수학 개념 노트전체 과목

행렬의 뜻

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수나 문자를 직사각형 모양으로 배열한 것이 행렬이에요. 꼴 m×nm\times n, (i,j)(i,j) 성분 aija_{ij} 는 모두 행을 먼저 쓰고, 두 행렬은 꼴과 대응하는 성분이 모두 같을 때 서로 같아요.
  1. 1행렬의 뜻
  2. 2행렬의 꼴과 정사각행렬
  3. 3(i,j)(i,j) 성분
  4. 4규칙으로 행렬 만들기
  5. 5서로 같은 행렬
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1행렬의 뜻

어느 가게의 1호점과 2호점에서 하루 동안 팔린 사과와 배의 개수가 아래 표와 같다고 해요.

하루 판매량
사과배
1호점3355
2호점4422
표의 수만 위치를 그대로 두고 뽑아 쓰면 (3542)\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
가로줄(행)은 지점을, 세로줄(열)은 과일을 나타내요.
정의행렬과 성분
수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라 한다.
배열된 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라 한다.
행렬은 보통 A, B, CA,\ B,\ C 처럼 알파벳 대문자로 나타낸다.
학생
행렬은 왜 배워요?
쌤
표에서 수만 위치 그대로 뽑아 괄호로 묶은 것이 행렬이에요.
수의 위치가 곧 뜻이라서, 행렬의 곱셈으로 판매 금액 같은 계산을 한 번에 할 수 있어요.
정의행과 열
행렬에서 가로줄을 행이라 하고, 위에서부터 차례로 제11행, 제22행, ⋯\cdots 이라 한다.
세로줄을 열이라 하고, 왼쪽에서부터 차례로 제11열, 제22열, ⋯\cdots 이라 한다.
행과 열 읽기
1열1\text{열}
2열2\text{열}
3열3\text{열}
1행1\text{행}
11
−2-2
00
2행2\text{행}
33
55
44
제11행(파랑, 가로줄)은 1, −2, 01,\ -2,\ 0, 제22행(노랑)은 3, 5, 43,\ 5,\ 4 예요.
초록 세로줄이 제22열 −2, 5-2,\ 5 예요. 행은 가로로, 열은 세로로 읽어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(1−20354)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} 의 제22열은?

2행렬의 꼴과 정사각행렬

정의m×nm\times n 행렬
행이 mm 개, 열이 nn 개인 행렬을 m×nm\times n 행렬이라 한다.
「mm 행 nn 열의 행렬」이라고도 읽는다.
m×nm\times n 행렬의 성분은 모두 mnmn 개이다.
공식여러 가지 꼴
1×31\times3 행렬
(123)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
행이 11 개, 열이 33 개
2×12\times1 행렬
(4−1)\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}
행이 22 개, 열이 11 개
2×32\times3 행렬
(1−20354)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix}
성분은 2×3=62\times3=6 개
2×22\times2 행렬
(1001)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
이차정사각행렬
3×33\times3 행렬
(120031502)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \end{pmatrix}
삼차정사각행렬
학생
2×32\times3 행렬과 3×23\times2 행렬은 같은 꼴이에요?
쌤
아니에요. 행의 개수를 먼저, 열의 개수를 나중에 쓰니까 서로 다른 꼴이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(4−10)\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} 은 어떤 꼴의 행렬인가?
정의정사각행렬
행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 한다.
특히 n×nn\times n 행렬을 nn차 정사각행렬이라 한다.
2×32\times3 행렬은 정사각행렬이 아니다.
꼴은 (행의 개수)×(열의 개수)
✗ 틀린 풀이
(123)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} 은 3×13\times1 행렬
왜 틀렸나 행렬의 꼴은 (행의 개수)×\times(열의 개수)로 쓰므로 행이 11 개, 열이 33 개이면 1×31\times3 이다.
✓ 바른 풀이
(123)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} 은 1×31\times3 행렬
확인: 가로줄을 세면 행의 개수, 세로줄을 세면 열의 개수이다.

3(i,j)(i,j) 성분

정의(i,j)(i,j) 성분
행렬 AA 의 제ii행과 제jj열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 AA 의 (i,j)(i,j) 성분이라 하고, 기호로 aija_{ij} 와 같이 나타낸다.
예를 들어 2×32\times3 행렬 AA 는 다음과 같이 쓸 수 있다.A=(a11a12a13a21a22a23)A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}
학생
행 번호와 열 번호가 헷갈려요.
쌤
「행렬」이라는 이름 순서대로 행이 먼저, 열이 나중이에요.
a12a_{12} 는 제11행 제22열, a21a_{21} 은 제22행 제11열이에요.
성분 읽기
A=(2−1074−3)A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 7 & 4 & -3 \end{pmatrix}
1열1\text{열}
2열2\text{열}
3열3\text{열}
1행1\text{행}
a11=2a_{11}=2
a12=−1a_{12}=-1
a13=0a_{13}=0
2행2\text{행}
a21=7a_{21}=7
a22=4a_{22}=4
a23=−3a_{23}=-3
a12a_{12} 는 제11행 제22열이므로 −1-1, a21a_{21} 은 제22행 제11열이므로 77, a23a_{23} 은 제22행 제33열이므로 −3-3 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(2−1074−3)A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 7 & 4 & -3 \end{pmatrix} 에서 a23a_{23} 의 값은?
행과 열을 바꾸어 읽기
✗ 틀린 풀이
a12=7a_{12}=7
왜 틀렸나 aija_{ij} 는 제ii행 제jj열의 성분이므로 a12a_{12} 는 제11행의 둘째 성분이다.
✓ 바른 풀이
a12=−1a_{12}=-1
aija_{ij} 를 찾을 때는 먼저 행을 고르고, 그 행 안에서 열을 고른다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기왜 그런지
성질틀로 기억하기
행 먼저, 열 나중
a□△a_{\square\triangle} 에서 □ 는 행 번호, △ 는 열 번호이다.
「행렬」이라는 이름의 순서 그대로 행이 먼저, 열이 나중이다.
꼴 m×nm\times n 도, 성분 번호 (i,j)(i,j) 도 모두 행을 먼저 쓴다.

검산하는 방법이 있어요. m×nm\times n 행렬에서 aija_{ij} 의 ii 는 11 부터 mm 까지, jj 는 11 부터 nn 까지만 가능해요.
따라서 3×23\times2 행렬에는 a23a_{23} 이 없어요.
번호가 범위를 벗어나면 행과 열을 바꾸어 읽은 거예요.

4규칙으로 행렬 만들기

행렬의 꼴과 (i,j)(i,j) 성분 aija_{ij} 를 i, ji,\ j 에 대한 식으로 주어 행렬을 정하기도 해요.

학생
aij=2i−ja_{ij}=2i-j 처럼 규칙으로 주어지면 어떻게 행렬을 만들어요?
쌤
자리마다 (i,j)(i,j) 를 적고, 그 i, ji,\ j 값을 규칙에 넣어 계산해요.
성분이 m×nm\times n 개 다 채워졌는지 확인해요.
2×32\times3 행렬, aij=2i−ja_{ij}=2i-j
j=1j=1
j=2j=2
j=3j=3
i=1i=1
2−1=12-1=1
2−2=02-2=0
2−3=−12-3=-1
i=2i=2
4−1=34-1=3
4−2=24-2=2
4−3=14-3=1
각 칸에 i, ji,\ j 를 넣어 2i−j2i-j 를 계산해요.
따라서 A=(10−1321)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2×22\times2 행렬 AA 의 (i,j)(i,j) 성분이 aij=i+2ja_{ij}=i+2j 일 때 a21a_{21} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림
규칙으로 행렬을 만드는 순서
  1. 1
    꼴을 보고 빈 행렬의 자리마다 (i,j)(i,j) 를 적어요.
    2×32\times3 이면 (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,1),\ (2,2),\ (2,3)
  2. 2
    각 자리의 i, ji,\ j 값을 규칙에 넣어 계산해요.
    경우가 나뉘어 있으면 먼저 어느 경우인지 골라요.
  3. 3
    성분 개수가 m×nm\times n 개인지 확인해요.
경우가 나뉜 규칙
3×33\times3 행렬, i=ji=j 이면 ijij, i≠ji\ne j 이면 i−ji-j
j=1j=1
j=2j=2
j=3j=3
i=1i=1
1⋅1=11\cdot1=1
1−2=−11-2=-1
1−3=−21-3=-2
i=2i=2
2−1=12-1=1
2⋅2=42\cdot2=4
2−3=−12-3=-1
i=3i=3
3−1=23-1=2
3−2=13-2=1
3⋅3=93\cdot3=9
노란 대각선 칸(i=ji=j)은 ijij, 나머지 칸은 i−ji-j 로 계산해요.
따라서 (1−1−214−1219)\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}

5서로 같은 행렬

정의서로 같은 행렬
두 행렬 A, BA,\ B 의 꼴이 같고 대응하는 성분이 각각 같을 때, AA 와 BB 는 서로 같다고 하며 기호로 A=BA=B 와 같이 나타낸다.
AA 와 BB 가 같지 않을 때는 A≠BA\ne B 와 같이 나타낸다.
공식2×22\times2 행렬이 같을 조건
행렬의 등식
(a11a12a21a22)=(b11b12b21b22)\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
이것은 등식 네 개와 같은 뜻이다.
a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22a_{11}=b_{11},\ a_{12}=b_{12},\ a_{21}=b_{21},\ a_{22}=b_{22}
학생
같은 수가 들어 있어도 위치가 다르면 다른 행렬이에요?
쌤
네. 행렬은 수의 배열 그 자체라서 위치가 다르면 다른 행렬이에요.
꼴이 다르면 대응하는 성분을 정할 수조차 없어요.
꼴이 다르면 같지 않다
✗ 틀린 풀이
(12)=(12)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 두 행렬이 서로 같으려면 꼴이 같고 대응하는 성분이 모두 같아야 하므로 꼴부터 비교한다.
✓ 바른 풀이
(12)≠(12)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
왼쪽은 1×21\times2 행렬, 오른쪽은 2×12\times1 행렬이에요.
성분이 같아도 꼴이 다르므로 서로 같지 않아요.
예미지수 구하기
(x+y32x−y)=(5321)\begin{pmatrix} x + y & 3 \\ 2 & x - y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} 일 때
대응하는 성분이 각각 같으므로 두 식을 연립하면{x+y=5x−y=1\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}따라서 x=3, y=2x=3,\ y=2
검산: x=3, y=2x=3,\ y=2 를 넣으면 (1,1)(1,1) 성분은 55, (2,2)(2,2) 성분은 11 로 맞아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(a23b)=(123−4)\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} 일 때 a+ba+b 의 값은?
모든 성분을 확인해야 한다
(x22x+y3y)=(413−3)\begin{pmatrix} x^{2} & 2x+y \\ 3 & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}
x2=4 ⇒ x=±2x^2=4\ \Rightarrow\ x=\pm2
↳(1,1)(1,1) 성분
y=−3y=-3
↳(2,2)(2,2) 성분
2x+y=1 ⇒ x=22x+y=1\ \Rightarrow\ x=2
↳(1,2)(1,2) 성분
따라서 x=2, y=−3x=2,\ y=-3
x=−2x=-2 는 (1,2)(1,2) 성분을 만족시키지 않으므로 답이 아니에요.
성분 하나만 보고 답하기
✗ 틀린 풀이
x2=4x^2=4 이므로 x=2x=2 또는 x=−2x=-2
왜 틀렸나 두 행렬이 같으려면 모든 성분이 같아야 하므로 구한 값이 나머지 성분의 식도 만족해야 한다.
✓ 바른 풀이
2x+y=1, y=−32x+y=1,\ y=-3 도 만족시켜야 하므로 x=2x=2
확인: x=2x=2, y=−3y=-3 을 넣으면 x2=4x^2=4, 2x+y=12x+y=1 이 모두 성립한다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질거꾸로 보기
「행렬이 같다」는 「대응하는 성분마다 등식이 성립한다」와 같은 뜻이다.
그래서 행렬의 등식은 성분별 등식으로 풀어 쓰고, 반대로 여러 개의 등식은 행렬의 등식 하나로 묶어 쓸 수 있다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것이 행렬이다. 가로줄이 행, 세로줄이 열이다.
  2. 2행이 mm 개, 열이 nn 개인 행렬을 m×nm\times n 행렬이라 하고, 행과 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 한다.
  3. 3제ii행과 제jj열이 만나는 자리의 성분을 (i,j)(i,j) 성분이라 하고 aija_{ij} 로 나타낸다. 「행렬」이라는 이름처럼 행이 먼저, 열이 나중이다.
  4. 4두 행렬은 꼴이 같고 대응하는 성분이 각각 같을 때 서로 같다. 행렬의 등식 하나는 성분 개수만큼의 등식이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 1×31\times3 행렬을 3×13\times1 행렬이라고 하는 것처럼 행과 열의 개수를 바꾸어 써요.
  • a12a_{12} 를 제22행 제11열의 성분으로 읽어요.
  • 행렬의 등식에서 성분 하나만 보고 x2=4x^2=4 의 두 값을 모두 답으로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    행렬 A=(3−1402−5)A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -5 \end{pmatrix} 는 어떤 꼴의 행렬인지 말하고, a13+a21a_{13}+a_{21} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    3×23\times2 행렬 AA 의 (i,j)(i,j) 성분 aija_{ij} 가 aij=i2−ja_{ij}=i^2-j 일 때, 행렬 AA 를 구하시오.
  3. 예제 3
    (x2−xy3x+y)=(62x−138)\begin{pmatrix} x^{2} - x & y \\ 3 & x + y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2 x - 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} 일 때, 실수 x, yx,\ y 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 연립일차방정식공통수학1 목차
← 조합행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배 →
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