수학 개념 노트전체 과목

벡터를 이용한 평면과 구의 방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
점 (x1, y1, z1)(x_1,\ y_1,\ z_1) 을 지나고 법선벡터가 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 인 평면은 a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0 이에요. 두 평면의 관계는 법선벡터로 판단하고, 점과 평면 사이의 거리는 ∣ax1+by1+cz1+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} 이며, 구 ∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=r 과 평면의 위치 관계는 이 거리와 rr 을 비교해요.
  1. 1법선벡터와 평면의 방정식
  2. 2평면의 방정식의 일반형
  3. 3두 평면의 위치 관계
  4. 4두 평면의 교선을 지나는 평면
  5. 5직선과 평면
  6. 6점과 평면 사이의 거리
  7. 7구의 방정식과 평면
  8. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1법선벡터와 평면의 방정식

정의평면의 법선벡터
평면 α\alpha 에 수직인 영벡터가 아닌 벡터 n⃗\vec{n} 을 평면 α\alpha 의 법선벡터 라 한다.
한 점과 법선벡터가 주어지면 평면이 하나로 정해진다.
성질평면의 방정식
점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1) 을 지나고 n⃗=(a, b, c)\vec{n}=(a,\ b,\ c) 에 수직인 평면 위의 점을 P(x, y, z)\mathrm{P}(x,\ y,\ z) 라 하자.
AP→\overrightarrow{AP} 는 평면 위의 벡터이므로 n⃗⊥AP→\vec{n}\perp\overrightarrow{AP} 이거나 AP→=0⃗\overrightarrow{AP}=\vec{0} 이다.
n⃗⋅(p⃗−a⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0
학생
직선은 방향벡터를 썼는데, 평면은 왜 수직인 벡터를 써요?
쌤
평면에 평행한 방향은 셀 수 없이 많아서 하나로 정해지지 않아요. 수직인 방향은 하나뿐이라 법선벡터 하나와 한 점으로 평면이 정해져요.
평면의 법선벡터
n⃗\vec{n}
αAP
평면 α\alpha 위의 점 P 에 대하여 n⃗⊥AP→\vec{n}\perp\overrightarrow{AP} 이므로 n⃗⋅(p⃗−a⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (1, 0, −2)(1,\ 0,\ -2) 를 지나고 법선벡터가 (2, −1, 3)(2,\ -1,\ 3) 인 평면의 방정식은?

2평면의 방정식의 일반형

성질일반형과 법선벡터
a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0 을 전개하면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 꼴이 된다. (d=−ax1−by1−cz1d=-ax_1-by_1-cz_1)
거꾸로 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 (a, b, c(a,\ b,\ c 중 적어도 하나는 00 이 아님)) 은 법선벡터가 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 인 평면이다.
xx, yy, zz 의 계수를 차례로 읽으면 법선벡터이고, 상수항 dd 는 법선벡터와 관계없다.
학생
2x−y+z=52x-y+z=5 와 2x−y+z=12x-y+z=1 은 법선벡터가 같은데 같은 평면이에요?
쌤
아니요. 법선벡터가 같으니 평행한 두 평면이지만, 상수항이 달라 지나는 점이 달라요.
평면의 방정식 세우기
2(x−1)−(y+2)+(z−3)=02(x-1)-(y+2)+(z-3)=0
↳점 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3), 법선벡터 (2, −1, 1)(2,\ -1,\ 1)
2x−y+z−7=02x-y+z-7=0
↳전개
z=2 ⇔ 0x+0y+1z−2=0z=2\ \Leftrightarrow\ 0x+0y+1z-2=0
↳법선벡터 (0, 0, 1)(0,\ 0,\ 1): zz 축에 수직
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평면 x−3z+2=0x-3z+2=0 의 법선벡터로 알맞은 것은?
법선벡터를 읽을 때
✗ 틀린 풀이
평면 3x−2y+z−5=03x-2y+z-5=0 의 법선벡터는
(3, −2, −5)(3,\ -2,\ -5)
왜 틀렸나 평면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 의 법선벡터는 xx, yy, zz 의 계수로 만든 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 이다.
✓ 바른 풀이
(3, −2, 1)(3,\ -2,\ 1)
법선벡터는 xx, yy, zz 의 계수예요.
상수항 −5-5 는 평면의 위치(평행이동)만 바꿔요.

3두 평면의 위치 관계

성질두 평면이 이루는 각
두 평면의 법선벡터를 n1⃗\vec{n_1}, n2⃗\vec{n_2} 라 하면 두 평면이 이루는 각 θ\theta (0≤θ≤π2)\left(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\right) 는cos⁡θ=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣∣n2⃗∣\cos\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}두 평면이 이루는 각은 두 법선벡터가 이루는 각(또는 그 보각)과 같다.
학생
두 평면이 이루는 각을 구할 때 내적에 왜 절댓값을 붙여요?
쌤
두 법선벡터가 이루는 각이 둔각이면 두 평면이 이루는 각은 그 보각이에요. 절댓값을 붙이면 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge0 이 되어 늘 π2\frac{\pi}{2} 이하의 각이 나와요.
공식두 평면의 평행과 수직
평행
n2⃗=kn1⃗ (k≠0)\displaystyle \vec{n_2}=k\vec{n_1}\ (k\ne0)
법선벡터가 평행하면 두 평면은 평행하거나 일치한다. 예: x+2y−2z+1=0x+2y-2z+1=0 과 2x+4y−4z+5=02x+4y-4z+5=0 은 평행
수직
n1⃗⋅n2⃗=0\displaystyle \vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0
예: x+y−z=1x+y-z=1 과 x−y=3x-y=3 은 (1, 1, −1)⋅(1, −1, 0)=0(1,\ 1,\ -1)\cdot(1,\ -1,\ 0)=0 이므로 수직
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 평면 x+ky−z=3x+ky-z=3, 2x+y+z=12x+y+z=1 이 서로 수직일 때, kk 의 값은?
두 평면이 이루는 각의 범위
✗ 틀린 풀이
법선벡터 (1, 0, 1)(1,\ 0,\ 1), (0, 1, −1)(0,\ 1,\ -1) 에서
cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac{1}{2} 이므로 θ=120∘\theta=120^\circ
왜 틀렸나 두 평면이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하이므로 법선벡터의 내적에 절댓값을 붙여야 한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡θ=∣−1∣2×2=12\cos\theta=\dfrac{|-1|}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2} 이므로 θ=60∘\theta=60^\circ
법선벡터가 이루는 각이 둔각이면 두 평면이 이루는 각은 180∘180^\circ 에서 뺀 각이다.
cos⁡θ\cos\theta 가 00 이상이 되었는지 확인한다.

4두 평면의 교선을 지나는 평면

성질교선을 지나는 평면
두 평면 α: a1x+b1y+c1z+d1=0\alpha:\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, β: a2x+b2y+c2z+d2=0\beta:\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 이 한 직선에서 만날 때, 실수 kk 에 대하여(a1x+b1y+c1z+d1)+k(a2x+b2y+c2z+d2)=0(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+k(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0은 두 평면의 교선을 지나는 평면이다.
교선을 지나는 평면은 β\beta 하나를 빼고 모두 이 꼴로 나타낼 수 있다.
학생
이 식이 왜 교선을 지나는 평면이에요?
쌤
교선 위의 점은 두 괄호를 모두 00 으로 만들어요. 그래서 kk 가 어떤 값이든 식이 성립해요. 또 xx, yy, zz 의 일차식이라 평면이에요.
학생
kk 는 어떻게 정해요?
쌤
지나는 점의 좌표를 넣거나, 다른 평면에 수직이라는 조건을 법선벡터의 내적으로 써서 kk 에 대한 방정식을 풀어요.
두 평면 x+y−z=1x+y-z=1, 2x−y+z=22x-y+z=2 의 교선과 점 (0, 1, 2)(0,\ 1,\ 2) 를 지나는 평면
(x+y−z−1)+k(2x−y+z−2)=0(x+y-z-1)+k(2x-y+z-2)=0
↳교선을 지나는 평면의 꼴
−2−k=0,k=−2-2-k=0,\quad k=-2
↳점 (0, 1, 2)(0,\ 1,\ 2) 를 넣어요
−3x+3y−3z+3=0-3x+3y-3z+3=0
↳정리해요
x−y+z−1=0x-y+z-1=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 평면 x−y=1x-y=1, y+z=2y+z=2 의 교선과 원점을 지나는 평면의 방정식은?
성질두 구가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면
두 구 x2+y2+z2+A1x+B1y+C1z+D1=0x^2+y^2+z^2+A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, x2+y2+z2+A2x+B2y+C2z+D2=0x^2+y^2+z^2+A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 이 만나서 원이 생길 때, 두 식을 빼서 얻은(A1−A2)x+(B1−B2)y+(C1−C2)z+D1−D2=0(A_1-A_2)x+(B_1-B_2)y+(C_1-C_2)z+D_1-D_2=0은 그 원을 포함하는 평면이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

두 구의 식을 빼는 것은 교선을 지나는 평면의 꼴에서 k=−1k=-1 로 놓은 것과 같아요.
두 식을 모두 만족하는 점은 두 식을 뺀 식도 만족하므로, 두 구의 공통인 점(원 위의 점)은 모두 이 평면 위에 있어요.
x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 의 계수가 같아야 이차항이 없어지므로 먼저 계수를 11 로 맞춰요.

5직선과 평면

성질직선과 평면이 만나는 점
직선 위의 점을 매개변수 tt 로 나타내어 평면의 방정식에 넣으면 tt 에 대한 일차방정식이 된다.
그 해 tt 를 다시 넣으면 만나는 점의 좌표를 얻는다.
직선 x−12=y+1−1=z3\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{3} 과 평면 x+2y+z=5x+2y+z=5 가 만나는 점
x=1+2t, y=−1−t, z=3tx=1+2t,\ y=-1-t,\ z=3t
↳세 식의 값을 tt 로
(1+2t)+2(−1−t)+3t=5(1+2t)+2(-1-t)+3t=5
↳평면의 방정식에 넣어요
3t−1=5,t=23t-1=5,\quad t=2
(5, −3, 6)(5,\ -3,\ 6)
↳만나는 점
학생
tt 에 대한 일차방정식의 해가 없으면 어떻게 돼요?
쌤
직선이 평면과 만나지 않는다는 뜻이에요. 즉 직선과 평면이 평행해요. 반대로 식이 모든 tt 에서 성립하면 직선이 평면에 포함돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직선 x=t, y=1+t, z=2tx=t,\ y=1+t,\ z=2t 와 평면 x+y+z=9x+y+z=9 가 만나는 점의 zz 좌표는?
성질직선과 평면의 평행·수직
직선의 방향벡터를 u⃗\vec{u}, 평면의 법선벡터를 n⃗\vec{n} 이라 하면
직선과 평면이 수직이면 u⃗∥n⃗\vec{u}\parallel\vec{n} 이다. 예: 방향벡터가 (2, −1, 3)(2,\ -1,\ 3) 인 직선은 평면 2x−y+3z=02x-y+3z=0 에 수직이다.
직선이 평면과 평행하거나 평면에 포함되면 u⃗⋅n⃗=0\vec{u}\cdot\vec{n}=0 이다.

6점과 평면 사이의 거리

성질점과 평면 사이의 거리
점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1) 과 평면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 사이의 거리는∣ax1+by1+cz1+d∣a2+b2+c2\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}좌표평면에서 점과 직선 사이의 거리 공식 ∣ax1+by1+c∣a2+b2\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} 과 같은 꼴이다.
학생
분모에 왜 법선벡터의 크기가 들어가요?
쌤
점에서 평면에 내린 수선은 법선벡터와 평행해요. 그 방향으로 잰 길이를 구하려고 법선벡터의 크기 a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2} 로 나눠요.
거리 구하기
점 (1, 2, 3)(1,\ 2,\ 3) 과 평면 x+2y+2z−2=0x+2y+2z-2=0
∣1+4+6−2∣1+4+4=93=3\dfrac{|1+4+6-2|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{9}{3}=3
↳상수항까지 넣어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (2, −1, 1)(2,\ -1,\ 1) 과 평면 2x+y−2z+6=02x+y-2z+6=0 사이의 거리는?
거리 공식의 상수항
✗ 틀린 풀이
점 (1, 2, 3)(1,\ 2,\ 3) 과 평면 x+2y+2z−2=0x+2y+2z-2=0 사이의 거리를
∣1+4+6∣3=113\dfrac{|1+4+6|}{3}=\dfrac{11}{3}
왜 틀렸나 점과 평면 사이의 거리 공식의 분자에는 상수항까지 포함한 ∣ax1+by1+cz1+d∣|ax_1+by_1+cz_1+d| 가 들어간다.
✓ 바른 풀이
∣1+4+6−2∣3=3\dfrac{|1+4+6-2|}{3}=3
점의 좌표를 평면의 방정식의 좌변 전체에 넣는다.
검산: 분모는 12+22+22=3\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3 이다.
자세히 보기펼치기예제그림
거리 공식이 나오는 과정
AH→=sn⃗\overrightarrow{AH}=s\vec{n}
↳AH 가 평면에 수직이라 n⃗\vec{n} 과 평행
H(x1+sa, y1+sb, z1+sc)\mathrm{H}(x_1+sa,\ y_1+sb,\ z_1+sc)
(ax1+by1+cz1+d)+s(a2+b2+c2)=0(ax_1+by_1+cz_1+d)+s(a^2+b^2+c^2)=0
↳H 는 평면 위: 방정식에 넣어 정리
s=−ax1+by1+cz1+da2+b2+c2s=-\dfrac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}
↳ss 에 대하여 풀어요
AH‾=∣s∣∣n⃗∣=∣ax1+by1+cz1+d∣a2+b2+c2\overline{AH}=|s||\vec{n}|=\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
점과 평면 사이의 거리
n⃗\vec{n}
AH
수선의 발 H 에 대하여 AH→\overrightarrow{AH} 는 법선벡터 n⃗\vec{n} 과 평행해요. 거리는 AH‾\overline{AH}

7구의 방정식과 평면

성질벡터로 나타낸 구의 방정식
공간에서 한 점 C 로부터 거리가 rr 로 일정한 점 전체의 집합을 구 라 한다.
중심 C 의 위치벡터를 c⃗\vec{c}, 구 위의 점 P 의 위치벡터를 p⃗\vec{p} 라 하면∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=rc⃗=(a, b, c)\vec{c}=(a,\ b,\ c), p⃗=(x, y, z)\vec{p}=(x,\ y,\ z) 이면 양변을 제곱하여
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
(p⃗−c⃗)⋅(p⃗−c⃗)=r2(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2 으로 써도 같다.
공식구와 평면의 위치 관계 (구의 반지름의 길이 rr, 중심과 평면 사이의 거리 ll)
l<rl<r
만나서 원이 생긴다\displaystyle \text{만나서 원이 생긴다}
단면인 원의 반지름의 길이는 r2−l2\sqrt{r^2-l^2}
l=rl=r
한 점에서 접한다\displaystyle \text{한 점에서 접한다}
그 평면은 구의 접평면이고, 접점과 중심을 이은 선분은 평면에 수직이다.
l>rl>r
만나지 않는다\displaystyle \text{만나지 않는다}
학생
단면인 원의 반지름은 왜 r2−l2\sqrt{r^2-l^2} 이에요?
쌤
구의 중심, 단면인 원의 중심, 원 위의 한 점을 이으면 직각삼각형이 생겨요. 빗변이 rr, 한 변이 ll 이라 나머지 변이 r2−l2\sqrt{r^2-l^2} 이에요.

l=rl=r 일 때 평면은 구에 접한다 고 해요.
구의 중심을 지나는 평면(l=0l=0)은 반지름의 길이가 rr 인 가장 큰 원을 만들어요.

구와 평면이 만나서 생기는 원
rCH
중심 C 와 평면 사이의 거리가 CH‾<r\overline{CH}<r 이면 반지름의 길이가 r2−CH‾2\sqrt{r^2-\overline{CH}^2} 인 원이 생겨요.
예단면인 원의 반지름
중심이 (1, 2, 3)(1,\ 2,\ 3) 이고 반지름의 길이가 55 인 구와 평면 x+2y+2z−2=0x+2y+2z-2=0 에서
중심과 평면 사이의 거리는 33
3<53<5 이므로 만나서 원이 생기고, 원의 반지름의 길이는 52−32=4\sqrt{5^2-3^2}=4
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
중심이 원점이고 반지름의 길이가 55 인 구와 평면 z=3z=3 이 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는?
자세히 보기펼치기예제
벡터방정식을 성분으로
∣p⃗−c⃗∣=2,c⃗=(1, −1, 2)|\vec{p}-\vec{c}|=2,\quad \vec{c}=(1,\ -1,\ 2)
(x−1)2+(y+1)2+(z−2)2=4(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4
↳양변을 제곱해요
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1) 을 지나고 법선벡터가 n⃗=(a, b, c)\vec{n}=(a,\ b,\ c) 인 평면의 방정식은 a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0 이다.
  2. 2평면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 의 법선벡터는 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 이다. 두 평면의 평행·수직·이루는 각은 법선벡터로 판단한다.
  3. 3점 (x1, y1, z1)(x_1,\ y_1,\ z_1) 과 평면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 사이의 거리는 ∣ax1+by1+cz1+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} 이다.
  4. 4중심의 위치벡터가 c⃗\vec{c}, 반지름의 길이가 rr 인 구는 ∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=r 이고, 중심과 평면 사이의 거리를 rr 과 비교하여 위치 관계를 판단한다.
  5. 5두 평면 f=0f=0, g=0g=0 의 교선을 지나는 평면은 f+kg=0f+kg=0 꼴이고, 두 구의 방정식을 빼면 두 구가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면이 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 평면 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 의 법선벡터에 상수항을 섞어 (a, b, d)(a,\ b,\ d) 처럼 써요. 법선벡터는 xx, yy, zz 의 계수 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 이에요.
  • 점과 평면 사이의 거리 공식에서 분자의 상수항 dd 나 절댓값을 빠뜨려요.
  • 두 평면이 이루는 각을 법선벡터의 내적이 음수인 채로 구하여 둔각을 답으로 써요. 두 평면이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3) 을 지나고 법선벡터가 n⃗=(2, −1, 1)\vec{n}=(2,\ -1,\ 1) 인 평면의 방정식을 구하시오.
  2. 예제 2
    직선 x−12=y+1−1=z3\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{3} 과 평면 x+2y+z=5x+2y+z=5 가 만나는 점의 좌표를 구하시오.
  3. 예제 3
    중심이 C(1, 2, −1)\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1) 이고 평면 2x−y+2z+9=02x-y+2z+9=0 에 접하는 구의 방정식을 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 벡터를 이용한 직선의 방정식, 구의 방정식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 점과 직선 사이의 거리기하 목차
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