수학 개념 노트전체 과목

벡터의 연산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
크기와 방향을 함께 가진 양을 벡터라 해요. 덧셈은 삼각형법·평행사변형법으로, 뺄셈은 OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB} 로 계산하며, 영벡터가 아닌 두 벡터는 b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a} 일 때 서로 평행해요.
  1. 1벡터의 뜻과 크기
  2. 2벡터의 덧셈
  3. 3벡터의 뺄셈
  4. 4실수배와 연산 법칙
  5. 5벡터의 평행과 일차결합
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1벡터의 뜻과 크기

정의벡터와 벡터의 크기
길이·넓이·질량처럼 크기만으로 정해지는 양을 스칼라라 하고, 속도·힘처럼 크기와 방향을 함께 가진 양을 벡터 라 한다.
점 A 에서 점 B 로 향하는 방향과 선분 AB 의 길이를 함께 가진 벡터를 AB→\overrightarrow{AB} 로 나타낸다.
이때 A 를 시점, B 를 종점이라 한다. 벡터를 한 문자로 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 처럼 나타내기도 한다.
AB→\overrightarrow{AB} 의 크기는 선분 AB 의 길이이고 ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}| 로 나타낸다.
a⃗\vec{a} 의 크기는 ∣a⃗∣|\vec{a}| 로 나타낸다.
크기는 길이이므로 항상 00 이상의 실수이다.
학생
벡터는 그냥 선분이랑 뭐가 달라요?
쌤
선분은 길이만 있지만, 벡터는 크기와 방향을 함께 가져요. 그래서 AB→\overrightarrow{AB} 와 BA→\overrightarrow{BA} 는 크기는 같아도 서로 다른 벡터예요.
정의서로 같은 벡터와 역벡터
두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 의 크기와 방향이 각각 같을 때 서로 같다고 하고 a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b} 로 나타낸다.
시점의 위치가 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다. 평행사변형 ABCD 에서 AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} 이다.
a⃗\vec{a} 와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 a⃗\vec{a} 의 역벡터 라 하고 −a⃗-\vec{a} 로 나타낸다.
특히 BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} 이다.
정의영벡터와 단위벡터
시점과 종점이 같은 벡터 AA→\overrightarrow{AA} 는 크기가 00 이다. 크기가 00 인 벡터를 영벡터 라 하고 0⃗\vec{0} 으로 나타낸다. 영벡터의 방향은 생각하지 않는다.
크기가 11 인 벡터를 단위벡터 라 한다.
영벡터가 아닌 a⃗\vec{a} 와 방향이 같은 단위벡터는 a⃗∣a⃗∣\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣a⃗∣=4|\vec{a}|=4 일 때, a⃗\vec{a} 와 방향이 반대인 단위벡터는?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

평면 위의 벡터를 평면벡터, 공간 위의 벡터를 공간벡터라 해요.
벡터의 덧셈·뺄셈·실수배와 연산 법칙은 평면벡터와 공간벡터에서 똑같이 성립해요.

예단위벡터 만들기
∣a⃗∣=5|\vec{a}|=5 이면 a⃗\vec{a} 와 방향이 같은 단위벡터는 15a⃗\dfrac{1}{5}\vec{a} 이에요.
방향이 반대인 단위벡터는 −15a⃗-\dfrac{1}{5}\vec{a} 이에요.
벡터를 자신의 크기로 나누면 방향은 그대로이고 크기만 11 이 돼요.

2벡터의 덧셈

성질삼각형법
a⃗=AB→\vec{a}=\overrightarrow{AB}, b⃗=BC→\vec{b}=\overrightarrow{BC} 처럼 a⃗\vec{a} 의 종점에 b⃗\vec{b} 의 시점을 이어 붙이면
a⃗+b⃗=AB→+BC→=AC→\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
이렇게 더하는 방법을 벡터 덧셈의 삼각형법 이라 한다.
학생
가운데 문자가 지워진다는 게 무슨 뜻이에요?
쌤
AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} 처럼 앞 벡터의 종점과 뒤 벡터의 시점이 같은 문자 B 이면, B 를 지우고 A 에서 C 로 바로 가는 벡터 AC→\overrightarrow{AC} 가 돼요. AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} 처럼 여러 개도 이어져요.
삼각형법
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}
ABC
a⃗=AB→\vec{a}=\overrightarrow{AB} 의 종점 B 에 b⃗=BC→\vec{b}=\overrightarrow{BC} 의 시점을 이으면 a⃗+b⃗=AC→\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}
성질평행사변형법
a⃗=AB→\vec{a}=\overrightarrow{AB}, b⃗=AD→\vec{b}=\overrightarrow{AD} 처럼 시점을 같게 놓고 평행사변형 ABCD 를 만든다.
BC→=AD→=b⃗\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b} 이므로
a⃗+b⃗=AB→+BC→=AC→\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
즉 시점이 같은 두 벡터의 합은 두 벡터로 만든 평행사변형의 대각선 벡터이다.
평행사변형법과 뺄셈
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}
b⃗−a⃗\vec{b}-\vec{a}
ABCD
AC→=a⃗+b⃗\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}, BD→=AD→−AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} 를 간단히 하면?
꼬리 잇기는 종점과 시점이 같을 때만
✗ 틀린 풀이
AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
왜 틀렸나 AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} 는 앞 벡터의 종점과 뒤 벡터의 시점이 같을 때만 성립한다.
✓ 바른 풀이
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→\overrightarrow{AB} 의 종점 B 와 AC→\overrightarrow{AC} 의 시점 A 가 다르므로 문자를 지울 수 없어요.
시점이 같은 두 벡터의 합은 평행사변형법으로 구해요.
⚠ 주의크기는 그대로 더해지지 않는다
∣a⃗+b⃗∣|\vec{a}+\vec{b}| 와 ∣a⃗∣+∣b⃗∣|\vec{a}|+|\vec{b}| 는 일반적으로 달라요.
∠B=90∘\angle B=90^\circ, AB‾=3\overline{AB}=3, BC‾=4\overline{BC}=4 인 직각삼각형 ABC 에서
∣AB→+BC→∣=∣AC→∣=5|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=5
∣AB→∣+∣BC→∣=7|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=7
두 값이 같은 것은 두 벡터의 방향이 같을 때뿐이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
꼬리 잇기로 더하는 순서
  1. 1
    앞 벡터의 종점과 뒤 벡터의 시점이 같은지 봐요.
    다르면 같은 벡터나 역벡터로 바꾸어 맞춰요. 예: −CB→=BC→-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}
  2. 2
    AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
    가운데 문자 B 를 지우고 처음 시점과 마지막 종점만 남겨요.
  3. 3
    AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}
    세 개 이상도 같은 방법으로 차례로 이어요.
  4. 4
    AB→+BA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}
    되돌아오면 영벡터예요.

3벡터의 뺄셈

정의벡터의 뺄셈
a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} 는 a⃗\vec{a} 에 b⃗\vec{b} 의 역벡터를 더한 것이다.
a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})
성질시점을 같게 놓은 뺄셈
OA→+AB→=OB→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} 이므로
OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}
시점이 같은 두 벡터의 차는 빼는 벡터의 종점(A)에서 빼어지는 벡터의 종점(B)으로 향하는 벡터이다.
시점 O 는 아무 점이어도 되므로 AB→=PB→−PA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA} 처럼 시점을 원하는 점으로 바꿀 수 있다.
학생
OB→−OA→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} 의 방향이 헷갈려요. 왜 A 에서 B 로 가요?
쌤
OA→\overrightarrow{OA} 에 AB→\overrightarrow{AB} 를 더하면 OB→\overrightarrow{OB} 가 되니까 OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB} 예요. 빼는 벡터의 종점 A 에서 출발한다고 기억하면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
PC→−PA→\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA} 를 간단히 하면?
뺄셈의 방향
✗ 틀린 풀이
OB→−OA→=BA→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}
왜 틀렸나 OB→−OA→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} 는 A 에서 B 로 가는 벡터이므로 AB→\overrightarrow{AB} 이다.
✓ 바른 풀이
OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}
OA→+AB→=OB→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} 에서 OA→\overrightarrow{OA} 를 이항한 거예요.
「뒤에 쓴 벡터의 종점에서 앞에 쓴 벡터의 종점으로」라고 기억해요.

4실수배와 연산 법칙

정의벡터의 실수배
실수 kk 와 a⃗\vec{a} 의 곱 ka⃗k\vec{a} 는 다음과 같다. (a⃗≠0⃗\vec{a}\ne\vec{0})
k>0k>0 이면 a⃗\vec{a} 와 방향이 같고 크기가 k∣a⃗∣k|\vec{a}| 인 벡터
k<0k<0 이면 a⃗\vec{a} 와 방향이 반대이고 크기가 ∣k∣∣a⃗∣|k||\vec{a}| 인 벡터
k=0k=0 이면 ka⃗=0⃗k\vec{a}=\vec{0}
또 a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0} 이면 ka⃗=0⃗k\vec{a}=\vec{0} 이다.
공식벡터의 연산 법칙
교환법칙
a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}
평행사변형의 대각선은 어느 변부터 따라가도 같다.
결합법칙
(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})
그래서 괄호 없이 a⃗+b⃗+c⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} 로 쓴다.
영벡터·역벡터
a⃗+0⃗=a⃗,a⃗+(−a⃗)=0⃗\displaystyle \vec{a}+\vec{0}=\vec{a},\quad \vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}
실수배의 결합법칙
k(la⃗)=(kl)a⃗\displaystyle k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}
분배법칙
(k+l)a⃗=ka⃗+la⃗,k(a⃗+b⃗)=ka⃗+kb⃗\displaystyle (k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a},\quad k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}
kk, ll 은 실수
학생
벡터식도 문자식처럼 계산해도 돼요?
쌤
네. 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 성립하니까 괄호를 풀고 a⃗\vec{a} 는 a⃗\vec{a} 끼리, b⃗\vec{b} 는 b⃗\vec{b} 끼리 모아 정리하면 돼요.
벡터식 정리
3(a⃗−2b⃗)−2(a⃗−4b⃗)3(\vec{a}-2\vec{b})-2(\vec{a}-4\vec{b})
=3a⃗−6b⃗−2a⃗+8b⃗=3\vec{a}-6\vec{b}-2\vec{a}+8\vec{b}
↳괄호를 풀어요
=a⃗+2b⃗=\vec{a}+2\vec{b}
↳동류항끼리 모아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2(a⃗+b⃗)−3(a⃗−b⃗)2(\vec{a}+\vec{b})-3(\vec{a}-\vec{b}) 를 간단히 하면?
음수를 곱할 때 부호
✗ 틀린 풀이
−2(a⃗−3b⃗)=−2a⃗−6b⃗-2(\vec{a}-3\vec{b})=-2\vec{a}-6\vec{b}
왜 틀렸나 음수를 괄호 안의 모든 항에 곱해야 하므로 (−2)×(−3b⃗)=6b⃗(-2)\times(-3\vec{b})=6\vec{b} 이다.
✓ 바른 풀이
−2(a⃗−3b⃗)=−2a⃗+6b⃗-2(\vec{a}-3\vec{b})=-2\vec{a}+6\vec{b}
−2-2 를 괄호 안의 모든 항에 곱해요.
(−2)×(−3)=6(-2)\times(-3)=6 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

연산 법칙이 문자식과 같으므로 벡터식은 문자식처럼 괄호를 풀고 동류항을 모아 정리해요.
a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 를 문자 aa, bb 처럼 다루면 돼요.

공간벡터도 같은 법칙으로 더해요.
직육면체에서 마주 보는 모서리는 평행하고 길이가 같으므로 BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, CG→=AE→\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE} 이에요.

공간벡터의 덧셈
직육면체 ABCD-EFGH
ABCDEFGH
AG→=AB→+BC→+CG→=AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}

5벡터의 평행과 일차결합

정의두 벡터의 평행
영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 의 방향이 같거나 반대일 때 두 벡터는 서로 평행 하다고 하고 a⃗∥b⃗\vec{a}\parallel\vec{b} 로 나타낸다.
a⃗∥b⃗\vec{a}\parallel\vec{b} 이면 b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a} 인 00 이 아닌 실수 kk 가 있고, 그 역도 성립한다.
학생
평행하면 같은 벡터예요?
쌤
아니요. 평행은 방향이 같거나 반대이기만 하면 돼요. 같은 벡터는 크기와 방향이 모두 같아야 해요.
성질세 점이 한 직선 위에 있을 조건
서로 다른 세 점 A, B, C 가 한 직선 위에 있을 조건은
AC→=kAB→\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}
를 만족시키는 실수 kk 가 있는 것이다.
두 벡터의 시점이 A 로 같고 서로 평행하므로 세 점이 한 직선 위에 놓인다.
성질일차결합과 계수 비교
a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않을 때
ma⃗+nb⃗=m′a⃗+n′b⃗m\vec{a}+n\vec{b}=m'\vec{a}+n'\vec{b} 이면 m=m′m=m', n=n′n=n'
특히 ma⃗+nb⃗=0⃗m\vec{a}+n\vec{b}=\vec{0} 이면 m=n=0m=n=0
이유: m≠m′m\ne m' 이면 a⃗=n′−nm−m′b⃗\vec{a}=\dfrac{n'-n}{m-m'}\vec{b} 가 되어 a⃗\vec{a} 와 b⃗\vec{b} 가 평행하거나 a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0} 이 되기 때문이다.
평면 위의 모든 벡터는 이런 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 를 써서 ma⃗+nb⃗m\vec{a}+n\vec{b} 꼴(일차결합)로 단 한 가지로 나타낼 수 있다.
한 벡터를 두 벡터로 나타내는 순서
  1. 1
    기준이 되는 두 벡터를 정해요.
    평행사변형 ABCD 이면 AB→=a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{a}, AD→=b⃗\overrightarrow{AD}=\vec{b}
  2. 2
    구하는 벡터를 꼬리 잇기로 쪼개요.
    AM→=AB→+BM→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}
  3. 3
    조각마다 같은 벡터·역벡터·실수배로 바꿔요.
    M 이 BC 의 중점이면 BM→=12BC→=12AD→=12b⃗\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{b}
  4. 4
    정리해요.
    AM→=a⃗+12b⃗\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
영벡터가 아니고 서로 평행하지 않은 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 에 대하여 (m−1)a⃗+(n+2)b⃗=0⃗(m-1)\vec{a}+(n+2)\vec{b}=\vec{0} 일 때, m+nm+n 의 값은?
자세히 보기펼치기외우기 카드
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
AB→+BC→=A□→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A\square}
단계 1 / 2빼는 벡터의 종점에서 출발
OB→−OA→=□B→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{\square B}
단계 1 / 2
a⃗∥b⃗=b⃗=□a⃗ (k≠0)\vec{a}\parallel\vec{b}=\vec{b}=\square\vec{a}\ (k\ne0)
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1크기와 방향을 함께 가진 양을 벡터라 한다. 점 A 에서 점 B 로 향하는 벡터는 AB→\overrightarrow{AB}, 그 크기(선분 AB 의 길이)는 ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}| 로 나타낸다.
  2. 2덧셈은 꼬리 잇기 AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, 뺄셈은 시점을 같게 놓은 OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB} 이다.
  3. 3실수배 ka⃗k\vec{a} 는 크기가 ∣k∣∣a⃗∣|k||\vec{a}| 이고, k>0k>0 이면 a⃗\vec{a} 와 같은 방향, k<0k<0 이면 반대 방향이다.
  4. 4영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 에 대하여 a⃗∥b⃗\vec{a}\parallel\vec{b} 는 b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a} (k≠0k\ne0 인 실수)와 같다.
✗ 자주 하는 실수
  • OB→−OA→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} 를 BA→\overrightarrow{BA} 로 써요. 바른 결과는 AB→\overrightarrow{AB} 이에요.
  • ∣a⃗+b⃗∣=∣a⃗∣+∣b⃗∣|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| 라고 생각해요. 크기는 두 벡터의 방향이 같을 때만 그대로 더해져요.
  • −2(a⃗−3b⃗)-2(\vec{a}-3\vec{b}) 를 −2a⃗−6b⃗-2\vec{a}-6\vec{b} 로 전개하여 부호를 놓쳐요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    3(a⃗−2b⃗)−2(a⃗−4b⃗)3(\vec{a}-2\vec{b})-2(\vec{a}-4\vec{b}) 를 간단히 하시오.
  2. 예제 2
    평행사변형 ABCD 에서 AB→=a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{a}, AD→=b⃗\overrightarrow{AD}=\vec{b} 이고, 변 BC, CD 의 중점을 각각 M, N 이라 할 때, MN→\overrightarrow{MN} 을 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 로 나타내시오.
    abABCDMN
  3. 예제 3
    a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않을 때, 두 벡터 ka⃗+2b⃗k\vec{a}+2\vec{b} 와 2a⃗+(k+3)b⃗2\vec{a}+(k+3)\vec{b} 가 서로 평행하도록 하는 실수 kk 의 값을 모두 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 위치벡터와 벡터의 성분 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 사각형의 성질, 중1 일차식의 계산기하 목차
← 구의 방정식위치벡터와 벡터의 성분 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기