수학 개념 노트전체 과목

나머지정리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
다항식 f(x)f(x)를 x−ax-a로 나눈 나머지는 f(a)f(a)이에요. 직접 나누지 않고 값을 대입해 나머지를 구해요.
  1. 1나머지정리와 그 이유
  2. 2일차식 ax+b 로 나눌 때
  3. 3여러 가지 꼴에 적용하기
  4. 4이차식으로 나눈 나머지
  5. 5거꾸로 쓰기와 인수정리
  6. 6이렇게 틀리지 않기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1나머지정리와 그 이유

정의나머지정리
다항식 f(x)f(x)를 일차식 x−ax-a 로 나누었을 때의 나머지는 f(a)f(a) 이다.
학생
왜 나머지가 f(a)f(a) 예요?
쌤
f(x)=(x−a)Q(x)+Rf(x)=(x-a)Q(x)+R 에 x=ax=a 를 넣으면 (x−a)Q(x)(x-a)Q(x) 부분이 00 이 되어 RR 만 남거든요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−2x+5f(x)=x^3-2x+5 를 x−1x-1 로 나눈 나머지는?
2x3−x2+3x−42x^3-x^2+3x-4 를 x−2x-2 로 나누기
22
22
−1-1
33
−4-4
44
66
1818
22
33
99
1414
몫 2x2+3x+92x^{2}+3x+9나머지 1414
나머지 14=f(2)14=f(2)
나머지만 필요하면 대입, 몫까지 필요하면 조립제법을 써요.
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
왜 f(a)f(a) 인가
f(x)=(x−a)Q(x)+Rf(x)=(x-a)Q(x)+R
↳나눗셈 결과는 항등식
f(a)=(a−a)Q(a)+Rf(a)=(a-a)Q(a)+R
↳x=ax=a 를 넣어요
=0+R=R=0+R=R
↳Q(a)Q(a) 를 몰라도 사라져요
일차식으로 나누므로 나머지 RR 은 상수예요.
그래서 나눗셈 없이 값 하나만 넣어 나머지를 얻어요.

직접 나누어 확인해 봐요. f(x)=2x3−x2+3x−4f(x)=2x^3-x^2+3x-4 를 x−2x-2 로 나눈 나머지는 나머지정리로 f(2)=16−4+6−4=14f(2)=16-4+6-4=14 이에요. 아래 직접 나눗셈과 조립제법(계수만 써서 나누는 방법)의 나머지도 똑같이 1414 예요.

직접 나눗셈
(2x3−x2+3x−4)÷(x−2)(2x^3-x^2+3x-4)\div(x-2)
2x22x^{2}+3x+3x+9+9x−2x-22x32x^{3}−x2-x^{2}+3x+3x−4-4
1−(2x3-(2x^{3}−4x2)-4x^{2})3x23x^{2}+3x+3x−4-4
2−(3x2-(3x^{2}−6x)-6x)9x9x−4-4
3−(9x-(9x−18)-18)1414
  1. 12x3÷x=2x22x^3\div x=2x^2 → 2x2(x−2)=2x3−4x22x^2(x-2)=2x^3-4x^2 을 빼면 3x2+3x−43x^2+3x-4
  2. 23x2÷x=3x3x^2\div x=3x → 3x(x−2)=3x2−6x3x(x-2)=3x^2-6x 를 빼면 9x−49x-4
  3. 39x÷x=99x\div x=9 → 9(x−2)=9x−189(x-2)=9x-18 을 빼면 나머지 1414
  4. 몫 2x2+3x+92x^{2}+3x+9나머지 1414

2일차식 ax+b 로 나눌 때

성질일차식 ax+bax+b 로 나눌 때
f(x)f(x)를 ax+bax+b 로 나눈 나머지는 f ⁣(−ba)f\!\left(-\frac{b}{a}\right) 이다.
나누는 식을 0으로 만드는 xx 값을 넣는다.
까닭: f(x)=(ax+b)Q(x)+Rf(x)=(ax+b)Q(x)+R 은 항등식이다.
ax+b=0ax+b=0 이 되는 x=−bax=-\frac{b}{a} 를 넣으면 f ⁣(−ba)=Rf\!\left(-\frac{b}{a}\right)=R
학생
넣는 값을 외워야 해요?
쌤
외우지 말고 「나누는 식 =0=0」을 풀어요.
2x+1=02x+1=0 이면 x=−12x=-\frac12 라서 나머지는 f ⁣(−12)f\!\left(-\frac12\right) 예요.
공식나누는 식 → 넣는 값 (나누는 식 =0=0 을 풀어서)
x−ax-a
f(a)\displaystyle f(a)
x+ax+a
f(−a)\displaystyle f(-a)
x+a=x−(−a)x+a=x-(-a). 부호가 바뀐다.
ax+bax+b
f ⁣(−ba)\displaystyle f\!\left(-\frac{b}{a}\right)
ax−bax-b
f ⁣(ba)\displaystyle f\!\left(\frac{b}{a}\right)
예: 3x−2→f ⁣(23)3x-2 \to f\!\left(\frac23\right)
2x+1→f ⁣(−12)2x+1 \to f\!\left(-\frac12\right)
⚠ 주의부호
x+2x+2 로 나눈 나머지는 f(−2)f(-2) 이에요.
x+2=x−(−2)x+2=x-(-2) 이므로 a=−2a=-2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)f(x) 를 3x−23x-2 로 나눈 나머지는?
xx의 계수가 있을 때
✗ 틀린 풀이
2x−12x-1 로 나눈 나머지 =f(1)=f(1) 또는 f(2)f(2)
왜 틀렸나 나머지정리는 나누는 식을 00 으로 만드는 xx 의 값을 넣으므로 2x−1=02x-1=0 을 풀어야 한다.
✓ 바른 풀이
2x−1=02x-1=0 에서 x=12x=\frac12
따라서 나머지 =f ⁣(12)=f\!\left(\frac12\right)
나누는 식 =0=0 의 해를 ff 에 넣는다. x+3x+3 이면 −3-3, 2x−12x-1 이면 12\frac12 이다.
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기
f(x)=4x3+2x2−x+3f(x)=4x^3+2x^2-x+3 을 2x+12x+1 로 나눈 나머지
2x+1=0 ⇒ x=−122x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\frac12
↳넣을 값
4(−18)+2⋅14−(−12)+34\left(-\frac18\right)+2\cdot\frac14-\left(-\frac12\right)+3
↳괄호를 씌워 넣어요
=−12+12+12+3=-\frac12+\frac12+\frac12+3
↳계산해요
=72=\frac72
↳나머지
−x-x 에 x=−12x=-\frac12 를 넣으면 −(−12)=+12-\left(-\frac12\right)=+\frac12 예요.
성질ax+bax+b 로 나눌 때 몫은 달라진다
f(x)=(x+ba)Q(x)+R=(ax+b)⋅1aQ(x)+Rf(x)=\left(x+\frac{b}{a}\right)Q(x)+R=(ax+b)\cdot\frac{1}{a}Q(x)+R
따라서 ax+bax+b 로 나눈 몫은 1aQ(x)\frac1a Q(x), 나머지는 RR 그대로이다.
예: 4x3+2x2−x+34x^3+2x^2-x+3 을 x+12x+\frac12 로 나누면 몫은 4x2−14x^2-1
2x+12x+1 로 나누면 몫은 2x2−122x^2-\frac12
나머지는 둘 다 72\frac72 이다.
4x3+2x2−x+34x^3+2x^2-x+3 을 x+12x+\frac12 로 나누기
−12-\frac{1}{2}
44
22
−1-1
33
−2-2
00
12\frac{1}{2}
44
00
−1-1
72\frac{7}{2}
몫 4x2−14x^{2}-1나머지 72\frac{7}{2}
몫 4x2−14x^2-1, 나머지 72\frac72
2x+12x+1 로 나눈 몫은 이 몫의 12\frac12 배인 2x2−122x^2-\frac12, 나머지는 그대로 72\frac72 예요.

3여러 가지 꼴에 적용하기

나머지정리의 ff 는 「나뉘는 식 전체」의 이름일 뿐이에요. 나뉘는 식이 f(2x+1)f(2x+1), f(x2)f(x^2), xf(x)xf(x) 처럼 바뀌어도 순서는 같아요.

학생
f(2x+1)f(2x+1) 을 x−1x-1 로 나누면 나머지는 f(1)f(1) 이에요?
쌤
아니에요. 나뉘는 식 전체를 g(x)=f(2x+1)g(x)=f(2x+1) 로 보고 g(1)g(1) 을 구해요.
괄호 안에 x=1x=1 을 넣으면 f(3)f(3) 이에요.
공식□ 자리에 식이 들어간 경우
f(2x+1)÷(x−1)f(2x+1)\div(x-1)
g(1)=f(2⋅1+1)=f(3)\displaystyle g(1)=f(2\cdot1+1)=f(3)
g(x)=f(2x+1)g(x)=f(2x+1) 로 놓는다.
넣는 값은 11, ff 안에 들어가는 값은 33.
f(x2)÷(x+2)f(x^2)\div(x+2)
g(−2)=f((−2)2)=f(4)\displaystyle g(-2)=f\big((-2)^2\big)=f(4)
f(3x−2)÷(x−2)f(3x-2)\div(x-2)
g(2)=f(3⋅2−2)=f(4)\displaystyle g(2)=f(3\cdot2-2)=f(4)
xf(x)÷(x−2)x f(x)\div(x-2)
g(2)=2f(2)\displaystyle g(2)=2f(2)
앞에 곱해진 xx 에도 값을 넣는다.
f(x)=x2−2x+3f(x)=x^2-2x+3 일 때 f(2x+1)f(2x+1) 을 x−1x-1 로 나눈 나머지
x−1=0 ⇒ x=1x-1=0\ \Rightarrow\ x=1
↳넣을 값
2x+1=2⋅1+1=32x+1=2\cdot1+1=3
↳괄호 안에 넣어요
f(3)=9−6+3=6f(3)=9-6+3=6
↳나머지
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x2)f(x^2) 을 x−3x-3 으로 나눈 나머지를 ff 의 값으로 나타내면?
괄호 안까지 넣기
✗ 틀린 풀이
f(2x+1)f(2x+1) 을 x−1x-1 로 나눈 나머지 =f(1)=f(1)
왜 틀렸나 f(2x+1)f(2x+1) 은 괄호 안의 2x+12x+1 에 x=1x=1 을 넣어야 하므로 나머지는 f(3)f(3) 이다.
✓ 바른 풀이
x=1x=1 을 2x+12x+1 에 넣어 f(2⋅1+1)=f(3)f(2\cdot1+1)=f(3)
g(x)=f(2x+1)g(x)=f(2x+1) 로 놓으면 나머지는 g(1)=f(3)g(1)=f(3) 이다. 이름을 새로 붙이면 헷갈리지 않는다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
식이 바뀐 나눗셈의 순서
  1. 1
    나누는 식 =0=0 이 되는 xx 의 값을 구해요.
  2. 2
    나뉘는 식 전체를 g(x)g(x) 로 놓아요.
  3. 3
    gg 에 그 값을 넣어요.
    괄호 안의 식까지 계산해요.
  4. 4
    주어진 ff 의 값으로 바꿔요.
몫 Q(x)Q(x) 를 다시 나눈 나머지
f(x)=x3+x2−x+2f(x)=x^3+x^2-x+2 를 x−1x-1 로 나눈 몫 Q(x)Q(x) 를 x−2x-2 로 나눈 나머지
f(x)=(x−1)Q(x)+3f(x)=(x-1)Q(x)+3
↳나머지 f(1)=3f(1)=3
f(2)=(2−1)Q(2)+3f(2)=(2-1)Q(2)+3
↳x=2x=2 를 넣어요
12=Q(2)+312=Q(2)+3
↳f(2)=8+4−2+2f(2)=8+4-2+2
Q(2)=9Q(2)=9
↳구하는 나머지
이번에는 (x−1)(x-1) 을 00 으로 만드는 값이 아니라 QQ 에 필요한 값 x=2x=2 를 넣어요.
검산: 아래 조립제법의 몫 Q(x)=x2+2x+1Q(x)=x^2+2x+1 에서 Q(2)=9Q(2)=9 ✓
x3+x2−x+2x^3+x^2-x+2 를 x−1x-1 로 나누기(검산용)
11
11
11
−1-1
22
11
22
11
11
22
11
33
몫 x2+2x+1x^{2}+2x+1나머지 33
몫 Q(x)=x2+2x+1Q(x)=x^2+2x+1
나머지 3=f(1)3=f(1)

4이차식으로 나눈 나머지

성질이차식으로 나눈 나머지
f(x)f(x)를 (x−α)(x−β)(x-\alpha)(x-\beta) 로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 R(x)=px+qR(x)=px+q 로 놓는다.
f(x)=(x−α)(x−β)Q(x)+px+qf(x)=(x-\alpha)(x-\beta)Q(x)+px+q 에 x=α, βx=\alpha,\ \beta 를 대입한 두 식을 연립하면{f(α)=pα+qf(β)=pβ+q\begin{cases} f(\alpha)=p\alpha+q \\ f(\beta)=p\beta+q \end{cases}이것을 풀어 p,qp, q 를 구한다.
공식나누는 식의 차수 → 나머지의 꼴
일차식
R\displaystyle R
상수. 나머지정리로 바로 f(a)f(a).
이차식
px+q\displaystyle px+q
일차 이하. 모르는 수 2개 → 조건 2개.
삼차식
px2+qx+r\displaystyle px^2+qx+r
이차 이하. 모르는 수 3개 → 조건 3개.
학생
나머지를 왜 px+qpx+q 로 놓아요?
쌤
이차식으로 나눈 나머지는 일차식일 수도, 상수일 수도 있어서 둘 다 담는 px+qpx+q 로 놓아요.
x+1x+1 로 나눈 나머지가 22, x−3x-3 으로 나눈 나머지가 1010 일 때 (x+1)(x−3)(x+1)(x-3) 으로 나눈 나머지
f(x)=(x+1)(x−3)Q(x)+px+qf(x)=(x+1)(x-3)Q(x)+px+q
↳나머지를 px+qpx+q 로
f(−1)=−p+q=2f(-1)=-p+q=2
↳x=−1x=-1 을 넣어요
f(3)=3p+q=10f(3)=3p+q=10
↳x=3x=3 을 넣어요
4p=8 ⇒ p=2, q=44p=8\ \Rightarrow\ p=2,\ q=4
↳두 식을 빼요
나머지는 2x+42x+4
검산: 2⋅(−1)+4=22\cdot(-1)+4=2 ✓, 2⋅3+4=102\cdot3+4=10 ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(1)=3, f(2)=5f(1)=3,\ f(2)=5 일 때 f(x)f(x) 를 (x−1)(x−2)(x-1)(x-2) 로 나눈 나머지는?
나머지의 꼴
✗ 틀린 풀이
(x+1)(x−3)(x+1)(x-3) 으로 나눈 나머지를 상수 RR 로 놓는다
왜 틀렸나 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 상수가 아니라 px+qpx+q 로 놓아야 한다.
✓ 바른 풀이
나머지를 px+qpx+q 로 놓는다
바른 꼴 px+qpx+q 에 x=−1, x=3x=-1,\ x=3 을 넣어 두 식을 세우고 연립하여 p, qp,\ q 를 구한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

까닭: 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아요. 이차식으로 나눈 나머지는 일차식일 수도, 상수일 수도 있으므로 둘 다 담는 px+qpx+q 로 놓아요(p=0p=0 이면 상수예요).

5거꾸로 쓰기와 인수정리

나머지정리는 거꾸로도 써요. 「x−ax-a 로 나눈 나머지가 rr」이라는 조건은 곧 「f(a)=rf(a)=r」이라는 식 하나예요. 이 식으로 모르는 계수를 구해요.

x3+kx2−3x+1x^3+kx^2-3x+1 을 x−2x-2 로 나눈 나머지가 77 일 때 kk
f(2)=8+4k−6+1=3+4kf(2)=8+4k-6+1=3+4k
↳나머지정리
3+4k=73+4k=7
↳나머지가 77
k=1k=1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+kx+3x^2+kx+3 을 x+1x+1 로 나눈 나머지가 55 일 때 kk 의 값은?
공식나머지정리 → 인수정리
나머지정리
f(x)÷(x−a)의 나머지=f(a)\displaystyle f(x)\div(x-a)\text{의 나머지}=f(a)
인수정리
f(a)=0  ⟺  f(x)는 x−a로 나누어떨어진다\displaystyle f(a)=0 \iff f(x)\text{는 }x-a\text{로 나누어떨어진다}
나머지가 00인 특별한 경우.
예: x3−2x2−x+2x^3-2x^2-x+2 에 x=1x=1 을 넣으면 00 이므로 x−1x-1 로 나누어떨어진다.

6이렇게 틀리지 않기

나머지정리에서 가장 많이 틀리는 것은 넣는 값의 부호예요. x+3x+3 으로 나누면 f(3)f(3) 이 아니라 f(−3)f(-3) 이에요.
외우지 말고 「나누는 식 =0=0」을 풀어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x2+x+1f(x)=x^2+x+1 을 x+2x+2 로 나눈 나머지는?
✗ 틀린 풀이
x+3x+3 으로 나눈 나머지 =f(3)=f(3)
왜 틀렸나 나머지정리는 나누는 식을 00 으로 만드는 값을 넣으므로 x+3=0x+3=0 에서 x=−3x=-3 을 넣는다.
✓ 바른 풀이
x+3=0x+3=0 에서 x=−3x=-3
따라서 나머지 =f(−3)=f(-3)
외우지 말고 「나누는 식 =0=0」을 풀면 부호 실수가 사라져요.
⚠ 주의검산 습관
나머지정리로 구한 값은 조립제법으로 한 번 나누어 마지막 칸(나머지)과 같은지 확인해요. 이차식으로 나눈 나머지 px+qpx+q 는 처음 조건(f(α),f(β)f(\alpha), f(\beta) 의 값)에 다시 넣어 맞는지 확인해요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식 f(x)f(x)를 x−ax-a 로 나눈 나머지는 f(a)f(a) 이다. 직접 나누지 않고 값 하나를 대입해 나머지를 구한다.
  2. 2이유는 항등식 f(x)=(x−a)Q(x)+Rf(x)=(x-a)Q(x)+R 에 x=ax=a 를 넣으면 (x−a)Q(x)(x-a)Q(x) 가 사라지기 때문이다.
  3. 3규칙은 하나: 「나누는 식을 00으로 만드는 xx의 값을, 나뉘는 식 전체에 넣는다.」
    ax+bax+b 로 나누면 x=−bax=-\frac{b}{a} 를 넣는다.
    f(2x+1)f(2x+1) 이면 괄호 안까지 넣는다.
  4. 4이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 px+qpx+q 로 놓는다. 나머지가 00이 되는 경우가 인수정리이다.
✗ 자주 하는 실수
  • x+ax+a 로 나눈 나머지를 f(a)f(a) 로 계산해요(정답은 f(−a)f(-a) 예요).
  • 2x−12x-1 로 나눈 나머지를 f(2)f(2) 나 f(1)f(1) 로 계산해요(정답은 f(12)f(\frac{1}{2}) 예요).
  • 이차식으로 나눈 나머지를 상수로 놓아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    f(x)=x3−3x2+2x+5f(x)=x^3-3x^2+2x+5 에 대하여 (1) f(x)f(x)를 x+1x+1 로 나눈 나머지 (2) f(2x−1)f(2x-1) 을 x−1x-1 로 나눈 나머지를 구하시오.
  2. 예제 2
    f(x)=4x3−2x+1f(x)=4x^3-2x+1 을 2x−12x-1 로 나눈 나머지를 구하시오.
  3. 예제 3
    f(x)f(x)를 x−1x-1로 나눈 나머지가 33, x−2x-2로 나눈 나머지가 55일 때, f(x)f(x)를 (x−1)(x−2)(x-1)(x-2)로 나눈 나머지를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 인수정리와 조립제법 →
이전 개념: 항등식과 미정계수법, 다항식의 나눗셈설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 연립일차방정식공통수학1 목차
← 항등식과 미정계수법인수정리와 조립제법 →
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