\text{시간})=\frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}
1010 km 를 시속 xx km 로 가는 데 걸리는 시간은 10x\frac{10}{x} 시간
평균
(평균)=(자료의 총합)(자료의 개수)\displaystyle (\text{평균})=\frac{(\text{자료의 총합})}{(\text{자료의 개수})}
두 수 a, ba,\ b 의 평균은 a+b2\frac{a+b}{2}
할인
(판매 가격)=(정가)−(정가)×(할인율)100\displaystyle (\text{판매 가격})=(\text{정가})-(\text{정가})\times\frac{(\text{할인율})}{100}
정가 aa 원의 20%20\% 할인 가격은 a−20100a=45aa-\frac{20}{100}a=\frac{4}{5}a 원
소금의 양
(소금의 양)=(농도)100×(소금물의 양)\displaystyle (\text{소금의 양})=\frac{(\text{농도})}{100}\times(\text{소금물의 양})
x%x\% 의 소금물 200200 g 속의 소금은 2x2x g
두 자리 자연수
(십의 자리 숫자)×10+(일의 자리 숫자)\displaystyle (\text{십의 자리 숫자})\times10+(\text{일의 자리 숫자})
십의 자리 숫자 aa, 일의 자리 숫자 bb 이면 10a+b10a+b
도형
(직사각형의 둘레)=2{(가로)+(세로)}\displaystyle (\text{직사각형의 둘레})=2\{(\text{가로})+(\text{세로})\}
가로 aa, 세로 bb 이면 둘레 2(a+b)2(a+b), 넓이 abab
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 개에 aa 원인 사탕 55 개를 사고 10001000 원을 냈을 때 거스름돈은?
두 자리 자연수
✗ 틀린 풀이
십의 자리 숫자 aa, 일의 자리 숫자 bb 인 수
abab
왜 틀렸나 두 자리 수는 십의 자리 숫자에 1010 을 곱하고 일의 자리 숫자를 더해 10a+b10a+b 로 나타낸다.
✓ 바른 풀이
십의 자리 숫자 aa, 일의 자리 숫자 bb 인 수
10a+b10a+b
abab 는 a×ba\times b 라는 뜻이에요.
3737 은 3×73\times7 이 아니라 10×3+710\times3+7 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

검산 방법: 식을 세운 뒤 문자에 구체적인 수를 넣어 문장과 맞는지 확인해요.
연필 33 자루이면 500×3=1500500\times3=1500 원이므로 식 500x500x 가 맞아요.
두 자리 자연수 3737 은 a=3, b=7a=3,\ b=7 이므로 10×3+7=3710\times3+7=37 로 맞아요.

2곱셈 기호의 생략

문자를 사용한 식에서는 식을 간단히 쓰기 위해 곱셈 기호 ×\times 를 생략해요. 생략할 때에는 다음 규칙을 따라요.

성질곱셈 기호를 생략하는 규칙
① (수)×\times(문자)는 수를 문자 앞에 쓴다.
x×3=3xx\times3=3x
② 11 또는 −1-1 과 문자의 곱에서는 11 을 생략한다.
1×a=a1\times a=a
(−1)×a=−a(-1)\times a=-a
③ 문자끼리의 곱은 보통 알파벳 순서로 쓴다.
b×a×c=abcb\times a\times c=abc
④ 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 쓴다.
a×a×a=a3a\times a\times a=a^3
⑤ 괄호가 있는 식과 수의 곱은 수를 괄호 앞에 쓴다.
(a+b)×3=3(a+b)(a+b)\times3=3(a+b)
학생
수는 왜 문자 앞에 써요?
쌤
x3x3 처럼 쓰면 읽기도 헷갈리고 다른 식과 구별하기 어려워요. 그래서 수는 문자 앞에 써서 3x3x 로 쓰기로 약속했어요.

덧셈 기호 ++ 와 뺄셈 기호 −- 는 생략할 수 없어요.
a×5−b×2a\times5-b\times2 는 곱셈 기호만 생략하여 5a−2b5a-2b 로 써요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
b×(−1)×a×ab\times(-1)\times a\times a 를 곱셈 기호를 생략하여 나타내면?
11 을 생략할 때
✗ 틀린 풀이
0.1×a=0.a0.1\times a=0.a
a×(−1)=−1aa\times(-1)=-1a
왜 틀렸나 곱셈 기호를 생략할 때 없애는 것은 곱하는 수 11 뿐이므로 0.10.1 은 그대로 쓰고 −1-1 은 −- 만 남긴다.
✓ 바른 풀이
0.1×a=0.1a0.1\times a=0.1a
a×(−1)=−aa\times(-1)=-a
기억 요령: 1×a=a1\times a=a, (−1)×a=−a(-1)\times a=-a 처럼 수가 11 이나 −1-1 일 때만 11 을 생략한다.
0.10.1 은 11 이 아니므로 그대로 쓴다.
자세히 보기펼치기예제
예음수·거듭제곱이 섞인 곱
음수가 끼어 있을 때: 수끼리 먼저 곱하고 문자를 뒤에 써요.
y×(−2)×x=−2xyy\times(-2)\times x=-2xy
−1-1 과 같은 문자의 곱이 섞일 때
a×b×a×(−1)=−a2ba\times b\times a\times(-1)=-a^2b
거듭제곱이 두 문자에 생길 때
x×x×y×y×y×(−3)=−3x2y3x\times x\times y\times y\times y\times(-3)=-3x^2y^3
덩어리(괄호 식)와 음수의 곱
(x−y)×(−5)=−5(x−y)(x-y)\times(-5)=-5(x-y)
소수와 문자의 곱
x×0.1=0.1xx\times0.1=0.1x

3나눗셈 기호의 생략

성질나눗셈 기호를 생략하는 규칙
나눗셈 기호 ÷\div 는 분수로 바꾸어 생략한다.
a÷b=aba\div b=\frac{a}{b} (단, b≠0b\ne0)
a÷3=a3a\div3=\frac{a}{3}
a3\frac{a}{3} 는 13a\frac{1}{3}a 로 써도 된다.
x÷(−2)=−x2x\div(-2)=-\frac{x}{2}
음수로 나누면 −- 부호를 분수 앞에 쓴다.
(a+b)÷2=a+b2(a+b)\div2=\frac{a+b}{2}
괄호 식 전체가 분자가 된다.
학생
나눗셈 기호를 왜 분수로 바꿔도 돼요?
쌤
나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같아서 a÷b=a×1b=aba\div b=a\times\frac{1}{b}=\frac{a}{b} 예요. 그래서 나누는 수가 분모로 가요.
곱셈과 나눗셈이 섞인 식
  1. 1
    나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꿔요.
    a÷b×c=a×1b×ca\div b\times c=a\times\frac{1}{b}\times c
  2. 2
    곱셈 기호를 생략해요.
    a×1b×c=acba\times\frac{1}{b}\times c=\frac{ac}{b}
  3. 3
    괄호가 있으면 괄호 안을 하나의 수처럼 봐요.
    a÷(b×c)=abca\div(b\times c)=\frac{a}{bc}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x÷3×yx\div3\times y 를 기호를 생략하여 나타내면?
a÷b×ca\div b\times c
✗ 틀린 풀이
a÷b×c=abca\div b\times c=\frac{a}{bc}
왜 틀렸나 곱셈과 나눗셈은 앞에서부터 차례로 하므로 cc 는 ab\frac{a}{b} 에 곱해져 분자로 간다.
✓ 바른 풀이
a÷b×c=acba\div b\times c=\frac{ac}{b}
확인 방법: a=6, b=2, c=3a=6,\ b=2,\ c=3 을 넣으면 6÷2×3=96\div2\times3=9 이고 6×32=9\frac{6\times3}{2}=9 로 같다.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
예여러 가지 예
x÷2÷y=x×12×1y=x2yx\div2\div y=x\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{y}=\frac{x}{2y}
a×5−b÷2=5a−b2a\times5-b\div2=5a-\frac{b}{2}

거꾸로 쓰는 방향: 기호를 생략한 식을 다시 기호로 나타낼 수 있어야 식의 값을 바르게 계산해요.
abc=a×b÷c\frac{ab}{c}=a\times b\div c
−3x2=(−3)×x×x-3x^2=(-3)\times x\times x

4식의 값

정의대입과 식의 값
문자를 사용한 식에서 문자 대신 수를 바꾸어 넣는 것을 대입이라 한다.
대입하여 계산한 결과를 그 식의 값이라 한다.
학생
식의 값은 어떻게 구해요?
쌤
생략된 기호를 다시 쓰고, 문자 자리에 수를 넣어 계산해요. 음수를 넣을 때는 꼭 괄호로 감싸요.
식의 값을 구하는 순서
  1. 1
    생략된 곱셈 기호와 나눗셈 기호를 다시 써요.
    3x+5=3×x+53x+5=3\times x+5
  2. 2
    문자 자리에 주어진 수를 넣어요.
    음수를 넣을 때는 괄호로 감싸요.
  3. 3
    계산 순서에 따라 계산해요.
    거듭제곱 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈
예x=−2x=-2 일 때 3x+53x+5 의 값
3x+5=3×(−2)+5=−6+5=−13x+5=3\times(-2)+5=-6+5=-1
⚠ 주의음수를 대입할 때
음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 사용해요.
x=−3x=-3 일 때
x2=(−3)2=9x^2=(-3)^2=9
−x2=−(−3)2=−9-x^2=-(-3)^2=-9
괄호 없이 −32-3^2 으로 쓰면 −(3×3)=−9-(3\times3)=-9 가 되어 x2x^2 의 값이 틀려요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x=−2x=-2 일 때 x2−xx^2-x 의 값은?
x=−3x=-3 일 때 x2x^2 의 값
✗ 틀린 풀이
x2=−32=−9x^2=-3^2=-9
왜 틀렸나 음수를 대입할 때는 괄호를 씌워 −3-3 전체를 제곱해야 하므로 (−3)2(-3)^2 으로 계산한다.
✓ 바른 풀이
x2=(−3)2=9x^2=(-3)^2=9
확인 방법: (−3)2=(−3)×(−3)(-3)^2=(-3)\times(-3) 으로 음수를 두 번 곱하므로 양수가 된다.
a=12a=\frac{1}{2} 일 때 3a\frac{3}{a}
✗ 틀린 풀이
3a=3×12=32\frac{3}{a}=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
왜 틀렸나 분모에 있는 문자에 수를 대입하면 그 수로 나누는 것이므로 3÷123\div\frac{1}{2} 로 계산한다.
✓ 바른 풀이
3a=3÷12=6\frac{3}{a}=3\div\frac{1}{2}=6
확인 방법: 3÷12=3×2=63\div\frac{1}{2}=3\times2=6 이다.
11 보다 작은 양수로 나누면 처음 수보다 커진다.
공식헷갈리는 식 나란히 보기 (a=3a=3 일 때)
3a3a 와 a3a^3
3a=9,a3=27\displaystyle 3a=9,\quad a^3=27
3a=a+a+a3a=a+a+a, a3=a×a×aa^3=a\times a\times a
a3\frac{a}{3} 와 3a\frac{3}{a}
a3=1,3a=1\displaystyle \frac{a}{3}=1,\quad \frac{3}{a}=1
값이 같은 것은 a=3a=3 일 때뿐이다. a=6a=6 이면 22 와 12\frac12
−a2-a^2 과 (−a)2(-a)^2
−a2=−9,(−a)2=9\displaystyle -a^2=-9,\quad (-a)^2=9
거듭제곱은 바로 앞의 수나 문자에만 붙는다.

같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다는 규칙 때문에 a3a^3 과 3a3a 가 구별돼요.

자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
예분수를 대입할 때
a=12a=\frac{1}{2} 일 때 3a\frac{3}{a} 의 값
분수 꼴 3a\frac{3}{a} 는 3÷a3\div a 를 줄여 쓴 것이므로, 3÷a3\div a 로 바꾼 뒤 대입해요.
3÷12=3×2=63\div\frac{1}{2}=3\times2=6
예문자가 두 개일 때
x=2, y=−1x=2,\ y=-1 일 때 x2−3xyx^2-3xy 의 값
x2−3xy=22−3×2×(−1)x^2-3xy=2^2-3\times2\times(-1)
=4−(−6)=4-(-6)
=4+6=10=4+6=10

식의 값을 구한 뒤에는 기호를 생략하기 전의 식으로 다시 계산해 보면 검산이 돼요.
식의 값은 일차방정식의 해를 확인할 때도 써요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1문자를 사용하면 값이 정해지지 않은 수량이나 여러 경우를 하나의 식으로 나타낼 수 있다. 예: 한 자루에 500500 원인 연필 xx 자루의 값은 500×x500\times x 원이다.
  2. 2곱셈 기호 ×\times 는 생략한다. 수는 문자 앞에, 문자는 알파벳 순서로, 11 은 생략하고, 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 쓴다.
  3. 3나눗셈 기호 ÷\div 는 분수로 바꾸어 생략한다. a÷b=aba\div b=\frac{a}{b} (단, b≠0b\ne0)
  4. 4식의 값은 문자에 수를 대입하여 계산한 값이다. 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 쓴다.
✗ 자주 하는 실수
  • x=−3x=-3 을 x2x^2 에 괄호 없이 대입하여 −32=−9-3^2=-9 로 계산해요(바른 값은 (−3)2=9(-3)^2=9 예요).
  • a÷b×ca\div b\times c 를 abc\frac{a}{bc} 로 써요(바른 식은 acb\frac{ac}{b} 예요).
  • 0.1×a0.1\times a 를 0.a0.a 로, a×(−1)a\times(-1) 을 −1a-1a 로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 식을 곱셈 기호와 나눗셈 기호를 생략하여 나타내시오.a×5−b÷2a\times5-b\div2
  2. 예제 2
    정가가 aa 원인 물건을 20%20\% 할인하여 판다. 판매 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.
  3. 예제 3
    x=−12, y=3x=-\frac{1}{2},\ y=3 일 때, 4x2−yx4x^2-\frac{y}{x} 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 일차식의 계산 →
이전 개념: 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈중학교 1학년 목차
← 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈일차식의 계산 →
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