수학 개념 노트전체 과목

벡터를 이용한 직선의 방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
점 A 를 지나고 방향벡터가 u⃗\vec{u} 인 직선은 p⃗=a⃗+tu⃗\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}, 성분으로는 x−x1u1=y−y1u2=z−z1u3\dfrac{x-x_1}{u_1}=\dfrac{y-y_1}{u_2}=\dfrac{z-z_1}{u_3} 이에요. 두 직선이 이루는 각·평행·수직은 방향벡터로 판단하고, 좌표평면에서는 법선벡터 (a, b)(a,\ b) 로 a(x−x1)+b(y−y1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)=0 을 세워요.
  1. 1직선의 벡터방정식
  2. 2성분으로 나타낸 직선의 방정식
  3. 3두 점을 지나는 직선
  4. 4두 직선이 이루는 각, 평행과 수직
  5. 5법선벡터를 이용한 직선의 방정식
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1직선의 벡터방정식

정의방향벡터
점 A 를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 u⃗\vec{u} 에 평행한 직선 ll 은 하나로 정해진다.
이때 u⃗\vec{u} 를 직선 ll 의 방향벡터 라 한다.
방향벡터에 00 이 아닌 실수를 곱한 벡터도 같은 직선의 방향벡터이다.
성질직선의 벡터방정식
직선 ll 위의 점 P 의 위치벡터를 p⃗\vec{p} 라 하면 AP→\overrightarrow{AP} 는 u⃗\vec{u} 와 평행하거나 영벡터이다.
AP→=tu⃗\overrightarrow{AP}=t\vec{u} 이므로 p⃗−a⃗=tu⃗\vec{p}-\vec{a}=t\vec{u}
p⃗=a⃗+tu⃗(t 는 실수)\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\quad(t\text{ 는 실수})tt 의 값이 하나 정해질 때마다 직선 위의 점이 하나 정해진다. 이 tt 를 매개변수 라 한다.
학생
tt 는 무슨 역할을 해요?
쌤
tt 가 실수 전체를 움직이면, A 에서 u⃗\vec{u} 방향으로 tt 배만큼 간 점 P 가 직선 전체를 지나가요. t=0t=0 이면 점 A 예요.
직선의 벡터방정식
l
a⃗\vec{a}
p⃗\vec{p}
u⃗\vec{u}
OAP
점 P 가 직선 ll 위에 있으면 AP→=tu⃗\overrightarrow{AP}=t\vec{u} 이므로 p⃗=a⃗+tu⃗\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 A(위치벡터 a⃗\vec{a})를 지나고 u⃗\vec{u} 에 평행한 직선 위의 점 P 의 위치벡터 p⃗\vec{p} 를 나타낸 식은? (tt 는 실수)

2성분으로 나타낸 직선의 방정식

성질매개변수로 나타낸 방정식
p⃗=(x, y, z)\vec{p}=(x,\ y,\ z), a⃗=(x1, y1, z1)\vec{a}=(x_1,\ y_1,\ z_1), u⃗=(u1, u2, u3)\vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3) 을 p⃗=a⃗+tu⃗\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u} 에 넣고 성분을 비교하면
x=x1+tu1x=x_1+tu_1
y=y1+tu2y=y_1+tu_2
z=z1+tu3z=z_1+tu_3
성질tt 를 없앤 방정식
u1u2u3≠0u_1u_2u_3\ne0 이면 세 식을 각각 tt 에 대하여 풀어 같다고 놓는다.x−x1u1=y−y1u2=z−z1u3\frac{x-x_1}{u_1}=\frac{y-y_1}{u_2}=\frac{z-z_1}{u_3}분자에는 지나는 점의 좌표, 분모에는 방향벡터의 성분이 들어간다.
좌표평면에서는 x−x1u1=y−y1u2\dfrac{x-x_1}{u_1}=\dfrac{y-y_1}{u_2} 이고, 이것은 기울기가 u2u1\dfrac{u_2}{u_1} 인 직선 y−y1=u2u1(x−x1)y-y_1=\dfrac{u_2}{u_1}(x-x_1) 과 같다.
학생
매개변수로 나타낸 식과 tt 를 없앤 식은 언제 각각 써요?
쌤
직선 위의 점을 하나씩 다룰 때(평면과 만나는 점 등)는 매개변수 식이 편하고, 지나는 점과 방향벡터를 한눈에 볼 때는 tt 를 없앤 식이 편해요.
직선의 방정식을 세우는 순서
  1. 1
    지나는 한 점 (x1, y1, z1)(x_1,\ y_1,\ z_1) 을 정해요.
  2. 2
    방향벡터 (u1, u2, u3)(u_1,\ u_2,\ u_3) 을 정해요.
    두 점이 주어지면 AB→\overrightarrow{AB} 를 써요.
  3. 3
    x−x1u1=y−y1u2=z−z1u3\dfrac{x-x_1}{u_1}=\dfrac{y-y_1}{u_2}=\dfrac{z-z_1}{u_3} 에 넣어요.
    좌표가 음수이면 x−(−2)=x+2x-(-2)=x+2 처럼 부호를 바꾸어 써요.
  4. 4
    성분 중 00 이 있으면 그 성분은 따로 y=y1y=y_1 처럼 써요.
직선의 방정식 세우기
(1, −2, 3),(2, 1, −1)(1,\ -2,\ 3),\quad (2,\ 1,\ -1)
↳지나는 점, 방향벡터
x−12=y+21=z−3−1\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}
↳분자는 점, 분모는 방향벡터
x−12=y+2=z−3−1\dfrac{x-1}{2}=y+2=\dfrac{z-3}{-1}
↳분모가 11 이면 생략
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (2, −1, 0)(2,\ -1,\ 0) 을 지나고 방향벡터가 (3, 1, −2)(3,\ 1,\ -2) 인 직선의 방정식은?
⚠ 주의방향벡터의 성분이 0 일 때
u2=0u_2=0 이면 매개변수 식에서 y=y1y=y_1 이 되어 tt 와 관계없이 일정해요.
점 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3) 을 지나고 방향벡터가 (2, 0, 3)(2,\ 0,\ 3) 인 직선은
x−12=z−33, y=−2\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z-3}{3},\ y=-2
두 성분이 00 이면, 예를 들어 u⃗=(0, 0, 1)\vec{u}=(0,\ 0,\ 1) 이면 x=x1, y=y1x=x_1,\ y=y_1 이에요.
분모에 0 을 쓰기
✗ 틀린 풀이
x−12=y+20=z−33\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-3}{3}
왜 틀렸나 분모가 00 인 분수는 없으므로 방향벡터의 성분이 00 인 좌표는 따로 등식으로 쓴다.
✓ 바른 풀이
x−12=z−33, y=−2\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z-3}{3},\ y=-2
분모가 00 인 분수는 없어요.
00 인 성분은 매개변수 식 y=−2+0⋅t=−2y=-2+0\cdot t=-2 로 돌아가서 따로 써요.

3두 점을 지나는 직선

성질두 점을 지나는 직선의 방정식
두 점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1), B(x2, y2, z2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2) 를 지나는 직선은 AB→=(x2−x1, y2−y1, z2−z1)\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1) 을 방향벡터로 가진다.x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}(단, x1≠x2x_1\ne x_2, y1≠y2y_1\ne y_2, z1≠z2z_1\ne z_2)
벡터방정식으로는 p⃗=a⃗+t(b⃗−a⃗)\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}) 이다.
학생
지나는 점은 A 와 B 가운데 어느 것을 써야 해요?
쌤
아무거나 써도 돼요. 식 모양은 달라 보여도 같은 직선이에요. 방향벡터도 BA→\overrightarrow{BA} 를 써도 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(1, 0, 2)\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2), B(3, 4, 1)\mathrm{B}(3,\ 4,\ 1) 을 지나는 직선의 방향벡터로 알맞은 것은?
점의 좌표와 방향벡터 섞기
✗ 틀린 풀이
A(1, 2, 0)\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0), B(3, 5, 4)\mathrm{B}(3,\ 5,\ 4) 를 지나는 직선
x−13=y−25=z4\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{z}{4}
왜 틀렸나 직선의 방정식의 분모에는 방향벡터 AB→\overrightarrow{AB} 의 성분, 즉 두 점의 좌표의 차가 들어간다.
✓ 바른 풀이
x−12=y−23=z4\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{4}
분모에는 점 B 의 좌표가 아니라 방향벡터 AB→=(2, 3, 4)\overrightarrow{AB}=(2,\ 3,\ 4) 의 성분이 들어가요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질점이 직선 위에 있는지 확인
점의 좌표를 직선의 방정식에 넣어 세 분수의 값이 모두 같으면(같은 tt 가 나오면) 직선 위의 점이다.
직선 x−12=y+2=z−3−1\dfrac{x-1}{2}=y+2=\dfrac{z-3}{-1} 에서
점 (5, 0, 1)(5,\ 0,\ 1) 은 42=2=−2−1\dfrac{4}{2}=2=\dfrac{-2}{-1} 이므로 직선 위에 있다(t=2t=2).
점 (3, −1, 1)(3,\ -1,\ 1) 은 22=1\dfrac{2}{2}=1, 11, −2−1=2\dfrac{-2}{-1}=2 로 값이 다르므로 직선 위에 있지 않다.

4두 직선이 이루는 각, 평행과 수직

성질두 직선이 이루는 각
두 직선의 방향벡터를 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} 라 하자.
두 직선이 이루는 각 θ\theta 는 0≤θ≤π20\le\theta\le\dfrac{\pi}{2} 인 쪽으로 잡는다.cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣=∣u1v1+u2v2+u3v3∣u12+u22+u32v12+v22+v32\cos\theta=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{|u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}방향벡터의 방향을 반대로 잡아도 같은 직선이므로, 둔각이 나오면 보각을 택하도록 절댓값을 붙인다.
학생
두 직선이 이루는 각은 두 방향벡터가 이루는 각과 같아요?
쌤
방향벡터로 구하지만, 직선끼리의 각은 90∘90^\circ 이하로 잡아요. 그래서 cos⁡θ\cos\theta 를 구할 때 내적에 절댓값을 붙여요.
공식두 직선의 평행과 수직
평행
v⃗=ku⃗ (k≠0)\displaystyle \vec{v}=k\vec{u}\ (k\ne0)
방향벡터의 대응하는 성분의 비가 같다.
수직
u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3=0\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0
공간에서는 만나지 않아도 방향벡터가 수직이면 두 직선은 수직이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 직선의 방향벡터가 (1, 2, −1)(1,\ 2,\ -1), (2, k, 4)(2,\ k,\ 4) 일 때, 두 직선이 수직이 되는 kk 의 값은?
두 직선이 이루는 각의 범위
✗ 틀린 풀이
방향벡터 (1, 2, −1)(1,\ 2,\ -1), (−2, −1, −1)(-2,\ -1,\ -1) 에서
cos⁡θ=−36=−12\cos\theta=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2} 이므로 θ=120∘\theta=120^\circ
왜 틀렸나 두 직선이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하이므로 cos⁡θ\cos\theta 를 구할 때 내적에 절댓값을 붙인다.
✓ 바른 풀이
cos⁡θ=∣−3∣6=12\cos\theta=\dfrac{|-3|}{6}=\dfrac{1}{2} 이므로 θ=60∘\theta=60^\circ
두 직선이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하로 잡아요.
방향벡터가 이루는 각이 120∘120^\circ 이면 두 직선이 이루는 각은 60∘60^\circ 이에요.
자세히 보기펼치기그림
두 직선이 이루는 각
θ
u⃗\vec{u}
v⃗\vec{v}
X
방향벡터 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} 가 이루는 각이 둔각이면 두 직선이 이루는 각 θ\theta 는 그 보각이에요.

5법선벡터를 이용한 직선의 방정식

정의법선벡터
좌표평면에서 직선 ll 에 수직인 영벡터가 아닌 벡터를 직선 ll 의 법선벡터 라 한다.
성질법선벡터로 나타낸 직선의 방정식
점 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1) 을 지나고 n⃗=(a, b)\vec{n}=(a,\ b) 에 수직인 직선 위의 점 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 에 대하여 n⃗⊥AP→\vec{n}\perp\overrightarrow{AP} 이므로
n⃗⋅(p⃗−a⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0
a(x−x1)+b(y−y1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
거꾸로, 직선 ax+by+c=0ax+by+c=0 의 법선벡터는 (a, b)(a,\ b) 이고 방향벡터는 (b, −a)(b,\ -a) 이다.
예: 2x+3y−6=02x+3y-6=0 의 법선벡터는 (2, 3)(2,\ 3), 방향벡터는 (3, −2)(3,\ -2)
학생
방향벡터랑 법선벡터는 뭐가 달라요?
쌤
방향벡터는 직선과 평행하고, 법선벡터는 직선에 수직이에요. ax+by+c=0ax+by+c=0 이면 법선벡터는 (a, b)(a,\ b), 방향벡터는 (b, −a)(b,\ -a) 예요.
법선벡터로 나타낸 직선
-1123456-11234xyO
n⃗\vec{n}
x+2y-5=0A
점 A(1, 2)\mathrm{A}(1,\ 2) 를 지나고 n⃗=(1, 2)\vec{n}=(1,\ 2) 에 수직인 직선: (x−1)+2(y−2)=0(x-1)+2(y-2)=0, 곧 x+2y−5=0x+2y-5=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직선 3x−y+5=03x-y+5=0 의 법선벡터로 알맞은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

좌표평면의 두 직선 a1x+b1y+c1=0a_1x+b_1y+c_1=0, a2x+b2y+c2=0a_2x+b_2y+c_2=0 은 법선벡터로 평행·수직을 판단할 수도 있어요.
법선벡터가 평행하면 두 직선은 평행하거나 일치하고, a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0 이면 두 직선은 수직이에요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1점 A(위치벡터 a⃗\vec{a})를 지나고 벡터 u⃗\vec{u} 에 평행한 직선의 벡터방정식은 p⃗=a⃗+tu⃗\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u} (tt 는 실수)이다.
  2. 2A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1), u⃗=(u1, u2, u3)\vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3) 이면 x−x1u1=y−y1u2=z−z1u3\dfrac{x-x_1}{u_1}=\dfrac{y-y_1}{u_2}=\dfrac{z-z_1}{u_3} (u1u2u3≠0u_1u_2u_3\ne0)이다. 두 점을 지나면 AB→\overrightarrow{AB} 를 방향벡터로 쓴다.
  3. 3두 직선이 이루는 각 θ\theta (0≤θ≤π2)\left(0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\right) 는 cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} 이고, 평행이면 v⃗=ku⃗\vec{v}=k\vec{u}, 수직이면 u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0 이다.
  4. 4좌표평면에서 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 n⃗=(a, b)\vec{n}=(a,\ b) 에 수직인 직선은 a(x−x1)+b(y−y1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)=0 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 방향벡터의 성분이 00 인데 y−y10\dfrac{y-y_1}{0} 처럼 분모에 00 을 써요. 00 인 성분은 y=y1y=y_1 로 따로 써요.
  • 두 점을 지나는 직선의 분모에 방향벡터 대신 다른 점의 좌표를 써요.
  • 두 직선이 이루는 각을 구할 때 절댓값을 빼먹어 둔각을 답으로 써요. 두 직선이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 (1, −2, 3)(1,\ -2,\ 3) 을 지나고 방향벡터가 u⃗=(2, 1, −1)\vec{u}=(2,\ 1,\ -1) 인 직선의 방정식을 구하고, 점 (5, 0, 1)(5,\ 0,\ 1) 이 이 직선 위에 있는지 확인하시오.
  2. 예제 2
    두 점 A(1, 0, 2)\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2), B(3, −1, 2)\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2) 를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    두 직선 x−12=y+1=z−1\dfrac{x-1}{2}=y+1=\dfrac{z}{-1}, x+2=y−32=z−1x+2=\dfrac{y-3}{2}=z-1 이 이루는 각의 크기 θ\theta 를 구하시오. (단, 0≤θ≤π2)\left(\text{단, } 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\right)

다음 공부

다음 개념: 벡터를 이용한 평면과 구의 방정식 →
이전 개념: 벡터의 내적설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 직선의 방정식, 공통수학2 두 직선의 위치 관계기하 목차
← 벡터의 내적벡터를 이용한 평면과 구의 방정식 →
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