수학 개념 노트전체 과목

음수의 제곱근

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
a>0a>0 일 때 −a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i 이고, −a-a 의 제곱근은 ±a i\pm\sqrt{a}\,i 이에요. 근호 안이 음수인 수는 먼저 ii 로 바꾼 뒤 계산해요.
  1. 1음수의 제곱근
  2. 2계산은 먼저 ii 로 바꾼 뒤
  3. 3ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 성립하지 않는 경우
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1음수의 제곱근

실수에서 a>0a>0 일 때 제곱하여 aa 가 되는 수, 곧 aa 의 제곱근은 a\sqrt{a} 와 −a-\sqrt{a} 이에요.
복소수까지 범위를 넓히면 음수도 제곱근을 가져요. 덕분에 근의 공식에서 근호 안이 음수여도 근을 쓸 수 있어요.

정의음수의 제곱근
a>0a>0 일 때−a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i−a-a 의 제곱근은 a i\sqrt{a}\,i 와 −a i-\sqrt{a}\,i 이다.
특히 −1=i\sqrt{-1}=i 이다.
공식−a\sqrt{-a} 를 ii 로 나타내기
−4\sqrt{-4}
−4=4 i=2i\displaystyle \sqrt{-4}=\sqrt{4}\,i=2i
−3\sqrt{-3}
−3=3 i\displaystyle \sqrt{-3}=\sqrt{3}\,i
3\sqrt{3} 은 더 간단히 할 수 없다.
−12\sqrt{-12}
−12=12 i=23 i\displaystyle \sqrt{-12}=\sqrt{12}\,i=2\sqrt{3}\,i
12=4×3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}
−14\sqrt{-\frac{1}{4}}
−14=12i\displaystyle \sqrt{-\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}i
근호 안이 분수여도 같다.
−−9-\sqrt{-9}
−−9=−3i\displaystyle -\sqrt{-9}=-3i
근호 밖의 부호는 그대로 남는다.
공식「제곱근」과 「 \sqrt{\ }」 나란히 보기
99 의 제곱근
±3\displaystyle \pm 3
두 개
9\sqrt{9}
3\displaystyle 3
양의 제곱근 하나
−9-9 의 제곱근
±3i\displaystyle \pm 3i
두 개
−9\sqrt{-9}
3i\displaystyle 3i
하나. −3i-3i 는 포함하지 않는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−12\sqrt{-12} 를 ii 를 써서 나타내면?
−4\sqrt{-4} 의 값
✗ 틀린 풀이
−4=−2\sqrt{-4}=-2
왜 틀렸나 a>0a>0 일 때 −a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i 이므로 −4=4 i=2i\sqrt{-4}=\sqrt{4}\,i=2i 이다.
✓ 바른 풀이
−4=2i\sqrt{-4}=2i
확인: (2i)2=4i2=−4(2i)^2=4i^2=-4 이므로 2i2i 를 제곱하면 −4-4 가 된다.
−9-9 의 제곱근
✗ 틀린 풀이
−9-9 의 제곱근은 3i3i
왜 틀렸나 「−9-9 의 제곱근」은 제곱하여 −9-9 가 되는 수 모두이므로 3i3i 와 −3i-3i 두 개이다.
✓ 바른 풀이
−9-9 의 제곱근은 ±3i\pm3i
하나만 가리키는 것은 「제곱근 −9-9」, 곧 −9=3i\sqrt{-9}=3i 이다.
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기
왜 그런가 (a>0a>0)
(a i)2=(a)2i2=−a(\sqrt{a}\,i)^2=(\sqrt{a})^2i^2=-a
↳i2=−1i^2=-1
(−a i)2=a i2=−a(-\sqrt{a}\,i)^2=a\,i^2=-a
↳음수를 제곱해도 같아요
그래서 a i\sqrt{a}\,i 와 −a i-\sqrt{a}\,i 는 모두 제곱하여 −a-a 가 되는 수예요.
성질틀로 읽기
−□=□ i\sqrt{-□}=\sqrt{□}\,i
근호 안의 빼기 기호를 꺼내 ii 로 바꾸고, 남은 □□ 는 양수이므로 보통의 제곱근으로 계산한다.
□□ 자리에는 자연수, 분수, 제곱수가 아닌 수가 모두 들어간다.
□\sqrt{□} 를 간단히 할 수 있으면(12=23\sqrt{12}=2\sqrt{3} 처럼) 간단히 한 뒤 ii 를 붙인다.
방정식으로 확인
x2=−9x^2=-9
x=3i ⇒ x2=9i2=−9x=3i\ \Rightarrow\ x^2=9i^2=-9
↳✓
x=−3i ⇒ x2=9i2=−9x=-3i\ \Rightarrow\ x^2=9i^2=-9
↳✓
x=±3ix=\pm3i
↳−9-9 의 제곱근 두 개

2계산은 먼저 ii 로 바꾼 뒤

근호 안이 음수인 수를 곱하거나 나눌 때 실수에서 쓰던 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 를 그대로 쓰면 틀릴 수 있어요.
그래서 계산하기 전에 근호 안의 음수를 모두 a i\sqrt{a}\,i 꼴로 바꾸고, 그다음에는 ii 를 문자처럼 보고 계산해요.

계산 순서
−2−8\sqrt{-2}\sqrt{-8}
−2−8=2 i×8 i\sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{2}\,i\times\sqrt{8}\,i
↳먼저 ii 로 바꿔요
=16 i2=\sqrt{16}\,i^2
↳양수끼리는 합쳐도 돼요
=4×(−1)=−4=4\times(-1)=-4
↳i2=−1i^2=-1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−3−12\sqrt{-3}\sqrt{-12} 의 값은?
바로 근호를 합칠 때
✗ 틀린 풀이
−2−8=(−2)(−8)=16=4\sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{(-2)(-8)}=\sqrt{16}=4
왜 틀렸나 근호 안이 둘 다 음수이면 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 성립하지 않으므로 먼저 ii 로 바꾼다.
✓ 바른 풀이
−2−8=2 i×8 i=4i2=−4\sqrt{-2}\sqrt{-8}=\sqrt{2}\,i\times\sqrt{8}\,i=4i^2=-4
바른 순서는 −2=2 i\sqrt{-2}=\sqrt2\,i, −8=8 i\sqrt{-8}=\sqrt8\,i 로 바꾼 뒤 곱하고 i2=−1i^2=-1 을 쓰는 것이다.
자세히 보기펼치기예제
예덧셈과 뺄셈
ii 로 바꾼 뒤 3 i\sqrt{3}\,i 를 한 덩어리로 보고 동류항처럼 모아요.
−3+−12=3 i+23 i=33 i\sqrt{-3}+\sqrt{-12}=\sqrt{3}\,i+2\sqrt{3}\,i=3\sqrt{3}\,i

3ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 성립하지 않는 경우

성질음수의 제곱근의 성질 (a,ba, b 는 00 이 아닌 실수)
a<0, b<0a<0,\ b<0 이면 ab=−ab\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}
a>0, b<0a>0,\ b<0 이면 ab=−ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}
그 밖의 경우에는 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} 가 그대로 성립한다.

두 근호 안이 모두 음수 일 때만 ii 가 두 개 생겨 i2=−1i^2=-1 이 나와요.

분자는 양수이고 분모만 음수일 때 ii 가 분모로 내려가 부호가 바뀌어요.

학생
근호 안이 하나만 음수이면 그냥 합쳐도 돼요?
쌤
네. 곱에서 하나만 음수이면 ii 가 하나뿐이라 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 그대로 성립해요.
몫에서도 분자만 음수이면 그대로예요.
공식곱
네 가지 경우
a<0, b<0a<0,\ b<0
−2−3=2 i⋅3 i=−6\displaystyle \sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}\,i\cdot\sqrt{3}\,i=-\sqrt{6}
성립하지 않는다. 부호가 바뀐다.
a<0, b>0a<0,\ b>0
−23=6 i=−6\displaystyle \sqrt{-2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\,i=\sqrt{-6}
성립한다.
a>0, b<0a>0,\ b<0
2−3=6 i=−6\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{6}\,i=\sqrt{-6}
성립한다.
a>0, b>0a>0,\ b>0
23=6\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}
실수의 성질 그대로.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
8−2\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{-2}} 의 값은?
분모만 음수인 나눗셈
✗ 틀린 풀이
12−3=12−3=−4=2i\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\dfrac{12}{-3}}=\sqrt{-4}=2i
왜 틀렸나 분자가 양수이고 분모가 음수이면 근호를 합칠 수 없으므로 분모를 먼저 ii 로 바꾼다.
✓ 바른 풀이
12−3=233 i=2i=−2i\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,i}=\dfrac{2}{i}=-2i
1i=ii2=−i\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=-i 이므로 분모의 ii 를 없애면 부호가 바뀐다.
자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기성질 더 보기

곱셈에서 부호가 바뀌는 이유: a<0, b<0a<0,\ b<0 이면 −a>0, −b>0-a>0,\ -b>0 이므로ab=−a i×−b i=ab i2=−ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{-a}\,i\times\sqrt{-b}\,i=\sqrt{ab}\,i^2=-\sqrt{ab}하나만 음수이면 ii 가 하나뿐이어서 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 그대로 성립해요.

나눗셈에서 부호가 바뀌는 이유: a>0, b<0a>0,\ b<0 일 때ab=a−b i=−ab×1i=−−ab i=−ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}\,i}=\sqrt{-\tfrac{a}{b}}\times\frac{1}{i}=-\sqrt{-\tfrac{a}{b}}\,i=-\sqrt{\tfrac{a}{b}}1i=−i\frac{1}{i}=-i 이고, ab<0\frac{a}{b}<0 이므로 −ab i=ab\sqrt{-\frac{a}{b}}\,i=\sqrt{\frac{a}{b}} 이에요.

공식몫
네 가지 경우
a>0, b<0a>0,\ b<0
6−2=62 i=−3 i=−−3\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}\,i}=-\sqrt{3}\,i=-\sqrt{-3}
성립하지 않는다. 부호가 바뀐다.
a<0, b>0a<0,\ b>0
−62=6 i2=3 i=−3\displaystyle \frac{\sqrt{-6}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}\,i}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\,i=\sqrt{-3}
성립한다.
a<0, b<0a<0,\ b<0
−6−2=6 i2 i=3\displaystyle \frac{\sqrt{-6}}{\sqrt{-2}}=\frac{\sqrt{6}\,i}{\sqrt{2}\,i}=\sqrt{3}
성립한다. ii 가 약분된다.
a>0, b>0a>0,\ b>0
62=3\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}
실수의 성질 그대로.
성질외우는 장치
「곱은 둘 다 음수일 때, 몫은 분모만 음수일 때 앞에 −- 가 붙는다.」
이유는 하나이다. ii 가 두 개 곱해지거나(i2=−1i^2=-1), ii 가 분모에만 있을 때(1i=−i\frac{1}{i}=-i) 부호가 바뀐다.
성질거꾸로 읽기
00 이 아닌 실수 a,ba, b 에 대하여
ab=−ab\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab} 이면 a<0, b<0a<0,\ b<0 이다.
ab=−ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}} 이면 a>0, b<0a>0,\ b<0 이다.
(aa 나 bb 가 00 이면 양변이 모두 00 이 되어 등식이 성립하므로, 이 경우는 따로 생각한다.)
검산 방법
6−2\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}
6−2=−−3=−3 i\frac{\sqrt6}{\sqrt{-2}}=-\sqrt{-3}=-\sqrt3\,i
↳성질로
62 i=3i=−3 i\frac{\sqrt6}{\sqrt2\,i}=\frac{\sqrt3}{i}=-\sqrt3\,i
↳ii 로 바꿔서
성질을 쓰지 않고 모든 근호를 ii 로 바꾸어 다시 계산해 봐요. 두 결과가 같으면 맞아요.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
−a (a>0)=a □\sqrt{-a}\ (a>0)=\sqrt{a}\ \square
단계 1 / 2
−a 의 제곱근 (a>0)=□a i-a\text{ 의 제곱근 }(a>0)=\square\sqrt{a}\,i
단계 1 / 2
ab (a<0, b<0)=□ab\sqrt{a}\sqrt{b}\ (a<0,\ b<0)=\square\sqrt{ab}
단계 1 / 2
ab (a>0, b<0)=□ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a>0,\ b<0)=\square\sqrt{\frac{a}{b}}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1a>0a>0 일 때 −a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i 로 정한다. 특히 −1=i\sqrt{-1}=i 이다.
  2. 2−a-a 의 제곱근은 a i\sqrt{a}\,i 와 −a i-\sqrt{a}\,i 두 개이다. 곧 ±a i\pm\sqrt{a}\,i 이다.
  3. 3ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 는 a<0, b<0a<0,\ b<0 일 때 성립하지 않고, ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} 는 a>0, b<0a>0,\ b<0 일 때 성립하지 않는다.
  4. 4근호 안이 음수이면 계산하기 전에 먼저 a i\sqrt{a}\,i 꼴로 바꾼다.
✗ 자주 하는 실수
  • −2−8\sqrt{-2}\sqrt{-8} 을 (−2)(−8)=4\sqrt{(-2)(-8)}=4 로 계산해요. 두 근호 안이 모두 음수이면 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 가 성립하지 않아요.
  • 「−9-9 의 제곱근」과 「−9\sqrt{-9}」를 구별하지 않아요. 앞은 ±3i\pm3i 두 개이고, 뒤는 3i3i 하나예요.
  • 12−3\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} 처럼 분모만 음수인 나눗셈에서 근호를 합쳐 부호가 틀려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    −2−8+−312\sqrt{-2}\sqrt{-8}+\sqrt{-3}\sqrt{12} 를 계산하시오.
  2. 예제 2
    −12+−27−−3\sqrt{-12}+\sqrt{-27}-\sqrt{-3} 을 계산하시오.
  3. 예제 3
    18−2+−18−2\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{-2}}+\dfrac{\sqrt{-18}}{\sqrt{-2}} 를 계산하시오.

다음 공부

다음 개념: 이차방정식의 풀이 →
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