수학 개념 노트전체 과목

직선의 방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
직선은 기울기와 한 점으로 정해져요. 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선은 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 이고, 두 점이 주어지면 기울기를 먼저 구해요. 두 절편이 주어지면 xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 을 쓰고, 모든 직선은 일반형 ax+by+c=0ax+by+c=0 으로 나타내요.
  1. 1기울기와 yy 절편
  2. 2한 점과 기울기가 주어진 직선
  3. 3두 점을 지나는 직선
  4. 4xx 절편과 yy 절편
  5. 5좌표축에 평행한 직선
  6. 6직선의 방정식의 일반형
  7. 7나란히 비교하기
  8. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1기울기와 yy 절편

정의기울기와 yy 절편
직선 위의 서로 다른 두 점에 대하여 (y의 값의 증가량)(x의 값의 증가량)\frac{(y\text{의 값의 증가량})}{(x\text{의 값의 증가량})}은 두 점을 어떻게 잡아도 일정하다. 이 값을 직선의 기울기 라 한다.
직선이 yy 축과 만나는 점의 yy 좌표를 y절편이라 한다.
기울기가 mm, yy 절편이 nn 인 직선의 방정식은 y=mx+ny=mx+n 이다.
y=−2x+3y=-2x+3
-2-11234-3-2-112345xyO+1-2
yy 절편 33
점 (0, 3)(0,\ 3) 에서 오른쪽으로 11 가면 아래로 22 내려가요. 그래서 기울기 −2-2, yy 절편 33 인 직선 y=−2x+3y=-2x+3 이에요.
학생
기울기가 음수이면 직선이 어떻게 돼요?
쌤
xx 가 커질수록 yy 가 작아져서 오른쪽 아래로 내려가요. y=−2x+3y=-2x+3 은 xx 가 11 늘 때마다 yy 가 22 씩 줄어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
기울기가 −3-3, yy 절편이 22 인 직선의 방정식은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

기울기가 mm, yy 절편이 nn 인 직선은 점 (0, n)(0,\ n) 을 지나고, xx 가 11 증가할 때마다 yy 가 mm 만큼 변해요.
두 직선이 만나는지는 기울기로 판정해요.

2한 점과 기울기가 주어진 직선

성질한 점과 기울기가 주어진 직선
점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선의 방정식은 다음과 같다.y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)
점 (2, −1)(2,\ -1), 기울기 33
y−(−1)=3(x−2)y-(-1)=3(x-2)
↳틀에 넣어요
y+1=3x−6y+1=3x-6
↳괄호를 풀어요
y=3x−7y=3x-7
↳11 을 이항해요
검산: x=2x=2 를 넣으면 y=6−7=−1y=6-7=-1 ✓
학생
점의 좌표가 음수이면 부호가 헷갈려요.
쌤
틀 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 에 괄호째 넣어요. 점 (2, −1)(2,\ -1) 이면 y−(−1)y-(-1) 이 되어 y+1y+1 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (−1, 4)(-1,\ 4) 를 지나고 기울기가 22 인 직선의 방정식은?
음수 좌표를 넣을 때
✗ 틀린 풀이
점 (−3, 2)(-3,\ 2) 를 지나므로
y−2=−12(x−3)y-2=-\dfrac{1}{2}(x-3)
왜 틀렸나 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 에 x1=−3x_1=-3 을 괄호째 넣어야 하므로 괄호 안은 x+3x+3 이 된다.
✓ 바른 풀이
점 (−3, 2)(-3,\ 2) 를 지나므로
y−2=−12(x+3)y-2=-\dfrac{1}{2}(x+3)
검산: 구한 식에 x=−3x=-3 을 넣어 y=2y=2 가 나오는지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제

이유는 다음과 같아요. 점 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선 위의 점 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) (P≠A\mathrm{P}\ne\mathrm{A}) 를 잡으면 두 점 사이의 기울기가 mm 이므로 y−y1x−x1=m\frac{y-y_1}{x-x_1}=m양변에 x−x1x-x_1 을 곱하면 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)점 A\mathrm{A} 자신도 이 식을 만족하므로 이것이 구하는 직선의 방정식이에요.

성질틀로 기억하기
y−□=m(x−△)y-\square=m(x-\triangle)지나는 점이 (△, □)(\triangle,\ \square) 이다. xx 좌표는 xx 옆에, yy 좌표는 yy 옆에 빼는 꼴로 넣는다.
좌표가 음수이면 빼기가 더하기로 바뀐다.
(−3, 2)(-3,\ 2) 이면 y−2=m(x+3)y-2=m(x+3)
음수 좌표와 분수 기울기
점 (−3, 2)(-3,\ 2), 기울기 −12-\frac{1}{2}
y−2=−12(x+3)y-2=-\frac{1}{2}(x+3)
↳x−(−3)=x+3x-(-3)=x+3
y=−12x−32+2y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}+2
↳괄호를 풀고 이항
y=−12x+12y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
↳정리해요

3두 점을 지나는 직선

성질두 점을 지나는 직선
두 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1), (x2, y2)(x_2,\ y_2) (x1≠x2)(x_1\ne x_2) 를 지나는 직선의 기울기는 y2−y1x2−x1\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} 이다. 이 기울기와 한 점을 이용하면 직선의 방정식은 다음과 같다.y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)
예두 점 (1, 2)(1,\ 2), (3, 8)(3,\ 8)
기울기는 8−23−1=3\dfrac{8-2}{3-1}=3
y−2=3(x−1)y-2=3(x-1)
y=3x−1y=3x-1
검산: x=3x=3 이면 y=8y=8 ✓
두 점 (1, 2)(1,\ 2), (3, 8)(3,\ 8)
-11234-2-1123456789xyO26
오른쪽으로 22 갈 때 위로 66 올라가므로 기울기는 62=3\frac{6}{2}=3 이에요.
학생
두 점 중 어느 점을 넣어야 해요?
쌤
어느 점을 넣어도 같은 직선이 나와요. (3, 8)(3,\ 8) 을 넣어도 y−8=3(x−3)y-8=3(x-3) 에서 y=3x−1y=3x-1 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 (1, 3)(1,\ 3), (3, 7)(3,\ 7) 을 지나는 직선의 방정식은?
빼는 순서
✗ 틀린 풀이
(1, 2)(1,\ 2), (3, 8)(3,\ 8) 에서
m=8−21−3=−3m=\dfrac{8-2}{1-3}=-3
왜 틀렸나 기울기는 분자와 분모에서 같은 점의 좌표를 같은 순서로 빼서 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
(1, 2)(1,\ 2), (3, 8)(3,\ 8) 에서
m=8−23−1=3m=\dfrac{8-2}{3-1}=3
검산: xx 가 11 에서 33 으로 커질 때 yy 도 22 에서 88 로 커지므로 기울기는 양수여야 한다.
⚠ 주의xx 좌표가 같은 두 점
두 점 (2, 1)(2,\ 1), (2, 5)(2,\ 5) 처럼 x1=x2x_1=x_2 이면 분모가 00 이 되어 기울기를 정할 수 없어요.
이때 직선은 yy 축에 평행한 직선 x=2x=2 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
두 점을 지나는 직선을 구하는 순서
  1. 1
    기울기 m=y2−y1x2−x1m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} 을 구해요.
    분자와 분모는 같은 점에서 같은 점을 빼요.
  2. 2
    두 점 중 계산이 쉬운 점을 골라 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 에 넣어요.
  3. 3
    y=mx+ny=mx+n 꼴로 정리해요.
  4. 4
    다른 한 점을 넣어 성립하는지 검산해요.
예기울기가 음수
두 점 (−2, 5)(-2,\ 5), (4, −1)(4,\ -1)
기울기는 −1−54−(−2)=−66=−1\dfrac{-1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-6}{6}=-1
y−5=−(x+2)y-5=-(x+2)
y=−x+3y=-x+3

4xx 절편과 yy 절편

정의xx 절편
직선이 xx 축과 만나는 점의 xx 좌표를 x절편이라 한다.
xx 절편이 aa, yy 절편이 bb (ab≠0)(ab\ne0) 인 직선의 방정식은 다음과 같다.xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
학생
왜 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 이 돼요?
쌤
두 점 (a, 0)(a,\ 0), (0, b)(0,\ b) 를 넣어 보면 둘 다 이 식을 만족해요. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이라서 이 식이 그 직선이에요.
예xx 절편 22, yy 절편 −3-3
x2+y−3=1\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1
x2−y3=1\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1
양변에 66 을 곱하면
3x−2y=63x-2y=6
xx 절편 22, yy 절편 −3-3
-2-11234-5-4-3-2-1123xyO(2, 0)(0, -3)
두 절편의 점 (2, 0)(2,\ 0), (0, −3)(0,\ -3) 을 지나는 직선 3x−2y=63x-2y=6 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
xx 절편이 33, yy 절편이 −2-2 인 직선의 방정식은?
절편의 부호
✗ 틀린 풀이
xx 절편 22, yy 절편 −3-3 이므로
x2+y3=1\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1
왜 틀렸나 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 의 bb 에는 yy 절편을 음의 부호까지 그대로 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
xx 절편 22, yy 절편 −3-3 이므로
x2+y−3=1\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1
검산: (2, 0)(2,\ 0), (0, −3)(0,\ -3) 을 넣어 모두 성립하는지 본다.
⚠ 주의절편형을 쓸 수 없는 경우
원점을 지나는 직선은 절편이 00 이므로 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 꼴로 나타낼 수 없어요.
좌표축에 평행한 직선도 절편이 하나뿐이므로 이 꼴로 쓰지 않아요.
자세히 보기펼치기예제 2
왜 xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 인가
m=b−00−a=−bam=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}
↳(a, 0)(a,\ 0), (0, b)(0,\ b) 의 기울기
y=−bax+by=-\frac{b}{a}x+b
↳yy 절편은 bb
yb=−xa+1\frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1
↳양변을 bb 로 나눠요
xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
↳−xa-\frac{x}{a} 를 이항
예거꾸로
직선 2x−3y+12=02x-3y+12=0 의 절편
y=0y=0 을 넣으면 2x+12=02x+12=0
따라서 xx 절편은 −6-6
x=0x=0 을 넣으면 −3y+12=0-3y+12=0
따라서 yy 절편은 44

5좌표축에 평행한 직선

공식점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나는 좌표축에 평행한 직선
xx 축에 평행
y=y1\displaystyle y=y_1
기울기 00
yy 축에 평행
x=x1\displaystyle x=x_1
기울기를 정할 수 없다.
점 (3, −2)(3,\ -2) 를 지나는 두 직선
-2-112345-4-3-2-1123xyOy=-2x=3
가로선 위의 점은 모두 yy 좌표가 −2-2, 세로선 위의 점은 모두 xx 좌표가 33 이에요.
학생
기울기가 없는 직선도 있어요?
쌤
네. yy 축에 평행한 세로선 x=x1x=x_1 은 xx 의 값이 변하지 않아서 기울기를 정할 수 없어요. 가로선 y=y1y=y_1 은 기울기가 00 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (−2, 5)(-2,\ 5) 를 지나고 xx 축에 평행한 직선은?
yy 축에 평행한 직선
✗ 틀린 풀이
점 (3, −2)(3,\ -2) 를 지나고 yy 축에 평행한 직선은
y=−2y=-2
왜 틀렸나 yy 축에 평행한 직선은 세로로 선 직선이므로 그 위의 점은 xx 좌표가 모두 같다.
✓ 바른 풀이
점 (3, −2)(3,\ -2) 를 지나고 yy 축에 평행한 직선은
x=3x=3
기억 요령: yy 축 자체의 식이 x=0x=0 이므로 yy 축에 평행한 직선도 x=x=(수) 꼴이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 xx 축에 평행한 직선 위의 점은 모두 yy 좌표가 y1y_1 이에요. 따라서 이 직선은 y=y1y=y_1 이고 기울기는 00 이에요.
yy 축에 평행한 직선 위의 점은 모두 xx 좌표가 x1x_1 이므로 이 직선은 x=x1x=x_1 이고 기울기는 정할 수 없어요.
특히 좌표축 중 xx 축은 y=0y=0, yy 축은 x=0x=0 이에요.

6직선의 방정식의 일반형

성질직선의 방정식의 일반형
모든 직선은 xx, yy 에 대한 일차방정식 ax+by+c=0(a≠0 또는 b≠0)ax+by+c=0\quad(a\ne0\ \text{또는}\ b\ne0)꼴로 나타낼 수 있다. 거꾸로 이 꼴의 방정식은 항상 직선을 나타낸다.
학생
ax+by+c=0ax+by+c=0 꼴은 왜 따로 배워요?
쌤
세로선 x=kx=k 까지 모든 직선을 한 꼴로 쓸 수 있어서예요. 기울기가 필요하면 yy 에 대하여 풀면 돼요.
공식ax+by+c=0ax+by+c=0 이 나타내는 직선
b≠0b\ne0
y=−abx−cb\displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
기울기 −ab-\frac{a}{b}, yy 절편 −cb-\frac{c}{b}
a≠0, b=0a\ne0,\ b=0
x=−ca\displaystyle x=-\frac{c}{a}
yy 축에 평행
a=0, b≠0a=0,\ b\ne0
y=−cb\displaystyle y=-\frac{c}{b}
xx 축에 평행
2x+3y−6=02x+3y-6=0 의 기울기와 절편
3y=−2x+63y=-2x+6
↳yy 에 대하여 풀어요
y=−23x+2y=-\frac{2}{3}x+2
↳양변을 33 으로 나눠요
기울기 −23-\frac{2}{3}, yy 절편 22 이고, y=0y=0 을 넣으면 x=3x=3 이므로 xx 절편은 33 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직선 3x−2y+4=03x-2y+4=0 의 기울기는?
일반형의 기울기
✗ 틀린 풀이
2x+3y−6=02x+3y-6=0 의 기울기는
23\dfrac{2}{3}
왜 틀렸나 ax+by+c=0ax+by+c=0 을 yy 에 대하여 풀면 axax 가 이항되며 부호가 바뀌므로 기울기는 −ab-\frac{a}{b} 이다.
✓ 바른 풀이
2x+3y−6=02x+3y-6=0 의 기울기는
−23-\dfrac{2}{3}
검산: 직선 위의 두 점 (3, 0)(3,\ 0), (0, 2)(0,\ 2) 로 기울기를 구하면 2−00−3=−23\frac{2-0}{0-3}=-\frac{2}{3} 이다.
자세히 보기펼치기외우기 카드
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
점 (x1, y1), 기울기 m=y−y1=m(□)\text{점 }(x_1,\ y_1),\ \text{기울기 }m=y-y_1=m(\square)
단계 1 / 2
x 절편 a, y 절편 b=xa+yb=□x\text{ 절편 }a,\ y\text{ 절편 }b=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\square
단계 1 / 2부호에 주의
ax+by+c=0 의 기울기=□abax+by+c=0\text{ 의 기울기}=\square\frac{a}{b}

7나란히 비교하기

공식주어진 조건과 쓰는 식
기울기, yy 절편
y=mx+n\displaystyle y=mx+n
한 점, 기울기
y−y1=m(x−x1)\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)
두 점
m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
기울기를 먼저 구한다. x1=x2x_1=x_2 이면 x=x1x=x_1
두 절편
xa+yb=1\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
ab≠0ab\ne0
일반형
ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0
기울기 −ab-\frac{a}{b} (b≠0)(b\ne0)
학생
조건마다 어떤 식을 써야 할지 헷갈려요.
쌤
주어진 것을 보고 정해요. 한 점과 기울기면 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1), 두 점이면 기울기부터, 두 절편이면 절편 꼴이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1기울기가 mm, yy 절편이 nn 인 직선: y=mx+ny=mx+n
  2. 2점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선: y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)
  3. 3두 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1), (x2, y2)(x_2,\ y_2) 를 지나는 직선은 기울기 y2−y1x2−x1\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} 을 먼저 구한다. x1=x2x_1=x_2 이면 x=x1x=x_1 이다.
  4. 4xx 절편 aa, yy 절편 bb (ab≠0)(ab\ne0) 인 직선은 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 이고, 모든 직선은 ax+by+c=0ax+by+c=0 꼴로 나타낼 수 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 점 (−3, 2)(-3,\ 2) 를 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 에 넣을 때 x−3x-3 으로 써서 부호를 틀려요.
  • 두 점으로 기울기를 구할 때 분자와 분모의 빼는 순서를 다르게 해요.
  • yy 축에 평행한 직선을 y=(상수)y=(\text{상수}) 로 쓰거나, 일반형 ax+by+c=0ax+by+c=0 의 기울기를 ab\frac{a}{b} 로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 (−1, 4)(-1,\ 4) 를 지나고 기울기가 −3-3 인 직선의 방정식을 구하시오.
  2. 예제 2
    두 점 (2, −3)(2,\ -3), (−4, 6)(-4,\ 6) 을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    직선 ax+2y−4=0ax+2y-4=0 의 기울기가 33 일 때, 상수 aa 의 값과 이 직선의 yy 절편을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 두 직선의 위치 관계 →다음 개념: 평행이동 →
이전 개념: 두 점 사이의 거리설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수와 그래프, 중1 좌표평면과 그래프, 중2 일차함수의 식과 일차방정식공통수학2 목차
← 선분의 내분점과 무게중심두 직선의 위치 관계 →
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