정의 쌍곡선
평면 위의 서로 다른 두 점 F F F F ′ F' F ′ F F F F ′ F' F ′ 초점 이라 한다.A A A A ′ A' A ′ A A ′ AA' A A ′ 주축 이라 한다. 주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라 한다. 쌤 타원은 두 초점까지의 거리의 합이 일정하고, 쌍곡선은 거리의 차가 일정해요. 그 차가 주축의 길이 2 a 2a 2 a -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y O F F′ P 쌍곡선 x 2 4 − y 2 5 = 1 \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1 4 x 2 − 5 y 2 = 1 P P P ∣ P F ‾ − P F ′ ‾ ∣ = 4 |\overline{PF}-\overline{PF'}|=4 ∣ P F − P F ′ ∣ = 4 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
쌍곡선 위의 점 P P P 7 7 7 3 3 3 + 펼치기 접기 왜 그런지 쌍곡선은 서로 떨어진 두 곡선으로 이루어져요. 초점 F F F P F ′ ‾ − P F ‾ \overline{PF'}-\overline{PF} P F ′ − P F F ′ F' F ′ P F ‾ − P F ′ ‾ \overline{PF}-\overline{PF'} P F − P F ′
거리의 차가 일정하다는 조건은 「∣ P F ‾ − P F ′ ‾ ∣ = 2 a |\overline{PF}-\overline{PF'}|=2a ∣ P F − P F ′ ∣ = 2 a 삼각형의 두 변의 길이의 차 는 나머지 한 변보다 작으므로 2 a < 2 c 2a<2c 2 a < 2 c c > a c>a c > a
이전 개념 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 초점 ( ± a 2 + b 2 , 0 ) (\pm\sqrt{a^2+b^2},\ 0) ( ± a 2 + b 2 , 0 ) ( ± a , 0 ) (\pm a,\ 0) ( ± a , 0 ) 2 a 2a 2 a x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1 \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = − 1 초점 ( 0 , ± a 2 + b 2 ) (0,\ \pm\sqrt{a^2+b^2}) ( 0 , ± a 2 + b 2 ) ( 0 , ± b ) (0,\ \pm b) ( 0 , ± b ) 2 b 2b 2 b 점근선 (두 경우 모두)
y = ± b a x \displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x y = ± a b x x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 0 y y y 쌤 아니요. 쌍곡선은 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2 1 1 1 x x x − 1 -1 − 1 y y y 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
쌍곡선 x 2 5 − y 2 4 = 1 \frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1 5 x 2 − 4 y 2 = 1 ( ± 1 , 0 ) (\pm1,\ 0) ( ± 1 , 0 ) ( ± 3 , 0 ) (\pm3,\ 0) ( ± 3 , 0 ) ( 0 , ± 3 ) (0,\ \pm3) ( 0 , ± 3 ) + 펼치기 접기 예제 왜 그런지 두 초점 F ( c , 0 ) F(c,\ 0) F ( c , 0 ) F ′ ( − c , 0 ) F'(-c,\ 0) F ′ ( − c , 0 ) 2 a 2a 2 a c > a > 0 c>a>0 c > a > 0 ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = ± 2 a \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = ± 2 a ↳ ◀ 쌍곡선 위의 점을 P ( x , y ) P(x,\ y) P ( x , y ) P F ′ ‾ − P F ‾ = ± 2 a \overline{PF'}-\overline{PF}=\pm2a P F ′ − P F = ± 2 a ( x + c ) 2 + y 2 = ( x − c ) 2 + y 2 ± 2 a \sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\pm2a ( x + c ) 2 + y 2 = ( x − c ) 2 + y 2 ± 2 a ↳ ◀ 근호 하나를 우변으로 옮겨요.
4 c x − 4 a 2 = ± 4 a ( x − c ) 2 + y 2 4cx-4a^2=\pm4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} 4 c x − 4 a 2 = ± 4 a ( x − c ) 2 + y 2 ↳ ◀ 양변을 제곱하여 정리해요.
± a ( x − c ) 2 + y 2 = c x − a 2 \pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=cx-a^2 ± a ( x − c ) 2 + y 2 = c x − a 2 ( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2) ( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) ↳ ◀ 다시 양변을 제곱하여 정리해요.
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 ↳ ◀ c > a c>a c > a c 2 − a 2 > 0 c^2-a^2>0 c 2 − a 2 > 0 b 2 = c 2 − a 2 b^2=c^2-a^2 b 2 = c 2 − a 2 b > 0 b>0 b > 0 a 2 b 2 a^2b^2 a 2 b 2 타원의 방정식 을 유도한 과정과 거의 같아요. 다른 점은 c > a c>a c > a b 2 = c 2 − a 2 b^2=c^2-a^2 b 2 = c 2 − a 2 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2
이전 개념 쌍곡선이 한없이 가까워지는 두 직선 y = ± b a x y=\pm\frac{b}{a}x y = ± a b x 점근선 이라 해요.
쌤 우변의 1 1 1 − 1 -1 − 1 0 0 0 y = ± b a x y=\pm\frac{b}{a}x y = ± a b x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O y = 3 4 x y=\frac{3}{4}x y = 4 3 x y = − 3 4 x y=-\frac{3}{4}x y = − 4 3 x F F′ A A′ x 2 16 − y 2 9 = 1 \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 16 x 2 − 9 y 2 = 1 ( ± 4 , 0 ) (\pm4,\ 0) ( ± 4 , 0 ) ( ± 5 , 0 ) (\pm5,\ 0) ( ± 5 , 0 ) y = ± 3 4 x y=\pm\frac{3}{4}x y = ± 4 3 x 성질 점근선을 구하는 방법과 그리는 방법
쌍곡선의 방정식에서 우변의 1 1 1 − 1 -1 − 1 0 0 0 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 0 ( x a − y b ) ( x a + y b ) = 0 \left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0 ( a x − b y ) ( a x + b y ) = 0 y = ± b a x y=\pm\frac{b}{a}x y = ± a b x ( ± a , ± b ) (\pm a,\ \pm b) ( ± a , ± b ) 이전 개념 초점·꼭짓점·점근선을 구하는 순서
1 2 우변의 부호로 초점이 있는 축을 정해요.
우변이 1 1 1 x x x − 1 -1 − 1 y y y 3 4 x 2 16 − y 2 9 = 1 \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 16 x 2 − 9 y 2 = 1 c 2 = 16 + 9 = 25 c^2=16+9=25 c 2 = 16 + 9 = 25 ( ± 4 , 0 ) , 8 (\pm4,\ 0),\quad 8 ( ± 4 , 0 ) , 8 ↳ ◀ 꼭짓점, 주축의 길이
y = ± 3 4 x y=\pm\frac{3}{4}x y = ± 4 3 x ↳ ◀ 점근선
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
쌍곡선 x 2 4 − y 2 25 = 1 \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1 4 x 2 − 25 y 2 = 1 y = ± 2 5 x y=\pm\dfrac{2}{5}x y = ± 5 2 x y = ± 25 4 x y=\pm\dfrac{25}{4}x y = ± 4 25 x y = ± 5 2 x y=\pm\dfrac{5}{2}x y = ± 2 5 x ✗ 틀린 풀이
x 2 16 − y 2 9 = 1 \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 16 x 2 − 9 y 2 = 1 c 2 = 16 − 9 = 7 c^2=16-9=7 c 2 = 16 − 9 = 7 왜 틀렸나 쌍곡선에서는 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2 c 2 c^2 c 2 ↓ ✓ 바른 풀이
c 2 = 16 + 9 = 25 c^2=16+9=25 c 2 = 16 + 9 = 25 ( ± 5 , 0 ) (\pm5,\ 0) ( ± 5 , 0 ) 쌍곡선에서는 c > a c>a c > a c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2 ( ± 4 , 0 ) (\pm4,\ 0) ( ± 4 , 0 ) 점근선의 기울기
✗ 틀린 풀이
x 2 9 − y 2 16 = 1 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 9 x 2 − 16 y 2 = 1 y = ± 3 4 x y=\pm\frac{3}{4}x y = ± 4 3 x 왜 틀렸나 쌍곡선 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 ± b a \pm\frac{b}{a} ± a b ↓ ✓ 바른 풀이
x 2 9 − y 2 16 = 0 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0 9 x 2 − 16 y 2 = 0 y 2 = 16 9 x 2 y^2=\frac{16}{9}x^2 y 2 = 9 16 x 2 y = ± 4 3 x y=\pm\frac{4}{3}x y = ± 3 4 x 우변을 0 0 0 x 2 9 − y 2 16 = 0 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0 9 x 2 − 16 y 2 = 0 y y y y 2 y^2 y 2 4 4 4 x 2 x^2 x 2 3 3 3 + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 성질 더 보기 왜 그런가x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 y 2 y^2 y 2 x 2 x^2 x 2 y 2 = b 2 a 2 x 2 ( 1 − a 2 x 2 ) y^2=\frac{b^2}{a^2}x^2\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right) y 2 = a 2 b 2 x 2 ( 1 − x 2 a 2 ) ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ a 2 x 2 \frac{a^2}{x^2} x 2 a 2 0 0 0 y 2 y^2 y 2 b 2 a 2 x 2 \frac{b^2}{a^2}x^2 a 2 b 2 x 2 y = ± b a x y=\pm\frac{b}{a}x y = ± a b x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y O y = 4 3 x y=\frac{4}{3}x y = 3 4 x y = − 4 3 x y=-\frac{4}{3}x y = − 3 4 x F F′ x 2 9 − y 2 16 = − 1 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1 9 x 2 − 16 y 2 = − 1 ( 0 , ± 5 ) (0,\ \pm5) ( 0 , ± 5 ) ( 0 , ± 4 ) (0,\ \pm4) ( 0 , ± 4 ) y = ± 4 3 x y=\pm\frac{4}{3}x y = ± 3 4 x x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = − 1 0 0 0
성질 외우는 장치
우변이 1 1 1 x 2 x^2 x 2 − 1 -1 − 1 y 2 y^2 y 2 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2 c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) c^2=(\text{큰 분모})-(\text{작은 분모}) c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) ± ( y 쪽 분모의 양의 제곱근 ) ( x 쪽 분모의 양의 제곱근 ) \pm\frac{(y\text{ 쪽 분모의 양의 제곱근})}{(x\text{ 쪽 분모의 양의 제곱근})} ± ( x 쪽 분모의 양의 제곱근 ) ( y 쪽 분모의 양의 제곱근 ) 우변이 − 1 -1 − 1 x 2 9 − y 2 16 = − 1 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1 9 x 2 − 16 y 2 = − 1 c 2 = 9 + 16 = 25 c^2=9+16=25 c 2 = 9 + 16 = 25 ( 0 , ± 4 ) , 8 (0,\ \pm4),\quad 8 ( 0 , ± 4 ) , 8 ↳ ◀ 꼭짓점, 주축의 길이
y = ± 4 3 x y=\pm\frac{4}{3}x y = ± 3 4 x ↳ ◀ 점근선
초점과 주축의 길이가 주어지면 주축의 길이 2 a 2a 2 a a a a c c c b 2 = c 2 − a 2 b^2=c^2-a^2 b 2 = c 2 − a 2 b b b
두 초점 ( ± 5 , 0 ) (\pm5,\ 0) ( ± 5 , 0 ) 6 6 6 2 a = 6 , a = 3 2a=6,\quad a=3 2 a = 6 , a = 3 b 2 = c 2 − a 2 = 25 − 9 = 16 b^2=c^2-a^2=25-9=16 b 2 = c 2 − a 2 = 25 − 9 = 16 x 2 9 − y 2 16 = 1 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 9 x 2 − 16 y 2 = 1 학생 타원이랑 헷갈려요. 쌍곡선에서는 어느 값이 가장 커요?
쌤 쌍곡선은 c 2 = a 2 + b 2 c^2=a^2+b^2 c 2 = a 2 + b 2 c c c c 2 c^2 c 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
두 초점이 ( ± 5 , 0 ) (\pm5,\ 0) ( ± 5 , 0 ) 8 8 8 x 2 16 − y 2 41 = 1 \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{41}=1 16 x 2 − 41 y 2 = 1 x 2 16 − y 2 9 = 1 \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1 16 x 2 − 9 y 2 = 1 x 2 16 − y 2 9 = − 1 \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=-1 16 x 2 − 9 y 2 = − 1 + 펼치기 접기 예제 성질 더 보기 점근선이 주어진 꼴 꼭짓점 ( ± 1 , 0 ) (\pm1,\ 0) ( ± 1 , 0 ) y = ± 2 x y=\pm2x y = ± 2 x x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 , a = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\quad a=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 , a = 1 b a = 2 , b = 2 \frac{b}{a}=2,\quad b=2 a b = 2 , b = 2 ↳ ◀ 점근선의 기울기
x 2 − y 2 4 = 1 x^2-\frac{y^2}{4}=1 x 2 − 4 y 2 = 1 성질 검산
구한 쌍곡선 위의 꼭짓점에서 두 초점까지의 거리의 차가 주축의 길이인지 확인한다.x 2 9 − y 2 16 = 1 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 9 x 2 − 16 y 2 = 1 ( 3 , 0 ) (3,\ 0) ( 3 , 0 ) ( 5 , 0 ) (5,\ 0) ( 5 , 0 ) ( − 5 , 0 ) (-5,\ 0) ( − 5 , 0 ) 2 2 2 8 8 8 8 − 2 = 6 8-2=6 8 − 2 = 6 성질 평행이동한 쌍곡선
쌍곡선 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 x x x m m m y y y n n n 평행이동 하면( x − m ) 2 a 2 − ( y − n ) 2 b 2 = 1 \frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 a 2 ( x − m ) 2 − b 2 ( y − n ) 2 = 1 ( m , n ) (m,\ n) ( m , n ) ( m ± c , n ) (m\pm c,\ n) ( m ± c , n ) y − n = ± b a ( x − m ) y-n=\pm\frac{b}{a}(x-m) y − n = ± a b ( x − m ) 이전 개념 쌤 아니요. 기울기 ± b a \pm\frac{b}{a} ± a b ( m , n ) (m,\ n) ( m , n ) ( x − 1 ) 2 4 − ( y + 2 ) 2 = 1 \frac{(x-1)^2}{4}-(y+2)^2=1 4 ( x − 1 ) 2 − ( y + 2 ) 2 = 1 x 2 4 − y 2 = 1 → ( 1 , − 2 ) 만큼 이동 \frac{x^2}{4}-y^2=1\ \to\ (1,\ -2)\ \text{만큼 이동} 4 x 2 − y 2 = 1 → ( 1 , − 2 ) 만큼 이동 ↳ ◀ x x x 1 1 1 y y y − 2 -2 − 2 c 2 = 4 + 1 = 5 c^2=4+1=5 c 2 = 4 + 1 = 5 ↳ ◀ 처음 초점 ( ± 5 , 0 ) (\pm\sqrt{5},\ 0) ( ± 5 , 0 ) ( 1 + 5 , − 2 ) , ( 1 − 5 , − 2 ) (1+\sqrt{5},\ -2),\ (1-\sqrt{5},\ -2) ( 1 + 5 , − 2 ) , ( 1 − 5 , − 2 ) ↳ ◀ 초점
y + 2 = ± 1 2 ( x − 1 ) y+2=\pm\frac{1}{2}(x-1) y + 2 = ± 2 1 ( x − 1 ) ↳ ◀ 점근선
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
쌍곡선 ( x − 2 ) 2 9 − ( y − 1 ) 2 4 = 1 \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1 9 ( x − 2 ) 2 − 4 ( y − 1 ) 2 = 1 ( − 2 , − 1 ) (-2,\ -1) ( − 2 , − 1 ) ( 2 , 1 ) (2,\ 1) ( 2 , 1 ) ( 0 , 0 ) (0,\ 0) ( 0 , 0 ) 성질 일반형으로 이차곡선 구별하기
방정식 A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 A A A C C C 0 0 0 포물선 A C > 0 AC>0 A C > 0 타원 (A = C A=C A = C A C < 0 AC<0 A C < 0 이전 개념 학생 x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2 쌤 완전제곱식으로 고쳐도 x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2 4 x 2 − 9 y 2 − 8 x − 36 y − 68 = 0 4x^2-9y^2-8x-36y-68=0 4 x 2 − 9 y 2 − 8 x − 36 y − 68 = 0 4 ( x − 1 ) 2 − 9 ( y + 2 ) 2 = 36 4(x-1)^2-9(y+2)^2=36 4 ( x − 1 ) 2 − 9 ( y + 2 ) 2 = 36 ↳ ◀ x x x y y y ( x − 1 ) 2 9 − ( y + 2 ) 2 4 = 1 \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{4}=1 9 ( x − 1 ) 2 − 4 ( y + 2 ) 2 = 1 ↳ ◀ 양변을 36 36 36 A C < 0 AC<0 A C < 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
방정식 x 2 + 4 y 2 − 2 x + 8 y + 1 = 0 x^2+4y^2-2x+8y+1=0 x 2 + 4 y 2 − 2 x + 8 y + 1 = 0 타원 쌍곡선 포물선
+ 펼치기 접기 왜 그런지 계수만으로 판단하면 틀리는 경우도 있어요.x 2 − y 2 = 0 x^2-y^2=0 x 2 − y 2 = 0 A C < 0 AC<0 A C < 0 y = ± x y=\pm x y = ± x x 2 + y 2 + 1 = 0 x^2+y^2+1=0 x 2 + y 2 + 1 = 0 A C > 0 AC>0 A C > 0