수학 개념 노트전체 과목

명제의 증명

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
명제는 가정에서 결론을 바로 이끌어 내거나(직접 증명), 참·거짓이 같은 대우를 증명하거나, 결론을 부정하여 모순을 이끌어 내어(귀류법) 증명해요. n2n^2 이 짝수이면 nn 이 짝수임은 대우로, 2\sqrt{2} 가 무리수임은 귀류법으로 증명해요.
  1. 1증명과 직접 증명
  2. 2대우를 이용한 증명
  3. 3귀류법
  4. 4증명 빈칸 채우기 형식
  5. 5나란히 비교하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1증명과 직접 증명

명제가 참임을 보이려면 몇 가지 예로 확인하는 것으로는 부족하고, 문자를 써서 모든 경우에 성립함을 보여야 해요. 이때 정수와 유리수는 다음과 같이 나타내요.

공식증명에 쓰는 수의 표현 (kk 는 정수)
짝수
2k\displaystyle 2k
홀수
2k+1\displaystyle 2k+1
자연수 범위에서는 2k−12k-1 (kk 는 자연수)로 써도 된다.
33 으로 나눈 나머지
3k,3k+1,3k+2\displaystyle 3k,\quad 3k+1,\quad 3k+2
유리수
mn\displaystyle \frac{m}{n}
m, nm,\ n 은 서로소인 정수, n≠0n\ne 0
정의직접 증명
가정에서 출발하여 정의와 이미 알려진 성질을 차례로 써서 결론을 이끌어 내는 증명 방법을 직접 증명이라 한다.
예
두 홀수의 합은 짝수이다
(2a+1)+(2b+1)(2a+1)+(2b+1)
↳두 홀수(a, ba,\ b 는 정수)
=2a+2b+2=2a+2b+2
↳괄호를 풀어요
=2(a+b+1)=2(a+b+1)
↳22 로 묶어요
a+b+1a+b+1 은 정수이므로 「2×2\times(정수)」, 곧 짝수예요. 두 홀수가 다를 수 있으니 문자도 a, ba,\ b 로 달리 써요.
학생
두 홀수를 둘 다 2k+12k+1 로 쓰면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 둘 다 2k+12k+1 로 쓰면 같은 홀수 두 개만 다루게 돼요. 서로 다른 홀수일 수도 있으니 2a+12a+1, 2b+12b+1 처럼 다른 문자를 써요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 짝수의 합이 짝수임을 증명할 때 두 짝수를 나타내는 방법으로 알맞은 것은? (a, ba,\ b 는 정수)
같은 문자를 쓰는 실수
✗ 틀린 풀이
두 홀수를 2k+12k+1, 2k+12k+1 로 놓고
합 4k+24k+2 가 짝수임을 보인다.
왜 틀렸나 두 홀수는 서로 다를 수 있으므로 2a+12a+1, 2b+12b+1 처럼 서로 다른 문자로 놓아야 한다.
✓ 바른 풀이
두 홀수를 2a+12a+1, 2b+12b+1 로 놓고
합 2(a+b+1)2(a+b+1) 이 짝수임을 보인다.
확인 방법: 증명에서 놓은 식이 33 과 77 처럼 서로 다른 두 홀수도 나타낼 수 있는지 본다.
예를 드는 것은 증명이 아니다
✗ 틀린 풀이
1+3=41+3=4, 5+7=125+7=12 이므로
두 홀수의 합은 짝수이다.
왜 틀렸나 모든 경우에 성립함을 보이려면 예를 드는 대신 임의의 수를 문자로 놓고 보여야 한다.
✓ 바른 풀이
임의의 두 홀수 2a+12a+1, 2b+12b+1 의 합이
2(a+b+1)2(a+b+1) 이므로 짝수이다.
예 하나로 충분한 것은 명제가 거짓임을 보일 때(반례)뿐이다.
자세히 보기펼치기예제
예
정수 nn 이 홀수이면 n2n^2 은 홀수이다
n=2k+1n=2k+1
↳kk 는 정수
n2=4k2+4k+1n^2=4k^2+4k+1
↳전개해요
=2(2k2+2k)+1=2(2k^2+2k)+1
↳「2×2\times(정수)+1+1」 꼴
2k2+2k2k^2+2k 는 정수이므로 n2n^2 은 홀수예요.

2대우를 이용한 증명

명제 p⟶qp\longrightarrow q 와 그 대우 ∼q⟶∼p\sim q\longrightarrow\sim p 는 참·거짓이 같아요. 그래서 명제를 직접 증명하기 어려우면 그 대우를 증명해요. 결론이 「~이다」보다 「~이 아니다」 쪽이 다루기 쉬울 때, 가정이 n2n^2 처럼 복잡하고 결론이 nn 처럼 단순할 때 써요.

예
자연수 nn 에 대하여 n2n^2 이 짝수이면 nn 은 짝수이다
대우: n 이 홀수이면 n2 도 홀수\text{대우: }n\text{ 이 홀수이면 }n^2\text{ 도 홀수}
↳대우를 증명해요
n=2k−1n=2k-1
↳nn 이 홀수(kk 는 자연수)
n2=4k2−4k+1n^2=4k^2-4k+1
↳전개해요
=2(2k2−2k)+1=2(2k^2-2k)+1
↳홀수 꼴
대우 「nn 이 홀수이면 n2n^2 은 홀수이다」를 보인 거예요. 2k2−2k2k^2-2k 는 00 이상의 정수이므로 n2n^2 은 홀수이고, 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이에요.
학생
대우를 증명하면 원래 명제를 증명한 게 맞아요?
쌤
네. 대우가 참이면 원래 명제도 참이에요. 그래서 대우 「nn 이 홀수이면 n2n^2 도 홀수」를 보이면 원래 명제가 증명돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「n2n^2 이 홀수이면 nn 은 홀수이다」를 대우로 증명할 때 증명할 명제는?
대우 대신 역을 증명하는 실수
✗ 틀린 풀이
「n2n^2 이 짝수이면 nn 은 짝수」를 보이려고
n=2kn=2k 이면 n2=4k2=2(2k2)n^2=4k^2=2(2k^2) 이므로 짝수
왜 틀렸나 대우로 증명하려면 원래 결론을 부정한 것을 가정으로 놓고, 원래 가정의 부정을 이끌어 내야 한다.
✓ 바른 풀이
대우 「nn 이 홀수이면 n2n^2 은 홀수」를 보인다.
n2=2(2k2−2k)+1n^2=2(2k^2-2k)+1 이므로 홀수
확인 방법: 증명의 첫 줄에 놓은 가정이 원래 명제의 결론을 부정한 것인지 본다. 여기서는 「nn 이 홀수」로 시작한다.
자세히 보기펼치기예제 2
예
자연수 nn 에 대하여 n2n^2 이 33 의 배수이면 nn 은 33 의 배수이다
대우: n 이 3 의 배수가 아니면 n2 도 아님\text{대우: }n\text{ 이 }3\text{ 의 배수가 아니면 }n^2\text{ 도 아님}
↳대우를 증명해요
n=3k+1n=3k+1
↳나머지가 11 일 때
n2=3(3k2+2k)+1n^2=3(3k^2+2k)+1
↳나머지 11
n=3k+2n=3k+2
↳나머지가 22 일 때
n2=3(3k2+4k+1)+1n^2=3(3k^2+4k+1)+1
↳나머지 11
대우 「nn 이 33 의 배수가 아니면 n2n^2 은 33 의 배수가 아니다」를 보인 거예요(kk 는 00 이상의 정수). 어느 경우나 n2n^2 을 33 으로 나눈 나머지가 11 이므로 대우가 참이고, 주어진 명제도 참이에요.
예가정에 곱이 있을 때
자연수 m, nm,\ n 에 대하여 mnmn 이 홀수이면 m, nm,\ n 은 모두 홀수이다
결론 「mm 과 nn 이 모두 홀수」를 부정하면 「mm 또는 nn 이 짝수」이에요.
대우는 「mm 또는 nn 이 짝수이면 mnmn 은 짝수이다」
mm 이 짝수이면 m=2km=2k (kk 는 자연수)로 놓을 수 있어요.
mn=2knmn=2kn
knkn 은 자연수이므로 mnmn 은 짝수예요. nn 이 짝수일 때도 같아요.
따라서 주어진 명제도 참이에요.

3귀류법

정의귀류법
명제의 결론을 부정하여 가정이나 이미 알려진 사실에 모순이 생김을 보임으로써 원래 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라 한다.
2\sqrt{2} 는 무리수이다
2=mn\sqrt{2}=\frac{m}{n}
↳유리수라고 가정해요
m2=2n2m^2=2n^2
↳양변을 제곱해요
m=2km=2k
↳m2m^2 이 짝수라 mm 도 짝수
4k2=2n24k^2=2n^2
↳대입해요
n2=2k2n^2=2k^2
↳양변을 22 로 나눠요
n 도 짝수n\text{ 도 짝수}
↳n2n^2 이 짝수이므로
처음에 m, nm,\ n 을 서로소인 자연수로 놓았는데, 둘 다 짝수라 공약수 22 를 가져요. 모순이므로 2\sqrt{2} 는 무리수예요.
학생
왜 m, nm,\ n 을 서로소로 놓아요?
쌤
기약분수로 놓아야 나중에 나오는 「m, nm,\ n 이 모두 짝수」라는 결과가 서로소라는 가정과 부딪혀 모순이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
귀류법으로 「3\sqrt{3} 은 무리수이다」를 증명할 때 처음에 가정하는 것은?
귀류법의 가정
✗ 틀린 풀이
2=mn\sqrt{2}=\frac{m}{n} 으로 놓는다.
(m, nm,\ n 은 자연수)
왜 틀렸나 귀류법은 모순을 끌어내야 하므로 m, nm,\ n 이 서로소라는 조건을 처음 가정에 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
2=mn\sqrt{2}=\frac{m}{n} 으로 놓는다.
(m, nm,\ n 은 서로소인 자연수)
바른 증명은 m2=2n2m^2=2n^2 에서 mm, nn 이 모두 짝수임을 보여 「서로소」와 모순되게 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기

결론을 부정하면 모순이 생기므로 결론을 부정할 수 없어요. 따라서 결론이 참이에요. 「무리수이다」처럼 결론을 직접 다루기 어려운 명제에 써요. 무리수는 「유리수가 아닌 실수」이므로 「유리수이다」라고 가정하면 분수로 놓고 계산할 수 있기 때문이에요.
이때 분자·분모를 서로소인 자연수(기약분수)로 놓아야 나중에 모순이 생겨요. 중간에 쓰는 「m2m^2 이 짝수이면 mm 도 짝수」는 위에서 대우로 증명한 사실이에요.

예귀류법의 다른 예
유리수 a, ba,\ b 에 대하여 a+b2=0a+b\sqrt{2}=0 이면 a=0, b=0a=0,\ b=0 이다
먼저 b=0b=0 임을 보여요. 결론을 부정하여 b≠0b\ne 0 이라고 가정해요.
a+b2=0a+b\sqrt{2}=0 에서
2=−ab\sqrt{2}=-\frac{a}{b}
a, ba,\ b 는 유리수이고 b≠0b\ne 0 이므로 우변은 유리수예요.
그러면 2\sqrt{2} 가 유리수가 되어 2\sqrt{2} 가 무리수라는 사실에 모순이에요.
따라서 b=0b=0
이것을 a+b2=0a+b\sqrt{2}=0 에 대입하면
a=0a=0
성질무리수가 들어 있는 등식
a, b, c, da,\ b,\ c,\ d 가 유리수일 때
a+b2=c+d2a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2} 이면 a=c, b=da=c,\ b=d 이다.
이유: 이항하면
(a−c)+(b−d)2=0(a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0
a−c, b−da-c,\ b-d 는 유리수이므로 위의 결과에서
a−c=0, b−d=0a-c=0,\ b-d=0
2\sqrt{2} 대신 3\sqrt{3} 등 다른 무리수여도 마찬가지이다.
서로 같은 복소수의 조건과 같은 모양이다.

4증명 빈칸 채우기 형식

성질예
빈칸 채우기
다음은 2\sqrt{2} 가 무리수임을 귀류법으로 증명한 것이다.
2\sqrt{2} 가 유리수라고 가정하면 2=mn\sqrt{2}=\frac{m}{n} 이고, m, nm,\ n 은 서로소 인 자연수이다.
양변을 제곱하면 m2=2n2m^2=2n^2 이므로 mm 은 짝수이다.
같은 방법으로 nn 도 짝수임을 보이면 처음 가정에 모순이다.
학생
빈칸 채우기 증명은 어떻게 풀어요?
쌤
첫 줄을 보고 증명 방법부터 알아내요. 「대우는」으로 시작하면 대우, 결론의 부정을 가정하면 귀류법이에요. 그다음 빈칸 앞뒤의 식을 비교해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
빈칸이 있는 증명을 읽는 순서
  1. 1
    가정과 결론을 확인해요.
  2. 2
    첫 줄을 보고 증명 방법을 알아내요.
    「대우는」으로 시작하면 대우를 이용한 증명이에요. 결론의 부정을 「가정하면」으로 시작하면 귀류법이에요.
  3. 3
    빈칸 앞뒤의 식을 비교하여 빈칸에 들어갈 식이나 말을 정해요.
  4. 4
    빈칸을 채운 뒤 처음부터 다시 읽어 논리가 이어지는지 확인해요.
    마지막 줄이 결론이나 모순으로 끝나야 해요.

5나란히 비교하기

공식세 가지 증명 방법 (명제 p⟶qp\longrightarrow q)
직접 증명
p 에서 출발하여 q 를 이끌어 낸다\displaystyle p\ \text{에서 출발하여}\ q\ \text{를 이끌어 낸다}
대우 이용
∼q 에서 출발하여 ∼p 를 이끌어 낸다\displaystyle \sim q\ \text{에서 출발하여}\ \sim p\ \text{를 이끌어 낸다}
명제와 대우의 참·거짓이 같다는 성질을 쓴다.
귀류법
p 와 ∼q 를 함께 가정하여 모순을 이끌어 낸다\displaystyle p\ \text{와}\ \sim q\ \text{를 함께 가정하여 모순을 이끌어 낸다}
모순이 생기므로 qq 가 참이다.
학생
대우를 이용한 증명과 귀류법은 비슷해 보여요.
쌤
둘 다 ∼q\sim q 에서 출발해요. 대우는 도착점이 ∼p\sim p 로 정해져 있고, 귀류법은 어떤 모순이든 이끌어 내면 돼요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질대우를 이용한 증명과 귀류법의 차이
대우를 이용한 증명은 ∼q\sim q 에서 출발하여 정해진 도착점 ∼p\sim p 에 이른다.
귀류법은 ∼q\sim q 를 가정한 뒤 어떤 모순이든 이끌어 내면 된다. 모순은 가정 pp 와 부딪혀도 되고, 처음에 정한 약속(서로소 등)이나 알려진 사실(2\sqrt{2} 는 무리수)과 부딪혀도 된다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1증명은 정의와 이미 참으로 밝혀진 성질을 근거로 명제가 참임을 보이는 과정이다. 가정에서 출발하여 결론을 바로 이끌어 내는 방법을 직접 증명이라 한다.
  2. 2명제와 그 대우는 참·거짓이 같으므로, p⟶qp\longrightarrow q 대신 대우 ∼q⟶∼p\sim q\longrightarrow\sim p 를 증명해도 된다.
  3. 3결론을 부정하면 모순이 생김을 보여 원래 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라 한다(2\sqrt{2} 는 무리수이다).
  4. 4정수는 짝수 2k2k, 홀수 2k+12k+1 처럼 나머지에 따라 문자로 나타내고, 유리수는 서로소인 정수의 분수 mn\frac{m}{n} 으로 나타내어 증명한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 몇 가지 수로 확인한 것을 증명이라고 생각해요(예는 거짓임을 보일 때만 충분해요).
  • 대우를 증명해야 할 때 결론을 가정으로 써서 역을 증명해요.
  • 귀류법에서 2=mn\sqrt{2}=\frac{m}{n} 으로 놓을 때 「m, nm,\ n 은 서로소」라는 조건을 빠뜨려 모순을 만들지 못해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 홀수의 곱은 홀수임을 증명하시오.
  2. 예제 2
    자연수 nn 에 대하여 n2n^2 이 홀수이면 nn 은 홀수임을 대우를 이용하여 증명하시오.
  3. 예제 3
    3\sqrt{3} 이 무리수임을 귀류법으로 증명하시오.

다음 공부

다음 개념: 절대부등식 →
이전 개념: 명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 제곱근과 실수, 중1 정수와 유리수, 중1 최대공약수와 최소공배수, 공통수학1 복소수의 뜻과 서로 같은 복소수공통수학2 목차
← 명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건절대부등식 →
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