수학 개념 노트전체 과목

속도와 거리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t)v(t) 일 때, 시각 t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치의 변화량은 ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt, 움직인 거리는 ∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt 이에요. 시각 tt 에서의 위치는 x(t)=x(0)+∫0tv(t) dtx(t)=x(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}v(t)\,dt 이에요.
  1. 1위치와 위치의 변화량
  2. 2움직인 거리
  3. 3그래프로 주어진 속도
  4. 4원점으로 돌아오는 시각
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1위치와 위치의 변화량

성질위치와 위치의 변화량
수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)v(t) 이고 시각 t=0t=0 에서의 위치가 x(0)x(0) 일 때
① 시각 tt 에서의 위치는x(t)=x(0)+∫0tv(t) dtx(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t)\,dt② 시각 t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치의 변화량은x(b)−x(a)=∫abv(t) dtx(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt
학생
왜 속도를 적분하면 위치의 변화량이 나와요?
쌤
속도는 위치를 미분한 것이라 위치 x(t)x(t) 는 v(t)v(t) 의 한 부정적분이에요.
그래서 x(b)−x(a)=∫abv(t) dtx(b)-x(a)=\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt 예요.
v(t)=2t−4v(t)=2t-4, x(0)=3x(0)=3 일 때 시각 tt 에서의 위치
x(t)=3+∫0t(2t−4) dtx(t)=3+\int_{0}^{t}(2t-4)\,dt
↳처음 위치 ++ 변화량
=3+[t2−4t]0t=t2−4t+3=3+\Big[t^2-4t\Big]_{0}^{t}=t^2-4t+3
x(3)=9−12+3=0x(3)=9-12+3=0
↳예: t=3t=3 에서의 위치
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t)=2tv(t)=2t 이고 x(0)=1x(0)=1 일 때, t=2t=2 에서의 위치는?
처음 위치를 더한다
✗ 틀린 풀이
x(3)=∫03(2t−4) dt=−3x(3)=\displaystyle\int_{0}^{3}(2t-4)\,dt=-3
왜 틀렸나 v(t)v(t) 의 정적분은 위치의 변화량이므로 시각 tt 의 위치는 처음 위치 x(0)x(0) 에 더해 구한다.
✓ 바른 풀이
x(3)=x(0)+∫03(2t−4) dt=3+(−3)=0x(3)=x(0)+\displaystyle\int_{0}^{3}(2t-4)\,dt=3+(-3)=0
확인: x(t)=t2−4t+3x(t)=t^2-4t+3 이면 x(0)=3x(0)=3 이고 x(3)=9−12+3=0x(3)=9-12+3=0 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가? 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 의 시각 tt 에서의 위치를 x(t)x(t), 속도를 v(t)v(t) 라 해요.
속도는 위치를 미분한 것이므로 x′(t)=v(t)x'(t)=v(t) 이에요.
즉 x(t)x(t) 는 v(t)v(t) 의 한 부정적분이에요.
따라서 정적분의 정의에 의하여
∫abv(t) dt=x(b)−x(a)\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt=x(b)-x(a)
이 값은 시각 t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치가 얼마나 변했는지를 나타내요.

2움직인 거리

점이 운동 방향을 바꾸면 앞으로 간 만큼과 뒤로 간 만큼이 위치의 변화량에서 서로 지워져요.
그러나 실제로 움직인 거리는 두 방향으로 간 길이를 모두 더한 거예요.
v(t)<0v(t)<0 인 동안 움직인 거리는 −∫v(t) dt-\displaystyle\int v(t)\,dt 이므로, 속도의 절댓값을 적분하면 돼요.

성질움직인 거리
시각 t=at=a 에서 t=bt=b 까지 점 P\mathrm{P} 가 움직인 거리 ss 는s=∫ab∣v(t)∣ dts=\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt즉 속도의 절댓값을 적분한다.
공식위치의 변화량과 움직인 거리 비교
위치
x(t)=x(0)+∫0tv(t) dt\displaystyle x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t)\,dt
처음 위치를 더한다.
위치의 변화량
∫abv(t) dt\displaystyle \int_{a}^{b}v(t)\,dt
음수일 수 있다. 출발점보다 음의 방향에 있으면 음수이다.
움직인 거리
∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle \int_{a}^{b}|v(t)|\,dt
항상 00 이상이다.
학생
운동 방향이 한 번도 안 바뀌면요?
쌤
그때는 v(t)v(t) 의 부호가 일정해서 움직인 거리와 위치의 변화량의 절댓값이 같아요.
방향이 바뀔 때만 구간을 나누어 따로 계산해요.
움직인 거리 구하는 순서
  1. 1
    v(t)=0v(t)=0 을 풀어 구간 안에서 v(t)v(t) 의 부호가 바뀌는 시각을 구해요.
    운동 방향이 바뀌는 시각이에요.
  2. 2
    그 시각에서 구간을 나누고, 구간마다 v(t)v(t) 의 부호를 정해요.
    구간 안의 값 하나를 넣어 보면 돼요.
  3. 3
    v(t)≥0v(t)\ge0 인 구간은 ∫v(t) dt\displaystyle\int v(t)\,dt, v(t)≤0v(t)\le0 인 구간은 −∫v(t) dt-\displaystyle\int v(t)\,dt 로 계산해요.
  4. 4
    구한 값을 모두 더해요.
∫03(2t−4) dt=[t2−4t]03=−3\int_{0}^{3}(2t-4)\,dt=\Big[t^2-4t\Big]_{0}^{3}=-3
↳위치의 변화량 =1−4=1-4
−∫02(2t−4) dt=4-\int_{0}^{2}(2t-4)\,dt=4
↳v≤0v\le0 인 구간
∫23(2t−4) dt=1\int_{2}^{3}(2t-4)\,dt=1
↳v≥0v\ge0 인 구간
4+1=54+1=5
↳움직인 거리
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
속도가 v(t)=t−1v(t)=t-1 인 점이 t=0t=0 에서 t=2t=2 까지 움직인 거리는?
위치의 변화량과 움직인 거리
✗ 틀린 풀이
움직인 거리 =∫03(2t−4) dt=−3=\displaystyle\int_{0}^{3}(2t-4)\,dt=-3
왜 틀렸나 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분하므로 v(t)v(t) 의 부호가 바뀌는 t=2t=2 에서 구간을 나눈다.
✓ 바른 풀이
움직인 거리 =−∫02(2t−4) dt+∫23(2t−4) dt=5=-\displaystyle\int_{0}^{2}(2t-4)\,dt+\int_{2}^{3}(2t-4)\,dt=5
점은 음의 방향으로 44 만큼 갔다가 양의 방향으로 11 만큼 돌아왔어요.
위치의 변화량은 −4+1=−3-4+1=-3 이지만 움직인 거리는 4+1=54+1=5 이에요.
자세히 보기펼치기그림예제틀리기 쉬운 곳
수직선 위의 움직임 (x(0)=3x(0)=3 일 때)
0→20\to2 초: 44
2→32\to3 초: 11
-2-101234
출발 33
x(2)=−1x(2)=-1
x(3)=0x(3)=0
앞의 예처럼 x(0)=3x(0)=3 이면 왼쪽으로 44 갔다가 오른쪽으로 11 돌아와요.
위치의 변화량은 0−3=−30-3=-3, 움직인 거리는 4+1=54+1=5 예요.
응용
지면에서 위로 던진 물체의 속도 v(t)=20−10tv(t)=20-10t (m/s), 0≤t≤30\le t\le3
v(t)=0, t=2v(t)=0,\ t=2
↳t=2t=2 까지 올라가고 그 뒤 내려와요
∫02(20−10t) dt=[20t−5t2]02=20\int_{0}^{2}(20-10t)\,dt=\Big[20t-5t^2\Big]_{0}^{2}=20
∫23(20−10t) dt=[20t−5t2]23=15−20=−5\int_{2}^{3}(20-10t)\,dt=\Big[20t-5t^2\Big]_{2}^{3}=15-20=-5
↳내려온 부분
20+(−5)=1520+(-5)=15
↳높이의 변화량 (m)
20+5=2520+5=25
↳움직인 거리 (m)
높이의 변화 (수직선을 세워 본다고 생각해요)
0→20\to2 초: 2020 올라감
2→32\to3 초: 55 내려옴
0510152025
지면
2020
1515
높이의 변화량은 20−5=1520-5=15 m, 움직인 거리는 20+5=2520+5=25 m 예요.
⚠ 주의검산
① 움직인 거리는 위치의 변화량의 절댓값보다 작지 않아요.
5≥∣−3∣5\ge|-3|
② 운동 방향이 한 번도 바뀌지 않으면 두 값의 절댓값이 같아요.

3그래프로 주어진 속도

속도 v(t)v(t) 의 그래프가 주어지면 정적분을 넓이로 읽어요.
tt 축 위에 있는 부분(v>0v>0)은 양의 방향으로 움직인 거리이고, tt 축 아래에 있는 부분(v<0v<0)은 음의 방향으로 움직인 거리예요.

성질속도 그래프와 넓이
tt 축 위의 넓이를 S1S_1, tt 축 아래의 넓이를 S2S_2 라 하면
위치의 변화량은∫abv(t) dt=S1−S2\int_{a}^{b}v(t)\,dt=S_1-S_2움직인 거리는∫ab∣v(t)∣ dt=S1+S2\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt=S_1+S_2
S1=12×4×4=8S_1=\dfrac{1}{2}\times4\times4=8
↳0≤t≤40\le t\le4: tt 축 위
S2=12×2×4=4S_2=\dfrac{1}{2}\times2\times4=4
↳4≤t≤64\le t\le6: tt 축 아래
S1−S2=4S_1-S_2=4
↳위치의 변화량
S1+S2=12S_1+S_2=12
↳움직인 거리
학생
t=6t=6 에서 점은 처음 위치보다 앞에 있어요, 뒤에 있어요?
쌤
위치의 변화량이 S1−S2=4>0S_1-S_2=4>0 이라서 처음 위치보다 양의 방향으로 44 만큼 가 있어요.
움직인 거리 1212 와는 다른 값이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
속도 v(t)v(t) 의 그래프에서 tt 축 위의 넓이가 66, tt 축 아래의 넓이가 22 일 때 위치의 변화량은?
⚠ 주의그래프의 높이와 넓이
속도 그래프의 높이(함숫값)는 그 순간의 속도예요.
위치나 거리는 높이가 아니라 넓이로 읽어요.
v(t)v(t) 의 그래프가 tt 축과 만나는 점은 정지한 순간이고, tt 축을 뚫고 지나가는 점은 운동 방향이 바뀌는 순간이에요.

4원점으로 돌아오는 시각

성질다시 원점을 지나는 시각
원점을 출발한 점이 시각 t=kt=k (k>0k>0) 에 원점을 지나면∫0kv(t) dt=0\int_{0}^{k}v(t)\,dt=0즉 시각 00 부터 kk 까지 위치의 변화량이 00 이다.
원점을 출발한 점의 속도가 v(t)=3t2−6tv(t)=3t^2-6t 일 때 다시 원점으로 돌아오는 시각
x(t)=∫0t(3t2−6t) dt=t3−3t2x(t)=\int_{0}^{t}(3t^2-6t)\,dt=t^3-3t^2
=t2(t−3)=0=t^2(t-3)=0
↳위치가 00
t=3t=3
↳t>0t>0
학생
t=0t=0 도 x(t)=0x(t)=0 의 해인데 왜 답이 아니에요?
쌤
t=0t=0 은 출발한 순간이라서 「다시」 돌아온 시각이 아니에요.
그래서 t>0t>0 인 해 t=3t=3 만 답이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원점을 출발한 점의 속도가 v(t)=2t−4v(t)=2t-4 일 때, 다시 원점으로 돌아오는 시각은?
정지하는 시각과 원점에 돌아오는 시각
✗ 틀린 풀이
v(t)=3t2−6t=0v(t)=3t^2-6t=0 에서 t=2t=2 에 원점으로 돌아온다.
왜 틀렸나 v(t)=0v(t)=0 은 정지하는 시각을 알려 주고, 원점으로 돌아오는 시각은 위치 x(t)=0x(t)=0 을 풀어 구한다.
✓ 바른 풀이
x(t)=t3−3t2=0x(t)=t^3-3t^2=0 에서 t=3t=3 에 원점으로 돌아온다.
t=2t=2 에서 점은 x(2)=8−12=−4x(2)=8-12=-4 에 멈추어 방향을 바꾼다.
확인: x(3)=27−27=0x(3)=27-27=0 이다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1시각 tt 에서의 위치는 x(t)=x(0)+∫0tv(t) dtx(t)=x(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}v(t)\,dt 이다.
  2. 2t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치의 변화량은 x(b)−x(a)=∫abv(t) dtx(b)-x(a)=\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt 이다.
  3. 3t=at=a 에서 t=bt=b 까지 움직인 거리는 s=∫ab∣v(t)∣ dts=\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt 이고, v(t)v(t) 의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누어 계산한다.
  4. 4속도의 그래프에서 위치의 변화량은 (tt 축 위의 넓이)−-(tt 축 아래의 넓이), 움직인 거리는 넓이의 합이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 시각 tt 에서의 위치를 구할 때 처음 위치 x(0)x(0) 을 더하지 않고 ∫0tv(t) dt\displaystyle\int_{0}^{t}v(t)\,dt 만 써요.
  • 움직인 거리를 구할 때 v(t)v(t) 의 부호가 바뀌는데 구간을 나누지 않고 ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt 를 계산해요.
  • 원점으로 돌아오는 시각을 v(t)=0v(t)=0 을 풀어 구해요. 원점은 위치 x(t)=0x(t)=0 일 때예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)=3t2−6tv(t)=3t^2-6t 이고 t=0t=0 에서의 위치가 22 일 때, t=4t=4 에서 점 P\mathrm{P} 의 위치를 구하시오.
  2. 예제 2
    수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)=t2−4t+3v(t)=t^2-4t+3 일 때, t=0t=0 에서 t=4t=4 까지 점 P\mathrm{P} 가 움직인 거리를 구하시오.
  3. 예제 3
    원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)=6t−3t2v(t)=6t-3t^2 일 때, 점 P\mathrm{P} 가 다시 원점으로 돌아오는 시각과 그때까지 움직인 거리를 구하시오.

다음 공부

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