등차수열의 합

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

첫째항이

a

, 끝항이

l

, 공차가

d

인 등차수열의 첫째항부터 제

n

항까지의 합은

S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}

이에요. 합을 거꾸로 써서 더하면 이 공식을 얻어요.

1거꾸로 더하여 합 구하기
2공식에 넣어 합 구하기
3n 에 대한 이차식으로 보기
4합의 조건으로 첫째항과 공차 구하기
5합의 최대와 최소
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1거꾸로 더하여 합 구하기

$1$ 부터 $100$ 까지의 합을 앞에서부터 쓴 줄과 거꾸로 쓴 줄로 놓고 위아래로 더해 봐요.

1

부터

100

까지의 자연수의 합

S

$S$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$100$
$S$	$100$	$99$	$98$	$\cdots$	$1$
$2S$	$101$	$101$	$101$	$\cdots$	$101$

앞에서부터 쓴 줄과 거꾸로 쓴 줄을 위아래로 더하면 짝마다

101

이고, 짝은

100

개예요.

2S=101\times100

이므로

S=5050

학생

위아래로 더하면 왜 모두 같은 값이 돼요?

쌤

위 줄은

1

씩 커지고 아래 줄은

1

씩 작아지니까 짝의 합이 늘

101

이에요. 짝이

100

개이고 같은 합을 두 번 더한 셈이라

S=\dfrac{100\times101}{2}

예요.

정의수열의 합

수열

\{a_n\}

의 첫째항부터 제

n

항까지의 합을

S_n

으로 나타낸다.

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n

첫째항부터 제

n

항까지 더할 때, 마지막 항인 제

n

항을 끝항이라 한다.

공식등차수열의 합

끝항을 알 때

\displaystyle S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}

a

는 첫째항,

l

은 끝항,

n

은 항의 개수

공차를 알 때

\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}

d

는 공차

말로 쓰기

\displaystyle (\text{합})=\dfrac{(\text{항의 개수})\times\{(\text{첫째항})+(\text{끝항})\}}{2}

항의 개수

\times

(첫째항과 끝항의 평균)

자연수의 합

\displaystyle 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

a=1,\ l=n

홀수의 합

\displaystyle 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2

a=1,\ l=2n-1

끝항 $l=a+(n-1)d$ 를 넣으면 $a+l$ 은 $2a+(n-1)d$ 가 돼요.
따라서 공차를 알 때의 공식을 얻어요.
$S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

1+2+3+\cdots+20

의 값은?

성질앞뒤로 같은 거리의 두 항

처음과 끝에서 같은 거리에 있는 두 항의 합은 늘 첫째항과 끝항의 합과 같다.

a_k+a_{n+1-k}=a_1+a_n

이유:

a_k=a_1+(k-1)d

a_{n+1-k}=a_n-(k-1)d

이므로 더하면

(k-1)d

가 지워진다.
예를 들어

a_3+a_{18}=a_1+a_{20}

이다.
따라서

a_3+a_{18}=30

이면

S_{20}=\dfrac{20\times30}{2}=300

자세히 보기펼치기예제외우기 카드

왜 그런가

S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+l

↳◀앞에서부터

S_n=l+(l-d)+(l-2d)+\cdots+a

↳◀뒤에서부터

2S_n=(a+l)+(a+l)+\cdots+(a+l)

↳◀짝마다

+d

-d

가 지워져요

2S_n=n(a+l)

↳◀짝은

n

개

S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}

합의 공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2짝의 합 × 짝의 개수 ÷ 2

S_n=\dfrac{n(\square)}{2}

단계 1 / 2끝항 자리에 a+(n-1)d

S_n=\dfrac{n\{2a+(\square)d\}}{2}

2공식에 넣어 합 구하기

첫째항, 공차, 항의 개수를 찾아 공식에 넣으면 등차수열의 합을 구할 수 있어요.

학생

항의 개수를 모를 때는 어떻게 해요?

쌤

끝항을

a+(n-1)d

로 놓고

n

을 먼저 구해요. 그다음

\dfrac{n(a+l)}{2}

에 넣으면 돼요.

응용하기

a=3,\ d=4:\quad S_{10}=\dfrac{10(2\times3+9\times4)}{2}=5\times42=210

a=20,\ d=-3:\quad S_8=\dfrac{8\{2\times20+7\times(-3)\}}{2}=4\times19=76

↳◀공차가 음수

a=-5,\ d=\dfrac{1}{2}:\quad S_{12}=\dfrac{12\{2\times(-5)+11\times\frac{1}{2}\}}{2}=6\times\left(-\dfrac{9}{2}\right)=-27

↳◀첫째항 음수, 공차 분수

항의 개수부터 구하기

2+5+8+\cdots+59

2+(n-1)\times3=59

↳◀첫째항

2

, 공차

3

n=20

↳◀항의 개수

S_{20}=\dfrac{20(2+59)}{2}=610

↳◀끝항을 알 때의 공식

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

3+7+11+\cdots+39

의 값은?

항의 개수

✗ 틀린 풀이

2+5+\cdots+59

의 항의 개수는

\dfrac{59-2}{3}=19

왜 틀렸나 항의 개수는 공차를 더한 횟수보다

1

크므로

\dfrac{l-a}{d}+1

로 구한다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{59-2}{3}+1=20

\dfrac{59-2}{3}

은 공차를 더한 횟수(칸 수)이에요.
항의 개수는 칸 수보다

1

커요.

2 로 나누기

✗ 틀린 풀이

a=2,\ d=3

이면

S_{10}=10(2\times2+9\times3)=310

왜 틀렸나 등차수열의 합은

S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}

이므로

2

로 나누어야 한다.

✓ 바른 풀이

S_{10}=\dfrac{10(2\times2+9\times3)}{2}=155

짝을 지어 더한

2S_n

을

2

로 나누어야

S_n

이에요.

2a 와 a

✗ 틀린 풀이

S_{10}=\dfrac{10(2+9\times3)}{2}=145

왜 틀렸나 괄호 안은 첫째항과 끝항의 합이므로 첫째항을 두 번 넣은

2a

가 들어간다.

✓ 바른 풀이

S_{10}=\dfrac{10(2\times2+9\times3)}{2}=155

괄호 안은 첫째항과 끝항의 합

a+\{a+(n-1)d\}

이므로

2a

이에요.
검산:

n=1

을 넣으면

S_1=\dfrac{2a}{2}=a

가 되어야 해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

등차수열의 합을 구하는 순서

1
첫째항 $a$ 를 확인해요.
2
항의 개수 $n$ 을 구해요.
끝항만 주어지면 $a+(n-1)d=l$ 을 풀어 $n$ 을 찾아요.
3
끝항을 알면 $\dfrac{n(a+l)}{2}$ , 공차를 알면 $\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 에 넣어요.
음수는 괄호를 쳐서 넣어요.
4
$n=1,\ 2$ 일 때의 합과 맞는지 확인해요.
검산: $S_1=a$ , $S_2=2a+d$

3n 에 대한 이차식으로 보기

성질등차수열의 합은 상수항이 없는 이차식

공차

d\ne0

인 등차수열의 합

S_n

은

n

에 대한 이차식이고 상수항이

0

이다.
이 식의

n^2

의 계수는 $d/2$ 이다.
거꾸로

S_n=pn^2+qn

이면 그 수열은 첫째항이

p+q

, 공차가

2p

인 등차수열이다.

공식일반항과 합 나란히 보기

일반항

\displaystyle a_n=a+(n-1)d=dn+(a-d)

n

에 대한 일차식,

n

의 계수가 공차

합

\displaystyle S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a-\dfrac{d}{2}\right)n

n

에 대한 이차식, 상수항

0

학생

S_n

에 상수항이 있으면 어떻게 돼요?

쌤

첫째항부터 등차수열이면

S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a-\dfrac{d}{2}\right)n

꼴이라 상수항이 없어요. 상수항이 있으면 첫째항부터 등차수열인 것은 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

S_n=3n^2+n

인 등차수열의 공차는?

자세히 보기펼치기예제

왜 그런가

S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a-\dfrac{d}{2}\right)n

↳◀전개해요

a=3,\ d=4:\quad S_n=2n^2+n

↳◀예

S_1=3,\quad S_2=10=3+7

↳◀검산

4합의 조건으로 첫째항과 공차 구하기

합 $S_n$ 의 값이 두 개 주어지면 각각을 $\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 꼴로 써서 $a,\ d$ 에 대한 연립방정식을 세워요.

S_3=15,\ S_6=48

인 등차수열

S_3=\dfrac{3(2a+2d)}{2}=15\ \Rightarrow\ a+d=5

S_6=\dfrac{6(2a+5d)}{2}=48\ \Rightarrow\ 2a+5d=16

a=3,\ d=2

↳◀연립하여 풀어요

3+5+7=15

↳◀검산

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

등차수열에서

S_2=8

S_4=28

일 때 공차는?

5합의 최대와 최소

성질합이 최대·최소가 되는 때

첫째항이 양수이고 공차가 음수이면 합

S_n

은 양수 인 항까지 더할 때 최대이다.
첫째항이 음수이고 공차가 양수이면 음수인 항까지 더할 때 합이 최소이다.

첫째항

25

, 공차

-4

a_n=25+(n-1)\times(-4)=-4n+29

↳◀일반항

-4n+29>0\ \Rightarrow\ n<\dfrac{29}{4}=7.25

↳◀양수인 항

a_7=1,\quad a_8=-3

↳◀제

7

항까지 양수

S_7=\dfrac{7(25+1)}{2}=91

↳◀합의 최댓값

학생

합이 최대인

n

을 구할 때 왜 양수인 항의 개수를 세요?

쌤

양수인 항을 더하는 동안은 합이 커지고, 음수인 항을 더하기 시작하면 합이 줄어들어요. 그래서 마지막 양수인 항까지 더한 합이 가장 커요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

첫째항

19

, 공차

-4

인 등차수열의 합

S_n

이 최대가 되는

n

은?

최대가 되는 n

✗ 틀린 풀이

a_8=-3

이 처음으로 음수이므로

S_8

이 최대

왜 틀렸나 합

S_n

은 양수인 항을 모두 더했을 때 최대이므로 양수인 마지막 항의 번호를 찾는다.

✓ 바른 풀이

양수인 마지막 항이

a_7

이므로

S_7=91

이 최대

S_8=S_7+a_8=91-3=88

로 오히려 작아져요.

⚠ 주의0 인 항이 있을 때

첫째항

12

, 공차

-3

이면

a_5=0

이에요.

0

을 더해도 합은 그대로이므로

S_4=S_5=30

이때는

n=4,\ 5

일 때 모두 최대예요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

왜 그런가
첫째항이 양수이고 공차가 음수이면 항이 점점 작아져 어느 항부터 음수가 돼요.
양수인 항을 더하는 동안 합은 커지고, 음수인 항을 더하기 시작하면 합은 작아져요.

합이 최대가 되는 n 찾기

1
일반항 $a_n$ 을 구해요.
2
$a_n>0$ 을 풀어 양수인 마지막 항의 번호 $k$ 를 찾아요.
3
$a_k>0$ , $a_{k+1}<0$ 인지 확인해요.
검산
4
$S_k$ 를 계산해요.

예이차식으로 확인하기

S_n=\dfrac{n\{50+(n-1)\times(-4)\}}{2}=-2n^2+27n

완전제곱식으로 고치면

S_n=-2\left(n-\dfrac{27}{4}\right)^2+\dfrac{729}{8}

꼭짓점의

n=6.75

에 가장 가까운 자연수는

7

이에요.

S_7=91

S_6=90

이므로

n=7

일 때 최대예요.

합의 최솟값

첫째항

-20

, 공차

3

a_n=3n-23

↳◀일반항

3n-23<0\ \Rightarrow\ n<\dfrac{23}{3}=7.6\cdots

↳◀음수인 항

a_7=-2,\quad a_8=1

↳◀제

7

항까지 음수

S_7=\dfrac{7(-20-2)}{2}=-77

↳◀합의 최솟값

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1첫째항이 $a$ , 제 $n$ 항(끝항)이 $l$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합
$S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}$
2첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합
$S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$
3두 공식은 합을 거꾸로 써서 더하는 방법으로 얻는다.
4첫째항이 양수, 공차가 음수이면 양수인 항까지 더할 때 합이 최대이다.

✗ 자주 하는 실수

항의 개수를 $\dfrac{(\text{끝항})-(\text{첫째항})}{(\text{공차})}$ 로 세어 $1$ 을 더하지 않아요.
$S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 에서 $2$ 로 나누는 것을 빠뜨리거나 $2a$ 를 $a$ 로 써요.
합이 최대가 되는 $n$ 을 처음으로 음수가 되는 항의 번호로 잡아요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
등차수열의 합 $5+9+13+\cdots+81$ 을 구하시오.
예제 2
등차수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $5$ 항까지의 합이 $35$ , 첫째항부터 제 $10$ 항까지의 합이 $20$ 일 때, 일반항 $a_n$ 을 구하시오.
예제 3
첫째항이 $40$ , 공차가 $-6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에서 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_n$ 의 최댓값을 구하시오.

다음 공부

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