다면체와 회전체

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

n

각기둥은 면

n+2

, 모서리

3n

, 꼭짓점

2n

개,

n

각뿔은 면

n+1

, 모서리

2n

, 꼭짓점

n+1

개예요. 정다면체는 5가지뿐이에요. 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원이에요.

1다면체
2정다면체
3회전체
4회전체의 단면과 전개도
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (5개 · 핵심 용어 가리기)

1다면체

정의다면체

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체 라 한다.
다면체를 둘러싸는 다각형을 면, 면과 면이 만나는 선분을 모서리, 모서리와 모서리가 만나는 점을 꼭짓점이라 한다.
다면체는 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체,

\cdots

라 한다. 면은 적어도

4

개 있어야 한다.

⚠ 주의다면체가 아닌 것

원기둥, 원뿔, 구는 곡면이 있으므로 다면체가 아니에요.
평면도형(오각형 등)은 입체가 아니므로 다면체가 아니에요.

공식각기둥 · 각뿔 · 각뿔대

각기둥

\displaystyle \text{두 밑면: 평행하고 합동인 다각형}

옆면은 모두 직사각형이다(여기서 다루는 각기둥).

각뿔

\displaystyle \text{밑면: 다각형 1개}

옆면은 모두 삼각형이고, 한 꼭짓점(각뿔의 꼭짓점)에서 만난다.

각뿔대

\displaystyle \text{각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자른 두 입체 중 각뿔이 아닌 쪽}

두 밑면은 평행하지만 합동이 아니다. 옆면은 모두 사다리꼴이다.

밑면이 오각형인 입체도형

공식

n

각기둥 ·

n

각뿔 ·

n

각뿔대의 개수

n

각기둥

\displaystyle \text{면 }n+2,\ \text{모서리 }3n,\ \text{꼭짓점 }2n

(n+2)

면체

n

각뿔

\displaystyle \text{면 }n+1,\ \text{모서리 }2n,\ \text{꼭짓점 }n+1

(n+1)

면체. 꼭짓점은 밑면의

n

개와 위의

1

개

n

각뿔대

\displaystyle \text{면 }n+2,\ \text{모서리 }3n,\ \text{꼭짓점 }2n

(n+2)

면체. 개수는

n

각기둥과 같다.

학생

각기둥이나 각뿔의 면, 모서리, 꼭짓점 개수는 외워야 해요?

쌤

외우기보다 어디에 몇 개 있는지 세는 게 좋아요.

n

각기둥은 위·아래 밑면에 꼭짓점이

n

개씩이라

2n

개, 모서리는 위·아래·옆에

n

개씩이라

3n

개예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

칠각뿔의 모서리의 개수는?

이름과 면의 개수

✗ 틀린 풀이

오각뿔은 오면체이다.

왜 틀렸나 「몇 면체」는 밑면과 옆면을 모두 센 면의 개수이므로 오각뿔은 면이

1+5=6

개이다.

✓ 바른 풀이

오각뿔은 밑면

1

개와 옆면

5

개로 육면체이다.

「오각」은 밑면의 모양이고, 「몇 면체」는 면 전체의 개수예요.

각뿔대의 옆면

✗ 틀린 풀이

각뿔대의 옆면은 직사각형이다.

왜 틀렸나 각뿔대는 크기가 다른 두 밑면을 이으므로 옆면은 윗변과 아랫변의 길이가 다른 사다리꼴이다.

✓ 바른 풀이

각뿔대의 옆면은 사다리꼴이다.

확인 방법: 각뿔을 밑면에 평행하게 자르고 남은 아래쪽을 그려 보면 옆면이 위로 갈수록 좁아진다.

자세히 보기펼치기그림왜 그런지성질 더 보기

오각기둥: 면

7

개, 모서리

15

개, 꼭짓점

10

개

밑면의 모양으로 이름을 붙여요. 밑면이 오각형이면 오각기둥, 오각뿔, 오각뿔대예요.
면·모서리·꼭짓점의 개수는 외우기보다 「어디에 몇 개 있는가」로 세요.

왜 그런가요? $n$ 각기둥: 꼭짓점은 위 밑면에 $n$ 개, 아래 밑면에 $n$ 개
모서리는 위에 $n$ 개, 아래에 $n$ 개, 옆에 $n$ 개
면은 밑면 $2$ 개와 옆면 $n$ 개

성질검산 장치

(꼭짓점)

-

(모서리)

+

(면)

=2

여기서 다루는 다면체에서는 항상

v-e+f=2

(

v

: 꼭짓점,

e

: 모서리,

f

: 면의 개수)
오각기둥:

10-15+7=2

오각뿔:

6-10+6=2

센 개수가 이 식을 만족하지 않으면 다시 센다.

예거꾸로

개수로 입체 찾기

꼭짓점이

12

개인 각기둥은

2n=12

이므로

n=6

, 육각기둥이에요.
육각기둥의 모서리는

3\times6=18

개, 면은

6+2=8

개예요.
모서리가

16

개인 각뿔은

2n=16

이므로 팔각뿔이에요.

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자른 아래쪽이 각뿔대예요. 옆면은 사다리꼴이에요.

2정다면체

정의정다면체

다음 두 조건을 모두 만족하는 다면체를 정다면체라 한다.
① 모든 면이 합동인 정다각형이다.
② 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같다.
정다면체는 모두 $5$ 가지뿐이다.

정다면체 5가지

	면 모양	모인 면 수	면	모서리	꼭짓점
정사면체	정삼각형	$3$	$4$	$6$	$4$
정육면체	정사각형	$3$	$6$	$12$	$8$
정팔면체	정삼각형	$4$	$8$	$12$	$6$
정십이면체	정오각형	$3$	$12$	$30$	$20$
정이십면체	정삼각형	$5$	$20$	$30$	$12$

「모인 면 수」는 한 꼭짓점에 모인 면의 개수예요.

점선은 보이지 않는 모서리예요.

학생

정다면체는 왜

5

가지뿐이에요?

쌤

한 꼭짓점에 면이

3

개 이상 모이고, 모인 각의 합이

360^\circ

보다 작아야 입체의 꼭짓점이 생겨요. 이 조건을 만족하는 경우가 다섯 가지뿐이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

한 꼭짓점에 모인 면의 개수가

4

인 정다면체는?

정팔면체

✗ 틀린 풀이

정팔면체는 한 꼭짓점에 면이

3

개씩 모인다.

왜 틀렸나 정팔면체는 면이 모두 정삼각형이고 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가

4

개이다.

✓ 바른 풀이

정팔면체는 한 꼭짓점에 정삼각형이

4

개씩 모인다.

면이 정삼각형인 정다면체는 모이는 개수가

3

(정사면체),

4

(정팔면체),

5

(정이십면체)로 달라요.

정의전개도

입체도형의 겉면을 펼쳐 평면에 그린 그림을 전개도 라 한다.

점선을 따라 접어요.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림성질 더 보기

왜 5가지뿐일까요? 입체의 꼭짓점이 만들어지는 조건은 한 꼭짓점에 면이 $3$ 개 이상 모이고, 모인 각의 합이 $360^\circ$ 보다 작은 거예요( $360^\circ$ 이면 평평해져요).
정삼각형( $60^\circ$ ): $3$ 개, $4$ 개, $5$ 개까지 가능해요. $6$ 개이면 $360^\circ$
정사각형( $90^\circ$ ): $3$ 개만 가능해요. $4$ 개이면 $360^\circ$
정오각형( $108^\circ$ ): $3$ 개만 가능해요. $3\times108^\circ=324^\circ$
정육각형( $120^\circ$ ): $3$ 개이면 이미 $360^\circ$ 라 안 돼요.
따라서 $3+1+1=5$ 가지예요.

모인 각의 합이

360^\circ

보다 작아야 틈을 접어 입체의 꼭짓점을 만들 수 있어요.

성질모서리 개수로 검산

모서리 하나는 두 면이 함께 가진다.
(모서리의 개수)

=

(면의 개수)

\times

(한 면의 변의 개수)

\div2

정십이면체:

12\times5\div2=30

정이십면체:

20\times3\div2=30

정사면체의 전개도는 정삼각형 $4$ 개, 정육면체의 전개도는 정사각형 $6$ 개로 이루어져요. 정육면체의 전개도는 모두 $11$ 가지예요. 전개도의 넓이가 곧 겉넓이예요.
전개도를 접었을 때 어느 점, 어느 모서리가 겹치는지는 그림을 보고 따져야 하므로 유형별 학습에서 다뤄요.

3회전체

정의회전체

평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전체라 한다.
이때 축으로 쓴 직선을 회전축이라 한다.
원기둥·원뿔·원뿔대에서 옆면을 만드는 선분을 모선이라 한다.

회전시킨 평면도형 (주황 점선이 회전축)

학생

어떤 평면도형을 돌리면 원뿔대가 돼요?

쌤

두 각이 직각인 사다리꼴을 직각을 낀 변을 축으로 돌리면 원뿔대가 돼요. 직사각형은 원기둥, 직각삼각형은 원뿔이에요.

생기는 회전체

원기둥직사각형 — 한 변을 축으로
원뿔직각삼각형 — 직각을 낀 한 변을 축으로
원뿔대두 각이 직각인 사다리꼴 — 두 직각을 낀 변을 축으로(원뿔을 밑면에 평행하게 잘라 원뿔이 아닌 쪽)
구반원 — 지름을 축으로

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

직각삼각형에서 직각을 낀 한 변을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은?

⚠ 주의직각삼각형을 돌리는 축

직각삼각형을 직각을 낀 변이 아닌 빗변을 축으로 돌리면 원뿔 두 개를 밑면끼리 붙인 모양이 돼요. 원뿔이 되는 것은 직각을 낀 변을 축으로 할 때예요.

4회전체의 단면과 전개도

성질회전체의 단면

회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원이다.
회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 회전축에 대하여 선대칭도형이고, 어느 방향으로 잘라도 모두 합동이다.

회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면

원기둥직사각형(가로 $2r$ , 세로 $h$ )
원뿔이등변삼각형(밑변 $2r$ , 두 변은 모선)
원뿔대사다리꼴(평행한 두 변이 두 밑면의 지름)
구원 — 어느 방향으로 잘라도 원, 중심을 지날 때 가장 커요.

모두 회전축(주황 점선)에 대하여 선대칭이에요.

학생

회전축을 포함하게 자른 단면은 왜 선대칭도형이에요?

쌤

회전체는 축 둘레로 도형을 한 바퀴 돌린 것이라, 축을 포함해 자르면 돌리기 전 도형과 반대편의 똑같은 도형이 축 양쪽에 함께 잘려요. 그래서 축을 대칭축으로 하는 선대칭도형이 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

원기둥을 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은?

단면의 모양

✗ 틀린 풀이

원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 직각삼각형이 생긴다.

왜 틀렸나 원뿔은 직각삼각형을 한 변을 축으로 회전한 것이므로 축을 포함한 단면은 그 두 배인 이등변삼각형이다.

✓ 바른 풀이

원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 이등변삼각형이 생긴다.

확인 방법: 단면에서 원뿔의 꼭짓점과 밑면 지름의 두 끝을 이은 두 변은 모두 모선이므로 길이가 같다.

회전체의 전개도

원기둥밑면 원 $2$ 개 + 옆면 직사각형(가로 $2\pi r$ , 세로 $h$ )
원뿔밑면 원 $1$ 개 + 옆면 부채꼴(반지름 $=$ 모선 $l$ , 호 $=2\pi r$ )
원뿔대밑면 원 $2$ 개 + 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 뺀 옆면
구전개도를 그릴 수 없어요.

원기둥: 옆면의 가로

=2\pi r

/ 원뿔: 부채꼴의 반지름

=l

, 호의 길이

=2\pi r

원뿔의 옆면은 부채꼴이에요. 부채꼴의 반지름은 모선, 호의 길이는 밑면의 둘레예요.

부채꼴의 반지름

✗ 틀린 풀이

원뿔 전개도에서 부채꼴의 반지름은 밑면의 반지름

4

이다.

왜 틀렸나 원뿔 전개도의 부채꼴은 옆면을 펼친 것이므로 그 반지름은 모선의 길이이다.

✓ 바른 풀이

부채꼴의 반지름은 모선의 길이

10

이다.

확인 방법: 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 둘레

2\pi\times4=8\pi

와 같아야 한다.

자세히 보기펼치기예제그림

원뿔의 전개도

모선

10

, 밑면의 반지름

4

\text{부채꼴의 반지름}=10

↳◀모선의 길이

\text{호의 길이}=2\pi\times4=8\pi

↳◀밑면의 둘레와 같아요

2\pi\times10\times\frac{x}{360}=8\pi

↳◀중심각을

x^\circ

로

\frac{\pi x}{18}=8\pi

↳◀

2\pi\times10\times\frac{1}{360}=\frac{\pi}{18}

x=144

↳◀양변에

\frac{18}{\pi}

를 곱해요

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라 한다. 면이 $n$ 개이면 $n$ 면체이다.
2 $n$ 각기둥은 (면, 모서리, 꼭짓점) $=(n+2,\ 3n,\ 2n)$ , $n$ 각뿔은 $(n+1,\ 2n,\ n+1)$ , $n$ 각뿔대는 $(n+2,\ 3n,\ 2n)$ 이다.
3정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지뿐이다.
4회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 원, 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 회전축에 대하여 선대칭도형이다.

✗ 자주 하는 실수

$n$ 각뿔을 $n$ 면체라고 해요(밑면까지 세면 $(n+1)$ 면체예요).
정팔면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수를 $3$ 으로 알아요(실제는 $4$ 예요).
원뿔의 전개도에서 옆면 부채꼴의 반지름을 밑면의 반지름으로 써요(모선이 반지름이에요).

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
팔각뿔대의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 각각 구하시오.
팔각뿔대
예제 2
꼭짓점이 $12$ 개인 각기둥의 모서리의 개수와 면의 개수를 구하시오.
예제 3
모선의 길이가 $10$ , 밑면의 반지름이 $4$ 인 원뿔에 대하여 전개도에서 옆면인 부채꼴의 호의 길이와 중심각의 크기를 구하시오. 또 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 어떤 도형인지 말하시오.

다음 공부

다음 개념: 입체도형의 겉넓이와 부피 →

중학교 1학년 목차

← 원과 부채꼴 입체도형의 겉넓이와 부피 →

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