정의 타원
평면 위의 서로 다른 두 점 F F F F ′ F' F ′ F F F F ′ F' F ′ 초점 이라 한다.A A A A ′ A' A ′ F F ′ FF' F F ′ 수직이등분선 이 타원과 만나는 두 점을 B B B B ′ B' B ′ A A A A ′ A' A ′ B B B B ′ B' B ′ A A ′ AA' A A ′ 장축 , 선분 B B ′ BB' B B ′ 이전 개념 쌤 원은 한 점까지의 거리가 일정하고, 타원은 두 점(초점)까지의 거리의 합이 일정해요. 그 합이 장축의 길이 2 a 2a 2 a -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O F F′ P 타원 x 2 25 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 25 x 2 + 9 y 2 = 1 P P P P F ‾ + P F ′ ‾ = 10 \overline{PF}+\overline{PF'}=10 P F + P F ′ = 10 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합이 10 10 10 + 펼치기 접기 왜 그런지 거리의 합이 일정하다는 조건은 「P F ‾ + P F ′ ‾ = 2 a \overline{PF}+\overline{PF'}=2a P F + P F ′ = 2 a 2 a 2a 2 a 2 a > 2 c 2a>2c 2 a > 2 c P P P F F ′ FF' F F ′
초점이 x x x a > b > 0 a>b>0 a > b > 0 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 초점 ( ± a 2 − b 2 , 0 ) (\pm\sqrt{a^2-b^2},\ 0) ( ± a 2 − b 2 , 0 ) ( ± a , 0 ) (\pm a,\ 0) ( ± a , 0 ) ( 0 , ± b ) (0,\ \pm b) ( 0 , ± b ) 2 a 2a 2 a 2 b 2b 2 b 초점이 y y y b > a > 0 b>a>0 b > a > 0 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 초점 ( 0 , ± b 2 − a 2 ) (0,\ \pm\sqrt{b^2-a^2}) ( 0 , ± b 2 − a 2 ) ( ± a , 0 ) (\pm a,\ 0) ( ± a , 0 ) ( 0 , ± b ) (0,\ \pm b) ( 0 , ± b ) 2 b 2b 2 b 2 a 2a 2 a 학생 초점이 x x x y y y 쌤 분모가 큰 쪽 축 위에 있어요. c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) c^2=(\text{큰 분모})-(\text{작은 분모}) c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O F F′ x 2 9 + y 2 25 = 1 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 9 x 2 + 25 y 2 = 1 y y y ( 0 , ± 4 ) (0,\ \pm4) ( 0 , ± 4 ) 초점·장축·단축을 구하는 순서
1 4 x 2 + y 2 = 16 4x^2+y^2=16 4 x 2 + y 2 = 16 16 16 16 2 두 분모의 크기를 비교해요.
큰 분모가 있는 문자의 축 위에 초점과 장축이 있어요.
3 4 꼭짓점은 각 축 위에서 ± 분모 \pm\sqrt{\text{분모}} ± 분모 x 2 25 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 25 x 2 + 9 y 2 = 1 c 2 = 25 − 9 = 16 c^2=25-9=16 c 2 = 25 − 9 = 16 2 ⋅ 5 = 10 , 2 ⋅ 3 = 6 2\cdot5=10,\quad 2\cdot3=6 2 ⋅ 5 = 10 , 2 ⋅ 3 = 6 ↳ ◀ 장축·단축의 길이
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
타원 x 2 16 + y 2 7 = 1 \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 16 x 2 + 7 y 2 = 1 ( ± 23 , 0 ) (\pm\sqrt{23},\ 0) ( ± 23 , 0 ) ( ± 3 , 0 ) (\pm3,\ 0) ( ± 3 , 0 ) ( 0 , ± 3 ) (0,\ \pm3) ( 0 , ± 3 ) ✗ 틀린 풀이
x 2 25 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 25 x 2 + 9 y 2 = 1 c 2 = 25 + 9 = 34 c^2=25+9=34 c 2 = 25 + 9 = 34 왜 틀렸나 타원에서는 a 2 = b 2 + c 2 a^2=b^2+c^2 a 2 = b 2 + c 2 c 2 c^2 c 2 ↓ ✓ 바른 풀이
c 2 = 25 − 9 = 16 c^2=25-9=16 c 2 = 25 − 9 = 16 ( ± 4 , 0 ) (\pm4,\ 0) ( ± 4 , 0 ) 타원에서는 a 2 = b 2 + c 2 a^2=b^2+c^2 a 2 = b 2 + c 2 c 2 c^2 c 2 ( ± 5 , 0 ) (\pm5,\ 0) ( ± 5 , 0 ) 초점이 놓이는 축
✗ 틀린 풀이
x 2 9 + y 2 25 = 1 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 9 x 2 + 25 y 2 = 1 ( ± 4 , 0 ) (\pm4,\ 0) ( ± 4 , 0 ) 왜 틀렸나 타원의 초점은 분모가 큰 쪽 문자의 축 위에 있으므로 분모의 크기를 먼저 비교해야 한다.
↓ ✓ 바른 풀이
25 > 9 25>9 25 > 9 y y y ( 0 , ± 4 ) (0,\ \pm4) ( 0 , ± 4 ) y 2 y^2 y 2 25 25 25 y y y c 2 = 25 − 9 = 16 c^2=25-9=16 c 2 = 25 − 9 = 16 ( 0 , ± 5 ) (0,\ \pm5) ( 0 , ± 5 ) + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 그림 타원 위의 점을 P ( x , y ) P(x,\ y) P ( x , y ) P F ‾ + P F ′ ‾ = 2 a \overline{PF}+\overline{PF'}=2a P F + P F ′ = 2 a 두 점 사이의 거리 로 써서 정리해요.
이전 개념 두 초점 F ( c , 0 ) F(c,\ 0) F ( c , 0 ) F ′ ( − c , 0 ) F'(-c,\ 0) F ′ ( − c , 0 ) 2 a 2a 2 a a > c > 0 a>c>0 a > c > 0 ( x − c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a ↳ ◀ P F ‾ + P F ′ ‾ = 2 a \overline{PF}+\overline{PF'}=2a P F + P F ′ = 2 a ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x − c ) 2 + y 2 \sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x − c ) 2 + y 2 ↳ ◀ 근호 하나를 옮겨요
4 a ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 c x 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx 4 a ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 c x ↳ ◀ 양변을 제곱해 정리해요
a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − c x a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − c x ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) ↳ ◀ 다시 제곱하여 정리
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 ↳ ◀ a > c a>c a > c a 2 − c 2 = b 2 a^2-c^2=b^2 a 2 − c 2 = b 2 a 2 b 2 a^2b^2 a 2 b 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O a c b A A′ B B′ F F′ 장축 A A ′ ‾ = 2 a \overline{AA'}=2a A A ′ = 2 a B B ′ ‾ = 2 b \overline{BB'}=2b B B ′ = 2 b F ( c , 0 ) F(c,\ 0) F ( c , 0 ) O B F OBF O B F a a a b b b c c c 꼭짓점 B ( 0 , b ) B(0,\ b) B ( 0 , b ) 2 a 2a 2 a B F ‾ = B F ′ ‾ = a \overline{BF}=\overline{BF'}=a B F = B F ′ = a O B F OBF O B F a a a a 2 = b 2 + c 2 a^2=b^2+c^2 a 2 = b 2 + c 2
이전 개념 성질 외우는 장치
분모가 큰 쪽이 장축이다. 초점도 그 축 위에 있다.c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) c^2=(\text{큰 분모})-(\text{작은 분모}) c 2 = ( 큰 분모 ) − ( 작은 분모 ) = = = 우변이 1 1 1 4 x 2 + y 2 = 16 4x^2+y^2=16 4 x 2 + y 2 = 16 x 2 4 + y 2 16 = 1 \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1 4 x 2 + 16 y 2 = 1 c 2 = 16 − 4 = 12 c^2=16-4=12 c 2 = 16 − 4 = 12 ( 0 , ± 2 3 ) (0,\ \pm2\sqrt{3}) ( 0 , ± 2 3 ) ↳ ◀ 초점
거꾸로 초점과 장축(또는 꼭짓점)이 주어지면 a a a b b b c c c a 2 = b 2 + c 2 a^2=b^2+c^2 a 2 = b 2 + c 2
두 초점 ( ± 3 , 0 ) (\pm3,\ 0) ( ± 3 , 0 ) 10 10 10 2 a = 10 , a = 5 2a=10,\quad a=5 2 a = 10 , a = 5 b 2 = 25 − 9 = 16 b^2=25-9=16 b 2 = 25 − 9 = 16 x 2 25 + y 2 16 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 25 x 2 + 16 y 2 = 1 학생 초점이 y y y 쌤 y 2 y^2 y 2 2 b 2b 2 b b 2 = a 2 + c 2 b^2=a^2+c^2 b 2 = a 2 + c 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
두 초점이 ( ± 4 , 0 ) (\pm4,\ 0) ( ± 4 , 0 ) 10 10 10 x 2 25 + y 2 41 = 1 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{41}=1 25 x 2 + 41 y 2 = 1 x 2 25 + y 2 9 = 1 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 25 x 2 + 9 y 2 = 1 x 2 100 + y 2 84 = 1 \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{84}=1 100 x 2 + 84 y 2 = 1 + 펼치기 접기 예제 성질 더 보기 꼭짓점이 주어진 꼴 두 초점 ( ± 2 , 0 ) (\pm2,\ 0) ( ± 2 , 0 ) ( 0 , 3 ) (0,\ 3) ( 0 , 3 ) ↳ ◀ 초점이 x x x ( 0 , 3 ) (0,\ 3) ( 0 , 3 ) a 2 = b 2 + c 2 = 9 + 4 = 13 a^2=b^2+c^2=9+4=13 a 2 = b 2 + c 2 = 9 + 4 = 13 x 2 13 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{9}=1 13 x 2 + 9 y 2 = 1 성질 검산
구한 타원 위의 꼭짓점 하나에서 두 초점까지의 거리의 합이 장축의 길이인지 확인한다.x 2 25 + y 2 16 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 25 x 2 + 16 y 2 = 1 ( 0 , 4 ) (0,\ 4) ( 0 , 4 ) ( 3 , 0 ) (3,\ 0) ( 3 , 0 ) 5 5 5 5 + 5 = 10 5+5=10 5 + 5 = 10 성질 타원 위의 점과 두 초점이 만드는 삼각형
타원 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 a > b > 0 a>b>0 a > b > 0 F F F F ′ F' F ′ P P P P F ‾ + P F ′ ‾ = 2 a \overline{PF}+\overline{PF'}=2a P F + P F ′ = 2 a F F ′ ‾ = 2 c \overline{FF'}=2c F F ′ = 2 c P F F ′ PFF' P F F ′ 2 a + 2 c 2a+2c 2 a + 2 c P P P 학생 점 P P P 쌤 P F ‾ + P F ′ ‾ \overline{PF}+\overline{PF'} P F + P F ′ 2 a 2a 2 a F F ′ ‾ = 2 c \overline{FF'}=2c F F ′ = 2 c x 2 25 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 25 x 2 + 9 y 2 = 1 P P P F F F F ′ F' F ′ P F ‾ + P F ′ ‾ = 10 \overline{PF}+\overline{PF'}=10 P F + P F ′ = 10 ↳ ◀ 장축의 길이
F F ′ ‾ = 8 \overline{FF'}=8 F F ′ = 8 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
타원 x 2 9 + y 2 5 = 1 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 9 x 2 + 5 y 2 = 1 P P P F F F F ′ F' F ′ P F F ′ PFF' P F F ′ + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 초점 F F F A A A B B B A B ‾ = A F ‾ + F B ‾ \overline{AB}=\overline{AF}+\overline{FB} A B = A F + F B
A B ‾ + A F ′ ‾ + B F ′ ‾ = ( A F ‾ + A F ′ ‾ ) + ( B F ‾ + B F ′ ‾ ) \overline{AB}+\overline{AF'}+\overline{BF'}=(\overline{AF}+\overline{AF'})+(\overline{BF}+\overline{BF'}) A B + A F ′ + B F ′ = ( A F + A F ′ ) + ( B F + B F ′ ) = 2 a + 2 a = 4 a =2a+2a=4a = 2 a + 2 a = 4 a 성질 평행이동한 타원
타원 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 x x x m m m y y y n n n 평행이동 하면( x − m ) 2 a 2 + ( y − n ) 2 b 2 = 1 \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 a 2 ( x − m ) 2 + b 2 ( y − n ) 2 = 1 ( m , n ) (m,\ n) ( m , n ) 이전 개념 쌤 먼저 중심이 원점인 타원에서 c c c ( ± c , 0 ) (\pm c,\ 0) ( ± c , 0 ) ( m ± c , n ) (m\pm c,\ n) ( m ± c , n ) ( x − 1 ) 2 25 + ( y + 2 ) 2 9 = 1 \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 25 ( x − 1 ) 2 + 9 ( y + 2 ) 2 = 1 x 2 25 + y 2 9 = 1 → ( 1 , − 2 ) 만큼 이동 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\ \to\ (1,\ -2)\ \text{만큼 이동} 25 x 2 + 9 y 2 = 1 → ( 1 , − 2 ) 만큼 이동 ↳ ◀ x x x 1 1 1 y y y − 2 -2 − 2 ( 0 , 0 ) → ( 1 , − 2 ) (0,\ 0)\to(1,\ -2) ( 0 , 0 ) → ( 1 , − 2 ) ↳ ◀ 중심
( ± 4 , 0 ) → ( 5 , − 2 ) , ( − 3 , − 2 ) (\pm4,\ 0)\to(5,\ -2),\ (-3,\ -2) ( ± 4 , 0 ) → ( 5 , − 2 ) , ( − 3 , − 2 ) ↳ ◀ 초점
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
타원 ( x + 1 ) 2 4 + ( y − 3 ) 2 9 = 1 \frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}=1 4 ( x + 1 ) 2 + 9 ( y − 3 ) 2 = 1 ( 1 , − 3 ) (1,\ -3) ( 1 , − 3 ) ( − 1 , 3 ) (-1,\ 3) ( − 1 , 3 ) ( − 1 , − 3 ) (-1,\ -3) ( − 1 , − 3 )