수학 개념 노트전체 과목

입체도형의 겉넓이와 부피

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
기둥의 부피는 (밑넓이)×\times(높이), 뿔의 부피는 그 13\frac13 이에요. 원뿔의 옆넓이는 πrl\pi rl, 구의 겉넓이는 4πr24\pi r^2, 부피는 43πr3\frac43\pi r^3 이에요.
  1. 1기둥의 겉넓이
  2. 2기둥의 부피
  3. 3뿔의 겉넓이와 원뿔의 옆넓이
  4. 4뿔의 부피
  5. 5구의 겉넓이와 부피
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1기둥의 겉넓이

입체도형의 겉넓이는 겉면 전체의 넓이, 곧 전개도의 넓이예요.
기둥의 전개도는 합동인 밑면 22 개와 옆면으로 이루어져요. 옆면을 모두 이어 펼치면 하나의 직사각형이 돼요.
이 직사각형의 가로는 밑면의 둘레, 세로는 기둥의 높이예요.

공식기둥의 겉넓이
기둥
(밑넓이)×2+(옆넓이)\displaystyle (\text{밑넓이})\times2+(\text{옆넓이})
옆넓이
(밑면의 둘레)×(높이)\displaystyle (\text{밑면의 둘레})\times(\text{높이})
옆면을 펼친 직사각형
원기둥
2πr2+2πrh\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh
밑넓이 πr2\pi r^2 두 개, 옆면은 가로 2πr2\pi r, 세로 hh 인 직사각형
hr2πrh전개도
옆면을 펼치면 가로가 밑면의 둘레 2πr2\pi r, 세로가 높이 hh 인 직사각형
학생
원기둥의 옆면은 굽어 있는데 어떻게 직사각형이 돼요?
쌤
옆면을 세로로 잘라 펼치면 평평한 직사각형이 돼요. 가로는 밑면인 원의 둘레 2πr2\pi r, 세로는 높이 hh 라서 옆넓이는 2πrh2\pi rh 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
밑면의 반지름이 22, 높이가 55 인 원기둥의 겉넓이는?
밑넓이는 두 번
✗ 틀린 풀이
원기둥 (r=3r=3, h=5h=5) 의 겉넓이
π×32+2π×3×5=39π\pi\times3^2+2\pi\times3\times5=39\pi
왜 틀렸나 기둥의 겉넓이는 위아래 밑면 22 개의 넓이와 옆넓이를 모두 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
π×32×2+2π×3×5=18π+30π=48π\pi\times3^2\times2+2\pi\times3\times5=18\pi+30\pi=48\pi
기둥은 위아래로 밑면이 22 개 있어요. 뿔은 11 개예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

밑면이 세 변의 길이 33, 44, 55 이고 길이가 33, 44 인 두 변이 직각을 이루는 직각삼각형, 높이가 1010 인 삼각기둥의 겉넓이를 구해요.

삼각기둥의 겉넓이
밑넓이=12×3×4=6\text{밑넓이}=\frac12\times3\times4=6
옆넓이=(3+4+5)×10=120\text{옆넓이}=(3+4+5)\times10=120
↳밑면의 둘레 ×\times 높이
겉넓이=6×2+120=132\text{겉넓이}=6\times2+120=132
↳밑넓이는 두 번
34105
밑면은 직각삼각형

2기둥의 부피

성질기둥의 부피
밑넓이가 SS, 높이가 hh 인 기둥의 부피는V=ShV=Sh밑면과 똑같은 얇은 판을 높이 hh 만큼 쌓은 것으로 생각하면 된다.
원기둥은 밑넓이가 πr2\pi r^2 이므로 V=πr2hV=\pi r^2h 이다.
53
학생
부피의 단위는 왜 cm3^3 이에요?
쌤
부피는 밑넓이(cm2^2)에 높이(cm)를 한 번 더 곱한 양이라 cm3^3 이에요. 한 모서리가 11 cm 인 정육면체가 몇 개 들어가는지를 센 값이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
밑넓이가 1212 cm2^2, 높이가 55 cm 인 사각기둥의 부피는?
자세히 보기펼치기예제
예원기둥 (r=3r=3, h=5h=5)
V=π×32×5=45πV=\pi\times3^2\times5=45\pi

3뿔의 겉넓이와 원뿔의 옆넓이

공식뿔의 겉넓이
뿔
(밑넓이)+(옆넓이)\displaystyle (\text{밑넓이})+(\text{옆넓이})
정사각뿔
a2+4×12×a×h′\displaystyle a^2+4\times\frac12\times a\times h'
aa: 밑변의 길이, h′h': 옆면 삼각형의 높이
원뿔
πr2+πrl\displaystyle \pi r^2+\pi rl
ll: 모선의 길이
lrl호의 길이 2πr
옆면은 반지름 ll, 호의 길이 2πr2\pi r 인 부채꼴
학생
뿔의 겉넓이는 기둥이랑 뭐가 달라요?
쌤
뿔은 밑면이 11 개뿐이에요. 옆면은 각뿔이면 삼각형들, 원뿔이면 부채꼴이고, 원뿔의 옆넓이는 πrl\pi rl 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
밑면의 반지름이 33, 모선의 길이가 55 인 원뿔의 겉넓이는?
높이와 모선
✗ 틀린 풀이
밑면의 반지름 33, 높이 44, 모선 55 인 원뿔의 옆넓이
π×3×4=12π\pi\times3\times4=12\pi
왜 틀렸나 원뿔의 옆넓이는 펼친 부채꼴의 넓이 πrl\pi rl 이고, 이 부채꼴의 반지름은 모선의 길이 ll 이다.
✓ 바른 풀이
옆넓이는 모선을 쓴다.
π×3×5=15π\pi\times3\times5=15\pi
옆넓이에는 모선 ll 을, 부피에는 높이 hh 를 써요. 높이는 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 길이로, 모선보다 짧아요.
534
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제 2

뿔의 전개도는 밑면 11 개와 옆면으로 이루어져요.
각뿔의 옆면은 삼각형들이고, 원뿔의 옆면은 부채꼴이에요.
원뿔의 높이와 모선의 길이 사이의 관계는 피타고라스 정리로 구해요.

h'a밑면
정사각뿔의 전개도: 밑면 11 개와 옆면 삼각형 44 개

원뿔의 옆넓이가 πrl\pi rl 인 이유: 옆면을 펼치면 반지름이 모선의 길이 ll, 호의 길이가 밑면의 둘레 2πr2\pi r 인 부채꼴이에요. 부채꼴의 넓이 S=12×(반지름)×(호의 길이)S=\frac12\times(\text{반지름})\times(\text{호의 길이}) 를 써요.

원뿔의 옆넓이
12×l×2πr\frac12\times l\times2\pi r
↳반지름 ll, 호 2πr2\pi r
=πrl=\pi rl
정사각뿔
밑변 66, 옆면 삼각형의 높이 55
밑넓이=6×6=36\text{밑넓이}=6\times6=36
옆넓이=4×12×6×5=60\text{옆넓이}=4\times\frac12\times6\times5=60
↳삼각형 44 개
겉넓이=36+60=96\text{겉넓이}=36+60=96
↳밑넓이는 한 번
56
주황 점선: 옆면인 이등변삼각형의 높이

4뿔의 부피

성질뿔의 부피
밑넓이가 SS, 높이가 hh 인 뿔의 부피는V=13ShV=\frac13Sh즉 뿔의 부피는 밑넓이와 높이가 같은 기둥의 부피의 1/3이다.
원뿔은 V=13πr2hV=\frac13\pi r^2h 이다.
밑면과 높이가 같으면 (원뿔의 부피) =13×=\frac13\times (원기둥의 부피)
학생
뿔의 부피는 왜 13\frac13 을 곱해요?
쌤
밑면과 높이가 같은 뿔 모양 그릇으로 물을 부으면 기둥 모양 그릇이 정확히 세 번 만에 가득 차요. 그래서 뿔은 기둥의 13\frac13 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
밑면의 반지름이 33, 높이가 55 인 원뿔의 부피는?
13\frac13 을 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
원뿔 (r=3r=3, h=4h=4) 의 부피
π×32×4=36π\pi\times3^2\times4=36\pi
왜 틀렸나 뿔의 부피는 밑넓이와 높이가 같은 기둥의 부피의 13\frac{1}{3} 이므로 반드시 13\frac{1}{3} 을 곱한다.
✓ 바른 풀이
13×π×32×4=12π\frac13\times\pi\times3^2\times4=12\pi
기억 요령: 뿔에는 13\frac{1}{3} 이 붙고 기둥에는 붙지 않는다.
바른 계산은 13×9π×4=12π\frac{1}{3}\times9\pi\times4=12\pi 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2성질 더 보기

왜 13\frac13 일까요?
밑면과 높이가 같은 뿔 모양 그릇과 기둥 모양 그릇을 준비해요.
뿔 모양 그릇에 물을 가득 채워 기둥 모양 그릇에 부으면 정확히 세 번 만에 가득 차요.

정육면체(한 모서리 aa)를 사각뿔 66 개로 나누기
(사각뿔 하나)=a36(\text{사각뿔 하나})=\frac{a^3}{6}
↳꼭짓점이 중심에 모인 똑같은 뿔 66 개
(기둥)=a2×a2=a32(\text{기둥})=a^2\times\frac a2=\frac{a^3}{2}
↳뿔과 같은 밑면 a2a^2, 높이 a2\frac a2
a36÷a32=13\frac{a^3}{6}\div\frac{a^3}{2}=\frac13
↳뿔은 기둥의 13\frac13
예원뿔 (r=3r=3, h=4h=4)
V=13×π×32×4=12πV=\frac13\times\pi\times3^2\times4=12\pi
같은 밑면·높이의 원기둥 부피 36π36\pi 의 13\frac13 이에요.
성질뿔대의 부피
뿔대는 큰 뿔에서 작은 뿔을 잘라 낸 것이다.
(뿔대의 부피) == (큰 뿔의 부피) −- (작은 뿔의 부피)
예: 밑면의 반지름 66, 높이 88 인 원뿔을 높이의 중점을 지나고 밑면에 평행한 평면으로 자르면, 잘린 위쪽은 반지름 33, 높이 44 인 원뿔이다(높이가 절반이면 반지름도 절반, 닮음).
원뿔대의 부피는
13π×62×8−13π×32×4=96π−12π=84π\frac13\pi\times6^2\times8-\frac13\pi\times3^2\times4=96\pi-12\pi=84\pi
6344
점선 부분(작은 원뿔)을 잘라 낸 것이 원뿔대예요.

5구의 겉넓이와 부피

공식반지름이 rr 인 구
겉넓이
S=4πr2\displaystyle S=4\pi r^2
반지름이 rr 인 원의 넓이의 44 배
부피
V=43πr3\displaystyle V=\frac43\pi r^3
r
학생
구의 겉넓이와 부피는 어떻게 기억해요?
쌤
겉넓이는 반지름이 같은 원 넓이의 44 배라서 4πr24\pi r^2 예요. 부피는 꼭 맞는 원기둥 부피의 23\frac23 이라서 43πr3\frac43\pi r^3 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름이 66 인 구의 부피는?
⚠ 주의반구의 겉넓이
반구의 겉면은 구 겉면의 절반(2πr22\pi r^2)과 잘린 면인 원(πr2\pi r^2)으로 이루어져요.
반구의 겉넓이 =2πr2+πr2=3πr2=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2
잘린 면을 빠뜨려 2πr22\pi r^2 으로 쓰지 않아요.
r잘린 면: 원구 겉면의 절반
구의 부피 공식
✗ 틀린 풀이
반지름 33 인 구의 부피
43π×32=12π\frac43\pi\times3^2=12\pi
왜 틀렸나 구의 부피 공식은 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3 이므로 반지름을 세 번 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
43π×33=36π\frac43\pi\times3^3=36\pi
부피는 길이를 세 번 곱한 양이므로 r3r^3, 넓이는 두 번 곱한 양이므로 r2r^2 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

겉넓이가 4πr24\pi r^2 인 이유: 구의 겉면을 끈으로 빈틈없이 감은 뒤 그 끈을 풀어 평면에 감으면, 반지름이 2r2r 인 원이 돼요. 그 넓이는 π(2r)2=4πr2\pi(2r)^2=4\pi r^2 이에요.
또 구에 꼭 맞는 원기둥(반지름 rr, 높이 2r2r)의 옆넓이 2πr×2r=4πr22\pi r\times2r=4\pi r^2 과도 같아요.

부피가 43πr3\frac43\pi r^3 인 이유: 구에 꼭 맞는 원기둥(반지름 rr, 높이 2r2r)에 물을 가득 채우고 구를 넣으면 물이 23\frac23 만큼 넘쳐요.

원기둥 · 구 · 원뿔의 부피
원기둥=πr2×2r=2πr3\text{원기둥}=\pi r^2\times2r=2\pi r^3
구=2πr3×23=43πr3\text{구}=2\pi r^3\times\frac23=\frac43\pi r^3
↳넘친 물의 양
원뿔=13×πr2×2r=23πr3\text{원뿔}=\frac13\times\pi r^2\times2r=\frac23\pi r^3
↳같은 원기둥 안의 원뿔
2πr3:43πr3:23πr3=3:2:12\pi r^3:\frac43\pi r^3:\frac23\pi r^3=3:2:1
2rrrr2r원기둥 2πr³구 (4/3)πr³원뿔 (2/3)πr³
(원기둥) :: (구) :: (원뿔) =3:2:1=3:2:1
예반지름 33 인 구
겉넓이: 4π×32=36π4\pi\times3^2=36\pi
부피: 43π×33=36π\frac43\pi\times3^3=36\pi
(두 값의 수가 같은 것은 r=3r=3 일 때만이에요. 단위가 다른 양이에요.)
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
원기둥의 겉넓이=□πr2+2πrh\text{원기둥의 겉넓이}=\square\pi r^2+2\pi rh
단계 1 / 2
원뿔의 부피=□ πr2h\text{원뿔의 부피}=\square\,\pi r^2h
단계 1 / 2부채꼴 12×l×2πr\frac12\times l\times2\pi r
원뿔의 옆넓이=πr□\text{원뿔의 옆넓이}=\pi r\square
단계 1 / 2
구의 겉넓이=□πr2\text{구의 겉넓이}=\square\pi r^2
단계 1 / 2원기둥 : 구 : 원뿔 =3:2:1=3:2:1
구의 부피=□3πr3\text{구의 부피}=\frac{\square}{3}\pi r^3
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1겉넓이는 전개도의 넓이이다. 기둥의 겉넓이는 (밑넓이)×2+\times2+(옆넓이), 뿔의 겉넓이는 (밑넓이)++(옆넓이)이다.
  2. 2기둥의 부피는 V=ShV=Sh, 뿔의 부피는 V=13ShV=\frac13Sh 이다(SS: 밑넓이, hh: 높이).
  3. 3원기둥: 겉넓이 2πr2+2πrh2\pi r^2+2\pi rh, 부피 πr2h\pi r^2h
    원뿔: 겉넓이 πr2+πrl\pi r^2+\pi rl, 부피 13πr2h\frac13\pi r^2h (ll: 모선의 길이)
  4. 4반지름이 rr 인 구의 겉넓이는 4πr24\pi r^2, 부피는 43πr3\frac43\pi r^3 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 뿔의 부피에서 13\frac13 을 빠뜨려요.
  • 원뿔의 옆넓이를 구할 때 모선 대신 높이를 써요.
  • 반구의 겉넓이에서 잘린 면(원)의 넓이를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    밑면의 반지름이 33, 높이가 55 인 원기둥의 겉넓이와 부피를 구하시오.
    53
  2. 예제 2
    밑면의 반지름이 33, 높이가 44, 모선의 길이가 55 인 원뿔의 겉넓이와 부피를 구하시오.
    534
  3. 예제 3
    반지름이 66 인 구를 중심을 지나는 평면으로 잘라 생긴 반구의 겉넓이와 부피를 구하시오.
    6

다음 공부

이전 개념: 다면체와 회전체, 원과 부채꼴설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 피타고라스 정리 (나중에), 중2 도형의 닮음 (나중에)중학교 1학년 목차
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