수학 개념 노트전체 과목

평균값 정리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능하면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) 인 cc 가 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 존재해요(평균값 정리). 특히 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면 f′(c)=0f'(c)=0 인 cc 가 존재해요(롤의 정리).
  1. 1롤의 정리
  2. 2평균값 정리
  3. 3롤의 정리와 평균값 정리 비교
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1롤의 정리

성질롤의 정리
함수 f(x)f(x) 가
① 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고
② 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능하며
③ f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면
f′(c)=0f'(c)=0 인 cc 가 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 존재한다.
이것을 롤의 정리 라 한다.
학생
롤의 정리는 그래프로 보면 무슨 뜻이에요?
쌤
양 끝의 높이가 같은 매끄러운 곡선에는, 구간 안에 접선이 xx 축과 평행한 점이 적어도 하나 있다는 뜻이에요.
그 점에서 f′(c)=0f'(c)=0 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
함수 f(x)=x2−6xf(x)=x^2-6x 에 대하여 닫힌구간 [0, 6][0,\ 6] 에서 롤의 정리를 만족시키는 cc 의 값은?
조건을 확인하지 않고 쓰면 안 된다
✗ 틀린 풀이
f(x)=∣x∣f(x)=|x| 는 f(−1)=f(1)f(-1)=f(1) 이므로 f′(c)=0f'(c)=0 인 cc 가 (−1, 1)(-1,\ 1) 에 있다.
왜 틀렸나 롤의 정리는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능할 때만 쓸 수 있다.
✓ 바른 풀이
f(x)=∣x∣f(x)=|x| 는 x=0x=0 에서 미분가능하지 않으므로 롤의 정리를 쓸 수 없다.
x<0x<0 에서 f′(x)=−1f'(x)=-1, x>0x>0 에서 f′(x)=1f'(x)=1 이에요.
따라서 f′(c)=0f'(c)=0 인 cc 는 없어요.
조건 ①, ②, ③ 중 하나라도 빠지면 결론이 성립하지 않을 수 있어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

이유: f(x)f(x) 가 상수함수이면 구간 안의 모든 cc 에서 f′(c)=0f'(c)=0 이에요.
상수함수가 아니면 f(a)f(a) 와 다른 함숫값이 있어요. 연속함수는 닫힌구간에서 최댓값과 최솟값을 가지므로(최대·최소 정리) 둘 중 적어도 하나는 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 와 달라서, 양 끝이 아닌 구간 안의 점 cc 에서 생겨요.
예를 들어 x=cx=c 에서 최댓값을 가지면 다음과 같아요.

최댓값을 갖는 점에서 f′(c)=0f'(c)=0
f(x)−f(c)≤0f(x)-f(c)\le0
↳f(c)f(c) 가 최댓값
x<c: f(x)−f(c)x−c≥0x<c:\ \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge0
↳(00 이하)÷\div(음수)
x>c: f(x)−f(c)x−c≤0x>c:\ \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le0
↳(00 이하)÷\div(양수)
0≤f′(c)≤00\le f'(c)\le0
↳좌극한 ≥0\ge0, 우극한 ≤0\le0
f′(c)=0f'(c)=0
↳미분가능이라 두 극한이 같아요
응용
삼차함수 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, 닫힌구간 [−3, 3][-\sqrt{3},\ \sqrt{3}]
f(−3)=0,f(3)=0f(-\sqrt{3})=0,\quad f(\sqrt{3})=0
↳양 끝 높이가 같아요
f′(c)=3c2−3=0f'(c)=3c^2-3=0
↳롤의 정리
c=−1 또는 c=1c=-1\ \text{또는}\ c=1
↳둘 다 (−3, 3)(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}) 안
롤의 정리는 cc 가 「적어도 하나」 있다는 것이며, 여러 개일 수도 있어요.

2평균값 정리

성질평균값 정리
함수 f(x)f(x) 가
① 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고
② 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능하면f(b)−f(a)b−a=f′(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)인 cc 가 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 존재한다.
이것을 평균값 정리 라 한다.
학생
평균값 정리는 그래프로 보면 무슨 뜻이에요?
쌤
두 끝점을 잇는 직선 AB\mathrm{AB} 와 기울기가 같은 접선이 구간 안에 적어도 하나 있다는 뜻이에요.
직선 AB\mathrm{AB} 를 평행하게 옮기다 보면 곡선에 접하는 순간이 생겨요.
공식틀로 쓰기
평균값 정리
f′(□)=f(△)−f(◯)△−◯\displaystyle f'(\square)=\dfrac{f(\triangle)-f(\bigcirc)}{\triangle-\bigcirc}
◯\bigcirc 는 왼쪽 끝 aa, △\triangle 는 오른쪽 끝 bb, □\square 는 구하는 cc 이며 ◯<□<△\bigcirc<\square<\triangle
곱의 꼴
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
양변에 b−ab-a 를 곱한 꼴. 함숫값의 차를 미분계수로 나타낼 때 쓴다.
평균값 정리를 만족시키는 cc 구하기
  1. 1
    조건을 확인해요.
    다항함수는 모든 실수에서 연속이고 미분가능해요. 절댓값·구간별로 정의된 함수는 꺾이는 점을 확인해요.
  2. 2
    평균변화율 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 를 계산해요.
    f(b)−f(a)f(b)-f(a) 를 b−ab-a 로 반드시 나눠요.
  3. 3
    f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 를 풀어 cc 를 구해요.
  4. 4
    구한 값 중 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 속하는 것만 답해요.
    끝점 aa, bb 와 같은 값도 답이 아니에요.
함수 f(x)=x2f(x)=x^2, 닫힌구간 [1, 3][1,\ 3]
f(3)−f(1)3−1=9−12=4\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4
↳평균변화율
f′(c)=2c=4f'(c)=2c=4
c=2c=2
↳(1, 3)(1,\ 3) 안
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
함수 f(x)=x2f(x)=x^2 에 대하여 닫힌구간 [0, 4][0,\ 4] 에서 평균값 정리를 만족시키는 cc 의 값은?
구간에 속하는지 확인한다
✗ 틀린 풀이
f(x)=x3f(x)=x^3, [0, 3][0,\ 3] 에서 c=±3c=\pm\sqrt{3}
왜 틀렸나 평균값 정리의 cc 는 열린구간 (0, 3)(0,\ 3) 안에 있어야 하므로 구간 밖의 해는 버린다.
✓ 바른 풀이
f(x)=x3f(x)=x^3, [0, 3][0,\ 3] 에서 c=3c=\sqrt{3}
바른 풀이: 3c2=27−03−0=93c^2=\dfrac{27-0}{3-0}=9 에서 c2=3c^2=3 이고, 0<c<30<c<3 이므로 c=3c=\sqrt{3} 이다.
평균변화율은 나누어서 구한다
✗ 틀린 풀이
f′(c)=f(3)−f(0)=27f'(c)=f(3)-f(0)=27
왜 틀렸나 평균값 정리의 우변은 함숫값의 차를 구간의 길이 3−03-0 으로 나눈 평균변화율이다.
✓ 바른 풀이
f′(c)=f(3)−f(0)3−0=9f'(c)=\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=9
3c2=93c^2=9 에서 c=3c=\sqrt{3} 이고, 이 값은 열린구간 (0, 3)(0,\ 3) 안에 있다.
기울기는 「yy 의 증가량 ÷ xx 의 증가량」이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2성질 더 보기

기하적 의미: 왼쪽 변 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 는 두 점 A(a, f(a))\mathrm{A}(a,\ f(a)), B(b, f(b))\mathrm{B}(b,\ f(b)) 를 잇는 직선의 기울기(평균변화율)이고, 오른쪽 변 f′(c)f'(c) 는 x=cx=c 에서의 접선의 기울기예요.
따라서 직선 AB\mathrm{AB} 와 평행한 접선을 갖는 점이 aa 와 bb 사이에 적어도 하나 있다는 뜻이에요.
f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면 직선 AB\mathrm{AB} 의 기울기가 00 이므로 롤의 정리가 돼요. 즉 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우예요.

왜 성립하는가
곡선에서 직선 AB\mathrm{AB} 를 빼기
k=f(b)−f(a)b−ak=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
↳직선 AB\mathrm{AB} 의 기울기
g(x)=f(x)−{f(a)+k(x−a)}g(x)=f(x)-\{f(a)+k(x-a)\}
↳곡선 −- 직선 AB\mathrm{AB}
g(a)=0,g(b)=f(b)−f(a)−k(b−a)=0g(a)=0,\quad g(b)=f(b)-f(a)-k(b-a)=0
↳kk 의 뜻대로 넣으면 00
g′(x)=f′(x)−kg'(x)=f'(x)-k
↳gg 도 연속·미분가능
g′(c)=f′(c)−k=0g'(c)=f'(c)-k=0
↳롤의 정리
f′(c)=kf'(c)=k
응용
삼차함수 f(x)=x3f(x)=x^3, 닫힌구간 [0, 3][0,\ 3]
f(3)−f(0)3−0=273=9\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{27}{3}=9
↳평균변화율
f′(c)=3c2=9, c2=3f'(c)=3c^2=9,\ c^2=3
c=−3 또는 c=3c=-\sqrt{3}\ \text{또는}\ c=\sqrt{3}
c=3c=\sqrt{3}
↳−3-\sqrt{3} 은 (0, 3)(0,\ 3) 밖
성질이차함수일 때
이차함수 f(x)=px2+qx+rf(x)=px^2+qx+r 에서 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에 대한 평균값 정리의 cc 는 항상 구간의 가운데이다.c=a+b2c=\dfrac{a+b}{2}이유: 평균변화율은 p(b2−a2)+q(b−a)b−a=p(a+b)+q\dfrac{p(b^2-a^2)+q(b-a)}{b-a}=p(a+b)+q 이고
f′(c)=2pc+qf'(c)=2pc+q 이므로 2pc=p(a+b)2pc=p(a+b) 이다.
삼차 이상의 함수에서는 가운데가 아닐 수 있으므로 직접 풀어야 한다.

3롤의 정리와 평균값 정리 비교

공식닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속, 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능할 때
f(a)=f(b)f(a)=f(b)
f′(c)=0\displaystyle f'(c)=0
롤의 정리. xx 축에 평행한 접선이 있다.
평균값 정리
f′(c)=f(b)−f(a)b−a\displaystyle f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
직선 AB\mathrm{AB} 에 평행한 접선이 있다. f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면 롤의 정리
학생
롤의 정리와 평균값 정리는 어떤 관계예요?
쌤
롤의 정리는 평균값 정리에서 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 인 특별한 경우예요.
f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면 평균변화율이 00 이 되어 f′(c)=0f'(c)=0 이 되거든요.
⚠ 주의주의할 점
① 두 정리는 cc 가 「존재한다」는 것만 알려 줘요. cc 의 개수나 값은 직접 구해야 해요.
② cc 는 끝점이 아닌 열린구간 (a, b)(a,\ b) 의 값이에요.
③ 조건이 성립하지 않으면 결론이 성립하지 않을 수 있어요. 결론이 성립하는 경우가 있더라도 정리를 근거로 쓸 수는 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
닫힌구간 [0, 3][0,\ 3] 에서 평균값 정리의 식 f′(c)=f(3)−f(0)3f'(c)=\dfrac{f(3)-f(0)}{3} 을 풀었더니 c=−1c=-1 또는 c=2c=2 였다. 답은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

평균값 정리는 함수의 증가·감소를 도함수의 부호로 판정하는 근거가 돼요.
증가의 정의처럼 구간 안의 두 수 x1<x2x_1<x_2 를 잡으면
f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)
이므로 f′(c)f'(c) 의 부호가 f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1) 의 부호를 정해요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1롤의 정리: f(x)f(x) 가 [a, b][a,\ b] 에서 연속, (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능하고 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 이면 f′(c)=0f'(c)=0 인 cc 가 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 있다.
  2. 2평균값 정리: f(x)f(x) 가 [a, b][a,\ b] 에서 연속, (a, b)(a,\ b) 에서 미분가능하면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) 인 cc 가 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 있다.
  3. 3기하적 의미: 두 끝점을 잇는 직선과 기울기가 같은 접선(롤의 정리는 xx 축에 평행한 접선)이 구간 안에 있다.
  4. 4cc 를 구할 때는 조건을 먼저 확인하고, 구한 값 중 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 속하는 것만 답한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 의 해를 모두 답하고, 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 속하는지 확인하지 않아요.
  • 평균변화율을 구할 때 f(b)−f(a)f(b)-f(a) 를 b−ab-a 로 나누지 않아요.
  • f(x)=∣x∣f(x)=|x| 처럼 미분가능하지 않은 점이 있는 함수에 조건 확인 없이 롤의 정리나 평균값 정리를 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x 에 대하여 닫힌구간 [0, 2][0,\ 2] 에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 cc 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=x2+xf(x)=x^2+x 에 대하여 닫힌구간 [1, 3][1,\ 3] 에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 cc 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 에 대하여 닫힌구간 [−2, 2][-2,\ 2] 에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 cc 의 값을 모두 구하시오.

다음 공부

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