수학 개념 노트전체 과목

포물선

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평면 위의 한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이 포물선이에요. 초점이 (p, 0)(p,\ 0), 준선이 x=−px=-p 이면 y2=4pxy^2=4px, 초점이 (0, p)(0,\ p), 준선이 y=−py=-p 이면 x2=4pyx^2=4py 이에요.
  1. 1포물선의 정의
  2. 2포물선의 방정식
  3. 3초점과 준선이 주어질 때 방정식 구하기
  4. 4평행이동한 포물선
  5. 5정의를 이용한 거리
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1포물선의 정의

정의포물선
평면 위의 한 점 FF 와 점 FF 를 지나지 않는 한 직선 ll 이 있을 때, 점 FF 까지의 거리와 직선 ll 까지의 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
이때 점 FF 를 포물선의 초점, 직선 ll 을 포물선의 준선이라 한다.
학생
이차함수의 그래프인 포물선이랑 같은 거예요?
쌤
네, 같은 곡선이에요. 여기서는 모양 대신 「초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다」는 성질로 정의한 거예요.
정의포물선의 축과 꼭짓점
초점 FF 를 지나고 준선 ll 에 수직인 직선을 포물선의 축이라 하고, 축과 포물선이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다.

꼭짓점은 초점과 준선의 한가운데에 있어요. 꼭짓점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같기 때문이에요.

-2-1123456-5-4-3-2-112345xyO
준선 ll
FPH
포물선 y2=4xy^2=4x: 점 P(4, 4)P(4,\ 4) 에서 PF‾=PH‾=5\overline{PF}=\overline{PH}=5

그림에서 점 PP 에서 준선에 내린 수선의 발을 HH 라 하면 포물선 위의 모든 점 PP 에 대하여PF‾=PH‾\overline{PF}=\overline{PH}이에요. 「준선까지의 거리」는 수선의 길이 PH‾\overline{PH} 이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
초점이 F(3, 0)F(3,\ 0), 준선이 x=1x=1 인 포물선의 꼭짓점은?

2포물선의 방정식

공식포물선의 방정식 (꼭짓점이 원점)
초점이 xx 축 위
y2=4px\displaystyle y^2=4px
초점 (p, 0)(p,\ 0), 준선 x=−px=-p, 축은 xx 축
p>0p>0 이면 오른쪽, p<0p<0 이면 왼쪽으로 열린다.
초점이 yy 축 위
x2=4py\displaystyle x^2=4py
초점 (0, p)(0,\ p), 준선 y=−py=-p, 축은 yy 축
p>0p>0 이면 위쪽, p<0p<0 이면 아래쪽으로 열린다.
학생
포물선의 방정식에서 초점과 준선은 어떻게 읽어요?
쌤
y2=4pxy^2=4px 이면 초점 (p, 0)(p,\ 0), 준선 x=−px=-p 예요. 일차항의 계수를 4p4p 로 놓고 pp 부터 구하는 게 핵심이에요.
-5-4-3-2-112345-2-112345xyO
준선 y=−1y=-1
F
포물선 x2=4yx^2=4y: 초점 (0, 1)(0,\ 1), 준선 y=−1y=-1, 축은 yy 축
초점과 준선을 구하는 순서
  1. 1
    제곱인 문자와 일차인 문자를 확인해요.
    y2=⋯xy^2=\cdots x 이면 초점은 xx 축 위, x2=⋯yx^2=\cdots y 이면 초점은 yy 축 위
  2. 2
    일차인 문자의 계수를 4p4p 로 놓고 pp 를 구해요.
    계수가 88 이면 4p=84p=8 에서 p=2p=2
  3. 3
    초점과 준선을 써요.
    준선은 초점의 좌표의 부호를 바꾼 직선이에요.
y2=8xy^2=8x
4p=8,p=24p=8,\quad p=2
(2, 0)(2,\ 0)
↳초점
x=−2x=-2
↳준선
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
포물선 y2=12xy^2=12x 의 초점은?
4p4p 와 pp
✗ 틀린 풀이
y2=8xy^2=8x 의 초점은
(8, 0)(8,\ 0)
왜 틀렸나 포물선 y2=4pxy^2=4px 의 초점은 (p, 0)(p,\ 0) 이므로 일차항의 계수를 44 로 나눈 pp 를 써야 한다.
✓ 바른 풀이
4p=84p=8 에서 p=2p=2
초점은 (2, 0)(2,\ 0)
초점의 좌표는 일차항의 계수 4p4p 가 아니라 그 14\frac{1}{4} 인 pp 이에요.
초점이 놓이는 축
✗ 틀린 풀이
x2=4yx^2=4y 의 초점은
(1, 0)(1,\ 0)
왜 틀렸나 x2=4pyx^2=4py 처럼 일차인 문자가 yy 이면 초점은 yy 축 위의 점 (0, p)(0,\ p) 이다.
✓ 바른 풀이
x2=4yx^2=4y 의 초점은
(0, 1)(0,\ 1)
일차인 문자가 yy 이므로 초점은 yy 축 위에 있어요.
포물선은 yy 축을 축으로 하여 위로 열려요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 4성질 더 보기

포물선의 방정식은 포물선 위의 모든 점이 만족하는 식이에요. 그래서 포물선 위의 아무 점을 P(x, y)P(x,\ y) 로 놓고 정의 PF‾=PH‾\overline{PF}=\overline{PH} 를 두 점 사이의 거리로 써요.

초점 F(p, 0)F(p,\ 0), 준선 x=−px=-p 인 포물선의 방정식 (p≠0p\ne0)
PF‾=(x−p)2+y2\overline{PF}=\sqrt{(x-p)^2+y^2}
↳두 점 사이의 거리
PH‾=∣x+p∣\overline{PH}=|x+p|
↳H(−p, y)H(-p,\ y): PP 와 yy 좌표가 같아요
(x−p)2+y2=∣x+p∣\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|
↳PF‾=PH‾\overline{PF}=\overline{PH}
(x−p)2+y2=(x+p)2(x-p)^2+y^2=(x+p)^2
↳양변이 00 이상이라 제곱해요
y2=4pxy^2=4px
↳x2x^2, p2p^2 이 지워져요
초점이 F(0, p)F(0,\ p), 준선이 y=−py=-p 이면
x2+(y−p)2=(y+p)2x^2+(y-p)^2=(y+p)^2
↳같은 방법
x2=4pyx^2=4py
↳xx 와 yy 의 역할만 바뀌어요
성질틀로 외우기
y2=4□xy^2=4\square x 이면 초점 (□, 0)(\square,\ 0), 준선 x=−□x=-\square
x2=4□yx^2=4\square y 이면 초점 (0, □)(0,\ \square), 준선 y=−□y=-\square
□\square 에는 부호까지 포함한 수를 넣는다.
규칙 문장: 「초점은 일차인 문자의 축 위에, 준선은 꼭짓점을 사이에 두고 초점의 반대편에」
계수가 음수인 꼴
y2=−12xy^2=-12x
4p=−12,p=−34p=-12,\quad p=-3
(−3, 0)(-3,\ 0)
↳초점
x=3x=3
↳준선
p<0p<0
↳왼쪽으로 열려요
xx 와 yy 가 바뀐 꼴
x2=2yx^2=2y
4p=2,p=124p=2,\quad p=\frac{1}{2}
(0, 12)\left(0,\ \frac{1}{2}\right)
↳초점
y=−12y=-\frac{1}{2}
↳준선

3초점과 준선이 주어질 때 방정식 구하기

거꾸로 초점과 준선이 주어지면 초점이 놓인 축으로 꼴을 고르고, 초점의 좌표에서 pp 를 읽어 방정식을 써요.

초점 (0, −2)(0,\ -2), 준선 y=2y=2
x2=4pyx^2=4py
↳초점이 yy 축 위
p=−2p=-2
x2=−8yx^2=-8y
학생
초점과 준선이 원점에서 떨어진 거리가 달라도 돼요?
쌤
꼭짓점이 원점이면 안 돼요. 꼭짓점은 초점과 준선의 한가운데에 있으니까, 초점과 준선은 원점에서 같은 거리에 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
초점이 (3, 0)(3,\ 0), 준선이 x=−3x=-3 인 포물선의 방정식은?
자세히 보기펼치기예제성질 더 보기
준선만 주어진 꼴
꼭짓점이 원점이고 준선이 x=1x=1
−p=1,p=−1-p=1,\quad p=-1
↳준선 x=−px=-p
(−1, 0)(-1,\ 0)
↳초점
y2=−4xy^2=-4x
성질검산
정의로 확인하기
구한 방정식 위의 점을 하나 골라 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같은지 확인한다.
y2=−4xy^2=-4x 위의 점 (−1, 2)(-1,\ 2) 에서
초점 (−1, 0)(-1,\ 0) 까지의 거리는 22
준선 x=1x=1 까지의 거리는 ∣−1−1∣=2|-1-1|=2 ✓

4평행이동한 포물선

공식평행이동한 포물선
(y−n)2=4p(x−m)(y-n)^2=4p(x-m)
꼭짓점 (m, n),초점 (p+m, n),준선 x=−p+m\displaystyle \text{꼭짓점 }(m,\ n),\quad \text{초점 }(p+m,\ n),\quad \text{준선 }x=-p+m
y2=4pxy^2=4px 의 초점 (p, 0)(p,\ 0) 과 준선 x=−px=-p 를 옮긴 것이다.
(x−m)2=4p(y−n)(x-m)^2=4p(y-n)
꼭짓점 (m, n),초점 (m, p+n),준선 y=−p+n\displaystyle \text{꼭짓점 }(m,\ n),\quad \text{초점 }(m,\ p+n),\quad \text{준선 }y=-p+n
학생
(y−n)2=4p(x−m)(y-n)^2=4p(x-m) 처럼 괄호가 있으면 어떻게 봐요?
쌤
y2=4pxy^2=4px 를 xx 축 방향으로 mm, yy 축 방향으로 nn 만큼 옮긴 거예요. 꼭짓점·초점·준선도 똑같이 옮기면 돼요.

yy 끼리 모아 완전제곱식을 만들면 평행이동한 꼴이 보여요.

y2−4y−8x+12=0y^2-4y-8x+12=0 의 꼭짓점·초점·준선
y2−4y=8x−12y^2-4y=8x-12
↳yy 끼리 모으고 나머지는 우변
y2−4y+4=8x−12+4y^2-4y+4=8x-12+4
↳양변에 (−42)2=4\left(\frac{-4}{2}\right)^2=4 를 더해요
(y−2)2=8(x−1)(y-2)^2=8(x-1)
↳y2=8xy^2=8x 를 (1, 2)(1,\ 2) 만큼 이동
4p=8,p=24p=8,\quad p=2
(1, 2),(3, 2),x=−1(1,\ 2),\quad (3,\ 2),\quad x=-1
↳꼭짓점, 초점, 준선
-2-11234567-4-3-2-11234567xyO
준선 x=−1x=-1
VF
y2=8xy^2=8x(점선)를 xx 축 방향으로 11, yy 축 방향으로 22 만큼 평행이동한 (y−2)2=8(x−1)(y-2)^2=8(x-1)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
포물선 (y−1)2=4(x+2)(y-1)^2=4(x+2) 의 꼭짓점은?

준선은 xx 축 방향으로만 움직여요. 준선 x=−px=-p 는 yy 축에 평행한 직선이므로 yy 축 방향으로 옮겨도 그대로예요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가
포물선 y2=4pxy^2=4px 를 xx 축의 방향으로 mm 만큼, yy 축의 방향으로 nn 만큼 평행이동하면 xx 대신 x−mx-m, yy 대신 y−ny-n 을 넣어(y−n)2=4p(x−m)(y-n)^2=4p(x-m)이 돼요. 꼭짓점·초점·준선도 함께 평행이동해요.

5정의를 이용한 거리

성질포물선 위의 점과 초점 사이의 거리
포물선 y2=4pxy^2=4px (p>0p>0) 위의 점 P(x1, y1)P(x_1,\ y_1) 에 대하여PF‾=x1+p\overline{PF}=x_1+p포물선 x2=4pyx^2=4py (p>0p>0) 위의 점 P(x1, y1)P(x_1,\ y_1) 에 대하여PF‾=y1+p\overline{PF}=y_1+p준선까지의 거리 PH‾\overline{PH} 로 바꾼 것이다.
학생
왜 근호 계산 없이 x1+px_1+p 가 돼요?
쌤
초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 바꿨기 때문이에요. 준선 x=−px=-p 까지의 거리는 좌표의 차 x1−(−p)x_1-(-p) 라서 근호가 필요 없어요.
포물선 y2=8xy^2=8x 위의 점 PP 와 초점 FF 사이의 거리가 66 일 때 점 PP 의 xx 좌표
p=2,x=−2p=2,\quad x=-2
↳준선
PF‾=PH‾=x1+2\overline{PF}=\overline{PH}=x_1+2
↳준선까지의 거리로 바꿔요
x1+2=6,x1=4x_1+2=6,\quad x_1=4
y12=32,y1=±42y_1^2=32,\quad y_1=\pm4\sqrt{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
포물선 y2=4xy^2=4x 위의 점 PP 의 xx 좌표가 55 일 때, 초점 FF 에 대하여 PF‾\overline{PF} 는?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

포물선 위의 점에서 초점까지의 거리는 준선까지의 거리와 같아요. 초점까지의 거리는 근호가 있는 식이지만 준선까지의 거리는 좌표의 차이므로 훨씬 쉽게 구할 수 있어요.
y2=4pxy^2=4px (p>0p>0) 위의 점은 x1≥0x_1\ge0 이므로 준선 x=−px=-p 까지의 거리는 x1−(−p)=x1+px_1-(-p)=x_1+p 예요.

xx 와 yy 가 바뀐 꼴
포물선 x2=4yx^2=4y 위의 점 PP 의 yy 좌표가 33 일 때 PF‾\overline{PF}
p=1,y=−1p=1,\quad y=-1
↳준선
PF‾=3+1=4\overline{PF}=3+1=4
↳준선까지의 거리
P(23, 3), F(0, 1): 12+4=4P(2\sqrt{3},\ 3),\ F(0,\ 1):\ \sqrt{12+4}=4
↳검산
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1포물선은 초점 FF 까지의 거리와 준선 ll 까지의 거리가 같은 점들의 집합이다.
  2. 2y2=4pxy^2=4px 의 초점은 (p, 0)(p,\ 0), 준선은 x=−px=-p 이다. x2=4pyx^2=4py 의 초점은 (0, p)(0,\ p), 준선은 y=−py=-p 이다.
  3. 34p4p 를 읽어 pp 를 구한다. 초점은 일차인 문자의 축 위에 있고, 준선은 꼭짓점에 대하여 초점의 반대쪽에 있다.
  4. 4(y−n)2=4p(x−m)(y-n)^2=4p(x-m) 은 y2=4pxy^2=4px 를 평행이동한 것이다. 꼭짓점·초점·준선도 똑같이 평행이동한다.
✗ 자주 하는 실수
  • y2=8xy^2=8x 의 초점을 (8, 0)(8,\ 0) 으로 써요. 일차항의 계수는 4p4p 이므로 p=2p=2, 초점은 (2, 0)(2,\ 0) 이에요.
  • x2=4pyx^2=4py 의 초점을 xx 축 위에 놓아요. 초점은 일차인 문자 yy 의 축 위에 있어요.
  • 평행이동한 포물선에서 꼭짓점만 옮기고 초점을 (p, 0)(p,\ 0) 그대로 쓰거나, 준선을 yy 축 방향으로도 옮겨요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    포물선 y2=12xy^2=12x 의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.
  2. 예제 2
    초점이 F(0, −32)F\left(0,\ -\frac{3}{2}\right) 이고 준선이 y=32y=\frac{3}{2} 인 포물선의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    포물선 x2+4x+4y−8=0x^2+4x+4y-8=0 의 꼭짓점과 초점의 좌표, 준선의 방정식을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 타원 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 점과 직선 사이의 거리, 공통수학2 두 점 사이의 거리, 중3 이차함수와 그래프, 공통수학2 평행이동기하 목차
타원 →
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