수학 개념 노트전체 과목

벡터의 내적

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
두 벡터의 내적은 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 이에요. 내적으로 두 벡터가 이루는 각을 구하고, a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 으로 수직을 판단하며, ∣a⃗+b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2 을 전개하여 크기를 구해요.
  1. 1내적의 정의
  2. 2성분으로 나타낸 내적
  3. 3내적의 성질
  4. 4두 벡터가 이루는 각
  5. 5수직 조건과 평행 조건
  6. 6벡터로 나타낸 원과 점의 자취
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1내적의 정의

정의두 벡터가 이루는 각
영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 의 시점을 같게 놓아 a⃗=OA→\vec{a}=\overrightarrow{OA}, b⃗=OB→\vec{b}=\overrightarrow{OB} 라 할 때,
∠AOB=θ\angle AOB=\theta (0≤θ≤π)(0\le\theta\le\pi) 를 두 벡터가 이루는 각이라 한다.
두 벡터가 이루는 각
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
θOAB
시점을 같게 놓은 a⃗=OA→\vec{a}=\overrightarrow{OA}, b⃗=OB→\vec{b}=\overrightarrow{OB} 에 대하여 θ=∠AOB\theta=\angle AOB (0≤θ≤π)(0\le\theta\le\pi)
정의벡터의 내적
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
를 두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 의 내적이라 한다.
a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0} 또는 b⃗=0⃗\vec{b}=\vec{0} 이면 a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 으로 정한다.
내적의 값은 벡터가 아니라 실수이다.
학생
벡터끼리 곱하면 벡터가 나와요?
쌤
내적은 벡터가 아니라 실수가 나와요. 두 벡터의 크기를 곱하고, 두 벡터가 이루는 각의 cos⁡\cos 값을 곱해요.
성질내적의 부호와 a⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{a}
∣a⃗∣|\vec{a}|, ∣b⃗∣|\vec{b}| 는 양수이므로 내적의 부호는 cos⁡θ\cos\theta 의 부호와 같다.
0≤θ<π20\le\theta<\dfrac{\pi}{2} 이면 a⃗⋅b⃗>0\vec{a}\cdot\vec{b}>0
θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2} 이면 a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0
π2<θ≤π\dfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi 이면 a⃗⋅b⃗<0\vec{a}\cdot\vec{b}<0
자기 자신과 이루는 각은 00 이므로 a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2
정의로 내적 구하기 (∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3)
θ=π3:a⃗⋅b⃗=2×3×cos⁡π3=3\theta=\dfrac{\pi}{3}:\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=2\times3\times\cos\dfrac{\pi}{3}=3
θ=23π:a⃗⋅b⃗=2×3×cos⁡23π=−3\theta=\dfrac{2}{3}\pi:\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=2\times3\times\cos\dfrac{2}{3}\pi=-3
↳둔각이면 음수
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣a⃗∣=4|\vec{a}|=4, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3 이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가 π3\frac{\pi}{3} 일 때, a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 의 값은?
시점을 맞추지 않고 각을 읽기
✗ 틀린 풀이
한 변의 길이가 22 인 정삼각형 ABC 에서
AB→⋅BC→=2×2×cos⁡60∘=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times2\times\cos60^\circ=2
왜 틀렸나 두 벡터가 이루는 각은 시점을 일치시켰을 때의 각이므로 시점을 먼저 맞춰야 한다.
✓ 바른 풀이
AB→⋅BC→=2×2×cos⁡120∘=−2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times2\times\cos120^\circ=-2
AB→\overrightarrow{AB} 의 종점과 BC→\overrightarrow{BC} 의 시점이 이어져 있으므로 ∠B\angle B 는 두 벡터가 이루는 각이 아니에요.
AB→\overrightarrow{AB} 를 시점이 B 가 되도록 옮기면 이루는 각은 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ 이에요.
AB→\overrightarrow{AB} 와 BC→\overrightarrow{BC} 가 이루는 각
120∘120^\circ
ABC
AB→\overrightarrow{AB} 를 B 에서 시작하도록 옮겨 시점을 맞추면 이루는 각은 ∠B\angle B 가 아니라 120∘120^\circ 이에요.

2성분으로 나타낸 내적

성질성분과 내적
a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3), b⃗=(b1, b2, b3)\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3) 이면a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3평면벡터 a⃗=(a1, a2)\vec{a}=(a_1,\ a_2), b⃗=(b1, b2)\vec{b}=(b_1,\ b_2) 이면 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2
학생
성분으로 구한 값이랑 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta 로 구한 값이 같아요?
쌤
네, 같은 내적을 두 가지로 계산한 거예요. 그래서 두 값을 같다고 놓으면 두 벡터가 이루는 각을 구할 수 있어요.
성분으로 내적 구하기
a⃗⋅b⃗=1×3+2×0+(−2)×4=−5\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times0+(-2)\times4=-5
↳a⃗=(1, 2, −2)\vec{a}=(1,\ 2,\ -2), b⃗=(3, 0, 4)\vec{b}=(3,\ 0,\ 4)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a⃗=(2, −1, 3)\vec{a}=(2,\ -1,\ 3), b⃗=(1, 4, 2)\vec{b}=(1,\ 4,\ 2) 일 때, a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

a⃗=OA→\vec{a}=\overrightarrow{OA}, b⃗=OB→\vec{b}=\overrightarrow{OB} 일 때 삼각형 OAB 에 코사인법칙을 써요. 코사인법칙에는 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta 가 그대로 들어 있어서, 내적을 길이(성분)로 바꿀 수 있기 때문이에요. AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} 예요.

성분 공식이 나오는 과정
∣b⃗−a⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
↳코사인법칙
∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=12(∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−∣b⃗−a⃗∣2)|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=\dfrac{1}{2}\left(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2\right)
↳좌변이 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}
12{a12+b12−(b1−a1)2}=a1b1\frac{1}{2}\left\{a_1^2+b_1^2-(b_1-a_1)^2\right\}=a_1b_1
↳첫째 성분만 보면
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
↳둘째·셋째 성분도 같아요

3내적의 성질

공식내적의 연산 법칙 (kk 는 실수)
교환법칙
a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}
분배법칙
a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}
실수배
(ka⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(kb⃗)=k(a⃗⋅b⃗)\displaystyle (k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})
자기 자신과의 내적
a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2
합의 크기
∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2
위의 법칙으로 (a⃗+b⃗)⋅(a⃗+b⃗)(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) 를 전개한 것이다.
차의 크기
∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2\displaystyle |\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2
합과 차의 내적
(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=∣a⃗∣2−∣b⃗∣2\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2
학생
내적이 들어간 식은 어떻게 전개해요?
쌤
곱셈 공식처럼 전개하되, a⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{a} 는 ∣a⃗∣2|\vec{a}|^2 으로 바꿔요. 그래서 벡터의 크기는 제곱해서 구해요.
벡터의 크기를 구하는 순서
  1. 1
    크기를 제곱해요.
    ∣a⃗+2b⃗∣2=(a⃗+2b⃗)⋅(a⃗+2b⃗)|\vec{a}+2\vec{b}|^2=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})
  2. 2
    곱셈 공식처럼 전개해요.
    ∣a⃗∣2+4a⃗⋅b⃗+4∣b⃗∣2|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2
  3. 3
    주어진 ∣a⃗∣|\vec{a}|, ∣b⃗∣|\vec{b}|, a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 를 넣어요.
  4. 4
    크기는 00 이상이므로 양의 제곱근을 택해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3, a⃗⋅b⃗=1\vec{a}\cdot\vec{b}=1 일 때, ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a}+\vec{b}| 의 값은?
크기의 제곱을 전개할 때
✗ 틀린 풀이
∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2
왜 틀렸나 ∣a⃗+b⃗∣2=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗+b⃗)|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) 이므로 가운데 항 2a⃗⋅b⃗2\vec{a}\cdot\vec{b} 가 생긴다.
✓ 바른 풀이
∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 처럼 가운데 항 2a⃗⋅b⃗2\vec{a}\cdot\vec{b} 가 있어요.
가운데 항이 00 인 것은 두 벡터가 수직일 때뿐이에요.
⚠ 주의실수의 곱셈과 다른 점
a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 이어도 a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0} 또는 b⃗=0⃗\vec{b}=\vec{0} 이라고 할 수 없어요. 두 벡터가 수직일 수 있어요.
a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c} 이어도 b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c} 라고 할 수 없어요. 양변을 a⃗\vec{a} 로 나누는 계산은 없어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

성분으로 확인하면 모두 실수의 곱셈 법칙으로 바로 확인할 수 있어요.
그래서 내적이 들어간 식은 곱셈 공식처럼 전개하되, a⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{a} 는 ∣a⃗∣2|\vec{a}|^2 으로 바꿔요.

4두 벡터가 이루는 각

성질이루는 각의 코사인
영벡터가 아닌 두 벡터가 이루는 각의 크기를 θ\theta 라 하면cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}0≤θ≤π0\le\theta\le\pi 이므로 cos⁡θ\cos\theta 의 값으로 θ\theta 가 하나로 정해진다.
학생
cos⁡θ\cos\theta 가 음수로 나오면 어떻게 해요?
쌤
이루는 각이 둔각이라는 뜻이에요. 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi 이므로 예를 들어 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac{1}{2} 이면 θ=23π\theta=\frac{2}{3}\pi 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 벡터 a⃗=(1, 0, 1)\vec{a}=(1,\ 0,\ 1), b⃗=(0, 1, 1)\vec{b}=(0,\ 1,\ 1) 이 이루는 각의 크기는?

5수직 조건과 평행 조건

성질수직 조건
영벡터가 아닌 두 벡터가 이루는 각이 π2\dfrac{\pi}{2} 일 때 서로 수직이라 하고 a⃗⊥b⃗\vec{a}\perp\vec{b} 로 나타낸다.
a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0  ⟺  a1b1+a2b2+a3b3=0\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0\iff a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0
예: a⃗=(2, k, 1)\vec{a}=(2,\ k,\ 1), b⃗=(1, −1, 3)\vec{b}=(1,\ -1,\ 3) 이 수직이면 2−k+3=02-k+3=0 이므로 k=5k=5
학생
내적이 00 이면 둘 중 하나가 영벡터일 수도 있지 않아요?
쌤
맞아요. 그래서 수직 조건은 영벡터가 아닌 두 벡터에서만 써요. 영벡터가 아니면서 내적이 00 이면 수직이에요.
성질평행 조건과 내적
영벡터가 아닌 두 벡터가 평행하면 이루는 각이 00 또는 π\pi 이다.
a⃗∥b⃗  ⟺  b⃗=ka⃗ (k≠0)  ⟺  ∣a⃗⋅b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣\vec{a}\parallel\vec{b}\iff\vec{b}=k\vec{a}\ (k\ne0)\iff|\vec{a}\cdot\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|
평행 조건은 보통 b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a} 로 성분을 비교하여 쓴다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 벡터 a⃗=(1, k, 2)\vec{a}=(1,\ k,\ 2), b⃗=(3, 1, −1)\vec{b}=(3,\ 1,\ -1) 이 서로 수직일 때, kk 의 값은?

6벡터로 나타낸 원과 점의 자취

성질원의 벡터방정식
좌표평면에서 중심 C 의 위치벡터를 c⃗\vec{c}, 반지름의 길이를 rr 라 하면 원 위의 점 P 의 위치벡터 p⃗\vec{p} 는∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=r두 점 A, B 의 위치벡터가 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 일 때, 선분 AB 를 지름으로 하는 원은(p⃗−a⃗)⋅(p⃗−b⃗)=0(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0좌표공간에서는 같은 식이 구를 나타낸다.
학생
(p⃗−a⃗)⋅(p⃗−b⃗)=0(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0 이 왜 지름이 AB 인 원이에요?
쌤
p⃗−a⃗=AP→\vec{p}-\vec{a}=\overrightarrow{AP}, p⃗−b⃗=BP→\vec{p}-\vec{b}=\overrightarrow{BP} 예요. 내적이 00 이면 두 벡터가 수직이라 ∠APB=90∘\angle\mathrm{APB}=90^\circ 이고, 이런 점 P 는 AB 를 지름으로 하는 원 위에 있어요. P 가 A 나 B 이면 한 벡터가 영벡터라 내적이 00 이에요.
성질벡터 조건을 식으로 바꾸기
점 P 에 대한 벡터의 크기·내적 조건은 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 로 놓고 성분으로 바꾸면 원이나 직선의 방정식이 된다.
선분 AB 의 중점을 M 이라 하면 PA→+PB→=2PM→\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM} 이므로
∣PA→+PB→∣=k|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=k 는 중심이 M, 반지름의 길이가 k2\dfrac{k}{2} 인 원이다.
∣PA→∣=∣PB→∣|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}| 는 선분 AB 의 수직이등분선이다.
A(0, 2)\mathrm{A}(0,\ 2), B(4, 0)\mathrm{B}(4,\ 0) 일 때 ∣PA→+PB→∣=4|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=4 인 점 P
M(2, 1)\mathrm{M}(2,\ 1)
↳선분 AB 의 중점
2∣PM→∣=4,∣PM→∣=22|\overrightarrow{PM}|=4,\quad |\overrightarrow{PM}|=2
↳PA→+PB→=2PM→\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}
(x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2+(y-1)^2=4
↳중심 M, 반지름 22 인 원
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
좌표평면에서 a⃗=(2, 0)\vec{a}=(2,\ 0) 일 때, ∣p⃗−a⃗∣=3|\vec{p}-\vec{a}|=3 을 만족하는 점 P 가 나타내는 도형은?
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

내적 조건 PA→⋅PB→=k\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=k 도 성분으로 바꾸면 원이 돼요.
예를 들어 A(0, 0)\mathrm{A}(0,\ 0), B(4, 0)\mathrm{B}(4,\ 0), k=5k=5 이면 x(x−4)+y2=5x(x-4)+y^2=5 에서 (x−2)2+y2=9(x-2)^2+y^2=9 예요.
중심은 이번에도 선분 AB 의 중점이에요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣□\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\square
단계 1 / 2
a⃗⋅b⃗ (성분)=a1□+a2□+a3□\vec{a}\cdot\vec{b}\ (\text{성분})=a_1\square+a_2\square+a_3\square
단계 1 / 2
∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+□+∣b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+\square+|\vec{b}|^2
단계 1 / 2
a⃗⊥b⃗=a⃗⋅b⃗=□\vec{a}\perp\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}=\square
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1두 벡터 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 가 이루는 각의 크기가 θ\theta (0≤θ≤π)(0\le\theta\le\pi) 일 때 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta 이다. 내적은 벡터가 아니라 실수이다.
  2. 2성분으로는 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 (평면벡터는 a1b1+a2b2a_1b_1+a_2b_2)이다.
  3. 3cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} 로 각을 구하고, a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0 이다.
  4. 4a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 이므로 크기는 제곱하여 전개한다: ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2
  5. 5중심의 위치벡터가 c⃗\vec{c} 인 원(구)은 ∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=r, 선분 AB 를 지름으로 하는 원(구)은 (p⃗−a⃗)⋅(p⃗−b⃗)=0(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} 를 구할 때 ∠B\angle B 를 이루는 각으로 써요. 시점을 같게 놓아야 하므로 이루는 각은 π−∠B\pi-\angle B 이에요.
  • ∣a⃗+b⃗∣2|\vec{a}+\vec{b}|^2 을 ∣a⃗∣2+∣b⃗∣2|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 으로 전개하여 2a⃗⋅b⃗2\vec{a}\cdot\vec{b} 를 빠뜨려요.
  • a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 를 성분끼리 곱한 벡터 (a1b1, a2b2, a3b3)(a_1b_1,\ a_2b_2,\ a_3b_3) 로 써요. 내적은 그 성분들을 모두 더한 실수예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    ∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3 이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가 23π\dfrac{2}{3}\pi 일 때, (a⃗+b⃗)⋅(a⃗−2b⃗)(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b}) 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    두 벡터 a⃗=(1, 0, 1)\vec{a}=(1,\ 0,\ 1), b⃗=(1, 1, 0)\vec{b}=(1,\ 1,\ 0) 이 이루는 각의 크기 θ\theta 를 구하시오.
  3. 예제 3
    ∣a⃗∣=2|\vec{a}|=2, ∣b⃗∣=3|\vec{b}|=3, ∣a⃗−b⃗∣=7|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7} 일 때, ∣a⃗+2b⃗∣|\vec{a}+2\vec{b}| 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 벡터를 이용한 직선의 방정식 →
이전 개념: 위치벡터와 벡터의 성분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 대수 삼각함수의 뜻과 관계, 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이, 공통수학1 다항식의 곱셈과 곱셈공식기하 목차
← 위치벡터와 벡터의 성분벡터를 이용한 직선의 방정식 →
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