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속도와 가속도

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수직선 위를 움직이는 점의 위치가 x=f(t)x=f(t) 이면 속도는 f′(t)f'(t), 가속도는 f′′(t)f''(t) 이에요. 좌표평면 위의 점이 x=f(t)x=f(t), y=g(t)y=g(t) 로 움직이면 속도는 (dxdt, dydt)\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right), 속력은 (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} 이고, 가속도와 그 크기도 같은 방법으로 구해요.
  1. 1수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도
  2. 2평면 위를 움직이는 점의 속도와 속력
  3. 3평면 위를 움직이는 점의 가속도
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도

정의수직선 위의 속도와 가속도
수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=f(t)x=f(t) 일 때
속도: v=dxdt=f′(t)v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)
가속도: a=dvdt=f′′(t)a=\dfrac{dv}{dt}=f''(t)
속도의 절댓값 ∣v∣|v| 를 속력이라 하고, 가속도의 크기는 ∣a∣|a| 이다.
학생
위치가 e−te^{-t} 나 sin⁡t\sin t 여도 같은 방법이에요?
쌤
네. 지수·삼각함수의 미분법만 쓰면 돼요. vv 의 부호가 바뀌는 순간 운동 방향이 바뀌어요.
지수함수가 곱해진 위치
x=2te−tx=2te^{-t} (t≥0t\ge0)
v=2e−t−2te−t=2(1−t)e−tv=2e^{-t}-2te^{-t}=2(1-t)e^{-t}
↳곱의 미분법
a=−2e−t−2(1−t)e−t=2(t−2)e−ta=-2e^{-t}-2(1-t)e^{-t}=2(t-2)e^{-t}
↳한 번 더
t=0: v=2, a=−4t=0:\ v=2,\ a=-4
속도의 부호와 운동 방향
tt00⋯\cdots11⋯\cdots
vv22++0−-
방향양의 방향정지음의 방향
v=2(1−t)e−tv=2(1-t)e^{-t} 에서 e−t>0e^{-t}>0 이므로 부호는 1−t1-t 를 따라요. t=1t=1 에서 운동 방향이 바뀌어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
위치가 x=sin⁡tx=\sin t 인 점의 t=πt=\pi 에서의 속도는?
v=0v=0 이라고 모두 방향을 바꾸지는 않는다
✗ 틀린 풀이
x=t−sin⁡tx=t-\sin t 에서 t=2πt=2\pi 일 때 v=0v=0 이므로 운동 방향이 바뀐다.
왜 틀렸나 운동 방향은 vv 의 부호가 바뀔 때만 바뀌므로 v=0v=0 인 시각의 좌우에서 부호를 확인한다.
✓ 바른 풀이
v=1−cos⁡t≥0v=1-\cos t\ge0 이므로 t=2πt=2\pi 의 좌우에서 vv 의 부호가 바뀌지 않는다.
운동 방향은 바뀌지 않는다.
확인: t=2πt=2\pi 의 앞뒤에서 cos⁡t<1\cos t<1 이므로 v=1−cos⁡t>0v=1-\cos t>0 이다.
점은 잠깐 멈추었다가 같은 방향으로 계속 간다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도인 것은 다항함수일 때와 같아요. 이제는 위치가 지수함수·삼각함수로 주어져도 여러 가지 함수의 미분법으로 속도와 가속도를 구할 수 있어요.
v>0v>0 이면 양의 방향, v<0v<0 이면 음의 방향으로 움직여요.
vv 의 부호가 바뀌는 시각에 운동 방향이 바뀌어요.

삼각함수로 주어진 위치
x=3sin⁡2tx=3\sin 2t
v=6cos⁡2t,a=−12sin⁡2tv=6\cos2t,\quad a=-12\sin2t
t=π4: v=0, a=−12t=\dfrac{\pi}{4}:\ v=0,\ a=-12
이 점은 원점을 중심으로 −3≤x≤3-3\le x\le3 에서 왕복 운동을 해요.
x=3sin⁡2tx=3\sin2t 의 왕복 운동
0≤t≤π40\le t\le\frac{\pi}{4}
π4≤t≤3π4\frac{\pi}{4}\le t\le\frac{3\pi}{4}
-303
−3-3
00
33
t=π4t=\dfrac{\pi}{4} 에서 x=3x=3, t=3π4t=\dfrac{3\pi}{4} 에서 x=−3x=-3 이고, 이 두 순간에 v=0v=0 이 되어 방향이 바뀌어요.

2평면 위를 움직이는 점의 속도와 속력

정의평면 위의 속도와 속력
좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)(x,\ y) 의 시각 tt 에서의 위치가 x=f(t)x=f(t), y=g(t)y=g(t) 일 때
점 P 의 속도는 (dxdt, dydt)=(f′(t), g′(t))\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)=(f'(t),\ g'(t))점 P 의 속력은 (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}
학생
속도와 속력은 뭐가 달라요?
쌤
속도는 방향까지 담은 순서쌍이고, 속력은 그 화살표의 길이예요. 두 성분을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이에요.
x=2tx=2t, y=t2y=t^2 일 때 t=2t=2 에서의 속도와 속력
dxdt=2,dydt=2t\dfrac{dx}{dt}=2,\quad\dfrac{dy}{dt}=2t
(2, 4)(2,\ 4)
↳t=2t=2 에서의 속도
22+42=25\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}
↳속력
속도 (2, 4)(2,\ 4) 와 속력
dxdt=2\frac{dx}{dt}=2
dydt=4\frac{dy}{dt}=4
252\sqrt{5}
OAB
속도를 화살표로 그리면, 속력은 두 성분을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변 22+42=25\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5} 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
속도가 (3, 4)(3,\ 4) 인 점의 속력은?
속력은 성분의 합이 아니다
✗ 틀린 풀이
속도가 (2, 4)(2,\ 4) 이면 속력은 2+4=62+4=6
왜 틀렸나 속력은 속도의 크기이므로 성분을 각각 제곱하여 더한 뒤 제곱근을 취한다.
✓ 바른 풀이
속력은 22+42=25\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}
xx 축 방향과 yy 축 방향은 서로 수직이므로 피타고라스 정리로 합쳐요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가? 짧은 시간 Δt\Delta t 동안 점이 xx 축 방향으로 Δx\Delta x, yy 축 방향으로 Δy\Delta y 만큼 움직이면 움직인 거리는 약 (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} (두 점 사이의 거리) 이에요.
이것을 Δt\Delta t 로 나누면 (ΔxΔt)2+(ΔyΔt)2\sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}
Δt→0\Delta t\to0 일 때의 극한이 속력이에요.
움직인 거리는 속도와 거리에서 이 속력을 적분하여 구해요.
dxdt\dfrac{dx}{dt} 는 xx 축 방향의 속도, dydt\dfrac{dy}{dt} 는 yy 축 방향의 속도이고, 속력은 두 성분을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이예요.

평면 위의 운동 문제를 푸는 순서
  1. 1
    dxdt\dfrac{dx}{dt}, dydt\dfrac{dy}{dt} 를 구해요.
    xx, yy 를 각각 tt 에 대하여 미분해요.
  2. 2
    주어진 시각 tt 를 대입하여 속도 (dxdt, dydt)\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right) 를 구해요.
  3. 3
    속력 (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} 을 계산해요.
  4. 4
    가속도가 필요하면 각 성분을 한 번 더 미분해요.
응용
x=t−sin⁡tx=t-\sin t, y=1−cos⁡ty=1-\cos t 일 때 t=π2t=\dfrac{\pi}{2} 에서의 속력
dxdt=1−cos⁡t,dydt=sin⁡t\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t,\quad\dfrac{dy}{dt}=\sin t
(1, 1)(1,\ 1)
↳t=π2t=\frac{\pi}{2} 에서의 속도
12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}
↳속력

3평면 위를 움직이는 점의 가속도

정의가속도와 가속도의 크기
점 P(x, y)(x,\ y) 의 가속도는 속도의 각 성분을 다시 tt 에 대하여 미분한 것이다.(d2xdt2, d2ydt2)\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)가속도의 크기는 (d2xdt2)2+(d2ydt2)2\sqrt{\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2y}{dt^2}\right)^2}
학생
가속도의 크기는 속력과 무엇이 달라요?
쌤
계산 방법은 같아요. 속력은 속도의 두 성분으로, 가속도의 크기는 가속도의 두 성분으로 제곱의 합에 근호를 씌워요.
공식한눈에 보기
위치
(x, y)=(f(t), g(t))\displaystyle (x,\ y)=(f(t),\ g(t))
속도
(dxdt, dydt)=(f′(t), g′(t))\displaystyle \left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)=(f'(t),\ g'(t))
속력
{f′(t)}2+{g′(t)}2\displaystyle \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}
가속도
(d2xdt2, d2ydt2)=(f′′(t), g′′(t))\displaystyle \left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)=(f''(t),\ g''(t))
가속도의 크기
{f′′(t)}2+{g′′(t)}2\displaystyle \sqrt{\{f''(t)\}^2+\{g''(t)\}^2}
x=t3−3tx=t^3-3t, y=3t2y=3t^2 일 때 t=1t=1 에서의 속력과 가속도의 크기
(dxdt, dydt)=(3t2−3, 6t)=(0, 6)\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)=(3t^2-3,\ 6t)=(0,\ 6)
↳속력 66
(d2xdt2, d2ydt2)=(6t, 6)=(6, 6)\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)=(6t,\ 6)=(6,\ 6)
↳t=1t=1
62+62=62\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}
↳가속도의 크기
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x=t2x=t^2, y=t3y=t^3 인 점의 t=1t=1 에서의 가속도는?
원 위를 도는 점
x=3cos⁡tx=3\cos t, y=3sin⁡ty=3\sin t
(−3sin⁡t, 3cos⁡t)(-3\sin t,\ 3\cos t)
↳속도
9sin⁡2t+9cos⁡2t=3\sqrt{9\sin^2 t+9\cos^2 t}=3
↳속력
(−3cos⁡t, −3sin⁡t)(-3\cos t,\ -3\sin t)
↳가속도
9cos⁡2t+9sin⁡2t=3\sqrt{9\cos^2 t+9\sin^2 t}=3
↳가속도의 크기
가속도의 크기는 속력을 미분한 것이 아니다
✗ 틀린 풀이
x=3cos⁡tx=3\cos t, y=3sin⁡ty=3\sin t 에서 속력이 33 으로 일정하므로 가속도의 크기는 00
왜 틀렸나 가속도는 속도의 각 성분을 미분한 것이므로 그 크기는 성분을 미분한 뒤에 구한다.
✓ 바른 풀이
가속도는 (−3cos⁡t, −3sin⁡t)(-3\cos t,\ -3\sin t) 이므로 가속도의 크기는 33
속력이 일정해도 움직이는 방향이 계속 바뀌면 가속도가 있다.
가속도 (−3cos⁡t, −3sin⁡t)(-3\cos t,\ -3\sin t) 는 늘 원의 중심을 향한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림틀리기 쉬운 곳

위의 운동에서 속력을 일반적으로 구하면
(3t2−3)2+(6t)2=9(t2+1)2(3t^2-3)^2+(6t)^2=9(t^2+1)^2
따라서 속력은 3(t2+1)3(t^2+1) 이에요.
t=1t=1 을 넣으면 66 으로, 위의 결과와 같아요(검산).

원 위를 도는 점의 속도와 가속도
속도가속도OP
속도(파랑)는 원의 접선 방향, 가속도(주황)는 원의 중심 쪽을 향해요.
속력은 일정하지만 움직이는 방향이 계속 바뀌므로 가속도는 (0, 0)(0,\ 0) 이 아니에요.
⚠ 주의검산
속력은 각 성분의 절댓값보다 작을 수 없어요.
예: 속도가 (2, 4)(2,\ 4) 이면 속력은 44 이상이어야 해요. 25≈4.472\sqrt{5}\approx4.47 이므로 맞아요.
가속도의 크기도 같은 방법으로 확인해요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1수직선 위를 움직이는 점의 시각 tt 에서의 위치가 x=f(t)x=f(t) 이면 속도는 v=dxdt=f′(t)v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t), 가속도는 a=dvdt=f′′(t)a=\dfrac{dv}{dt}=f''(t) 이다.
  2. 2좌표평면 위의 점 P(x, y)(x,\ y) 가 x=f(t)x=f(t), y=g(t)y=g(t) 로 움직이면 속도는 (dxdt, dydt)\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right) 이고 속력은 (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} 이다.
  3. 3가속도는 (d2xdt2, d2ydt2)\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right) 이고 가속도의 크기는 (d2xdt2)2+(d2ydt2)2\sqrt{\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2y}{dt^2}\right)^2} 이다.
  4. 4속력과 가속도의 크기는 각 성분을 먼저 구한 다음 크기를 계산한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 평면 위의 속력을 dxdt+dydt\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt} 처럼 성분을 그대로 더해서 구해요.
  • 가속도의 크기를 속력을 미분하여 구해요. 가속도는 속도의 각 성분을 미분하여 구한 뒤 크기를 계산해요.
  • 수직선 위의 운동에서 v=0v=0 이기만 하면 운동 방향이 바뀐다고 생각해요. vv 의 부호가 바뀌는지 확인해야 해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=t+2cos⁡tx=t+2\cos t 일 때, 0<t<π0<t<\pi 에서 점 P 가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
  2. 예제 2
    좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=t−sin⁡tx=t-\sin t, y=1−cos⁡ty=1-\cos t 일 때, t=π2t=\dfrac{\pi}{2} 에서 점 P 의 가속도와 가속도의 크기를 구하시오.
  3. 예제 3
    좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=t3−3tx=t^3-3t, y=3t2y=3t^2 일 때, t=2t=2 에서 점 P 의 속력과 가속도의 크기를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 →다음 개념: 속도와 거리 →
이전 개념: 매개변수로 나타낸 함수의 미분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 속도와 가속도, 공통수학2 두 점 사이의 거리, 중2 피타고라스 정리미적분Ⅱ 목차
← 방정식과 부등식에의 활용평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 →
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