수학 개념 노트전체 과목

명제와 조건

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
참·거짓을 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식이 명제이고, 조건 pp 를 참이 되게 하는 원소의 집합이 진리집합 PP 이에요. ∼p\sim p 의 진리집합은 PCP^{C} 이며, 부정하면 「또는」과 「그리고」, 「모든」과 「어떤」이 서로 바뀌어요.
  1. 1명제의 뜻
  2. 2조건과 진리집합
  3. 3조건의 부정과 진리집합
  4. 4「또는」「그리고」와 그 부정
  5. 5「모든」「어떤」이 들어 있는 명제와 그 부정
  6. 6나란히 비교하기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1명제의 뜻

정의명제
참인지 거짓인지를 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제 라 한다.
학생
명제는 참인 문장만 말해요?
쌤
아니요. 참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있으면 거짓인 문장도 명제예요. 「크다」「아름답다」처럼 기준이 흐린 말이 들어 있으면 명제가 아니에요.
예명제인 것과 명제가 아닌 것
「22 는 소수이다」
참인 명제예요.
「3+5=93+5=9」
거짓인 명제예요.
「4\sqrt{4} 는 무리수이다」
4=2\sqrt{4}=2 는 유리수이므로 거짓인 명제예요.
「100100 은 큰 수이다」
「크다」의 기준이 분명하지 않으므로 명제가 아니에요.
「x+2=5x+2=5」
xx 의 값에 따라 참·거짓이 달라지므로 명제가 아니에요. 이런 식은 조건이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 명제가 아닌 것은?

2조건과 진리집합

정의조건
변수를 포함한 문장이나 식 중에서 변수의 값에 따라 참·거짓이 정해지는 것을 조건이라 한다. 조건은 보통 p, q, rp,\ q,\ r 와 같이 나타낸다.
정의진리집합
전체집합 UU 의 원소 중에서 조건 pp 를 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 조건 pp 의 진리집합이라 한다.
조건 p, qp,\ q 의 진리집합은 보통 대문자 P, QP,\ Q 로 나타낸다.
학생
조건은 명제와 무엇이 달라요?
쌤
조건은 변수의 값에 따라 참·거짓이 바뀌어요. 그래서 조건을 참이 되게 하는 값을 모은 진리집합으로 다뤄요.
예진리집합의 예
U={1,2,3,⋯ ,10}U=\{1, 2, 3, \cdots, 10\} 에서 조건 「xx 는 소수이다」의 진리집합은
P={2,3,5,7}P=\{2, 3, 5, 7\}
실수 전체에서 조건 x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 은
(x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2)=0
따라서 진리집합은 Q={1,2}Q=\{1, 2\}
실수 전체에서 조건 2x−1>52x-1>5 는 일차부등식을 풀면 x>3x>3 과 같으므로 진리집합은
R={x∣x>3}R=\{x \mid x>3\}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
U={1, 2, 3, 4, 5, 6}U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} 에서 조건 「xx 는 66 의 약수이다」의 진리집합은?
예전체집합에 따라 달라지는 진리집합
조건 x2=2x^2=2 의 진리집합은 전체집합이 자연수 전체의 집합이면
∅\emptyset
전체집합이 실수 전체의 집합이면
{−2,2}\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

조건은 전체집합의 원소를 「참이 되는 것」과 「거짓이 되는 것」으로 나눠요. 참이 되는 쪽을 모은 것이 진리집합이에요. 전체집합에 대한 말이 없으면 전체집합은 실수 전체의 집합으로 생각해요.
진리집합의 포함 관계로 명제의 참·거짓을 판별해요.

진리집합을 구하는 순서
  1. 1
    전체집합 UU 를 확인해요.
    전체집합이 다르면 진리집합도 달라져요.
  2. 2
    UU 의 원소 중 조건을 참이 되게 하는 것만 모아요.
  3. 3
    원소나열법이나 조건제시법으로 나타내요.
    부등식 조건이면 {x∣x>3}\{x \mid x>3\} 처럼 범위로 나타내요.
성질항상 참인 조건과 항상 거짓인 조건
조건 pp 가 UU 의 모든 원소에 대하여 참이면 P=UP=U 이다.
예: 실수 전체에서 x2+1>0x^2+1>0 의 진리집합은 실수 전체의 집합
조건 pp 를 참이 되게 하는 원소가 없으면 P=∅P=\emptyset 이다.
예: 실수 전체에서 x2<0x^2<0 의 진리집합은 ∅\emptyset

3조건의 부정과 진리집합

정의부정
명제 또는 조건 pp 에 대하여 「pp 가 아니다」를 pp 의 부정이라 하고, 기호로 ∼p\sim p 와 같이 나타낸다.

조건 pp 의 진리집합이 PP 이면, ∼p\sim p 를 참이 되게 하는 원소는 pp 를 거짓이 되게 하는 원소, 곧 PP 에 속하지 않는 원소예요. 따라서 ∼p\sim p 의 진리집합은 PP 의 여집합 PCP^{C} 이에요.

예
U={1, 2, 3, 4, 5, 6}U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}, 조건 pp 는 「xx 는 66 의 약수이다」
UP
1, 2, 3, 61,\ 2,\ 3,\ 6
4, 54,\ 5
  • PPpp 가 참 — {1, 2, 3, 6}\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}
  • PCP^{C}∼p\sim p 「66 의 약수가 아니다」가 참 — {4, 5}\{4,\ 5\} (칠한 곳)
PP 의 원 밖이 곧 ∼p\sim p 의 진리집합 PCP^{C} 예요.
공식자주 쓰는 조건의 부정
x=ax=a
x≠a\displaystyle x\ne a
x>ax>a
x≤a\displaystyle x\le a
등호가 생긴다.
x≥ax\ge a
x<a\displaystyle x<a
등호가 없어진다.
짝수
짝수이다의 부정은 홀수이다\displaystyle \text{짝수이다의 부정은 홀수이다}
전체집합이 자연수 전체의 집합일 때
학생
x>ax>a 의 부정이 왜 x<ax<a 가 아니에요?
쌤
x=ax=a 인 경우를 빠뜨리면 안 돼요. x>ax>a 가 아닌 것은 x<ax<a 이거나 x=ax=a 인 경우라서 x≤ax\le a 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x≤5x\le 5 의 부정은?
부등호의 부정
✗ 틀린 풀이
x>2x>2 의 부정은
x<2x<2
왜 틀렸나 x>2x>2 의 부정은 x=2x=2 까지 포함해야 하므로 방향을 바꾼 부등호에 등호를 붙인다.
✓ 바른 풀이
x>2x>2 의 부정은
x≤2x\le 2
확인 방법: 조건과 그 부정을 수직선에 함께 그리면 겹치지도 비지도 않고 실수 전체를 채워야 한다.
x>2x>2 와 그 부정 x≤2x\le 2
x>2x>2
x≤2x\le 2
-1012345
22
경계 22 는 부정 x≤2x\le 2 쪽에만 들어가요(●). 두 범위를 합치면 빈틈도 겹침도 없어요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질부정의 성질
명제 pp 가 참이면 ∼p\sim p 는 거짓이고, pp 가 거짓이면 ∼p\sim p 는 참이다.
∼p\sim p 의 부정은 pp 이다.
∼(∼p)=p\sim(\sim p)=p
성질부정의 검산
PP 와 PCP^{C} 를 합하면 UU 이고, 겹치는 원소는 없다.
그러므로 부정한 조건과 원래 조건을 수직선에 함께 그려 빈틈도 겹침도 없는지 확인한다.
특히 경계의 수가 정확히 한쪽에만 들어가 있는지 본다.

4「또는」「그리고」와 그 부정

공식「또는」「그리고」의 진리집합
pp 또는 qq
P∪Q\displaystyle P\cup Q
둘 중 하나라도 참이면 참
pp 그리고 qq
P∩Q\displaystyle P\cap Q
「pp 이고 qq」라고도 쓴다. 둘 다 참일 때만 참
성질「또는」「그리고」의 부정
「pp 또는 qq」의 부정은 「∼p\sim p 그리고 ∼q\sim q」이다.
진리집합으로 쓰면
(P∪Q)C=PC∩QC(P\cup Q)^{C}=P^{C}\cap Q^{C}
「pp 그리고 qq」의 부정은 「∼p\sim p 또는 ∼q\sim q」이다.
진리집합으로 쓰면
(P∩Q)C=PC∪QC(P\cap Q)^{C}=P^{C}\cup Q^{C}
이것은 집합의 드모르간 법칙이다.

외우는 규칙: 부정할 때는 각 조건을 부정하고 「또는」과 「그리고」를 서로 바꾼다.

학생
벤 다이어그램으로도 확인할 수 있어요?
쌤
네. P∪QP\cup Q 의 바깥을 칠하면 PP 의 바깥과 QQ 의 바깥이 겹친 곳, 곧 PC∩QCP^{C}\cap Q^{C} 와 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「x>1x>1 그리고 y>1y>1」의 부정은?
범위의 부정
✗ 틀린 풀이
−1≤x<3-1\le x<3 의 부정은
x<−1x<-1 그리고 x≥3x\ge 3
왜 틀렸나 「그리고」로 이어진 조건의 부정은 각각을 부정하고 「또는」으로 이어야 한다.
✓ 바른 풀이
−1≤x<3-1\le x<3 의 부정은
x<−1x<-1 또는 x≥3x\ge 3
확인 방법: 수직선에서 −1≤x<3-1\le x<3 의 바깥쪽 두 부분이 부정이다. 두 부분은 떨어져 있으므로 「또는」으로 잇는다.
「또는」의 부정
✗ 틀린 풀이
「x=1x=1 또는 x=2x=2」의 부정은
「x≠1x\ne 1 또는 x≠2x\ne 2」
왜 틀렸나 「또는」으로 이어진 조건의 부정은 각각을 부정하고 「그리고」로 이어야 한다.
✓ 바른 풀이
「x=1x=1 또는 x=2x=2」의 부정은
「x≠1x\ne 1 그리고 x≠2x\ne 2」
확인 방법: 조건과 부정은 어떤 xx 에서도 동시에 참이면 안 된다. x=1x=1 이면 원래 조건은 참이고 「x≠1x\ne 1 그리고 x≠2x\ne 2」는 거짓이다.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지예제
「pp 또는 qq」의 부정
UPQ
P∪QP\cup Q 밖(칠한 곳)은 PP 밖이면서 QQ 밖인 곳, 곧 PC∩QCP^{C}\cap Q^{C} 예요.
예
−1≤x<3-1\le x<3 의 부정
  1. 1
    −1≤x<3-1\le x<3 은 「x≥−1x\ge -1 그리고 x<3x<3」이에요.
    범위를 나타내는 부등식은 「그리고」로 이어진 조건이에요.
  2. 2
    각 조건을 부정하면
    x<−1x<-1
    x≥3x\ge 3
  3. 3
    「그리고」를 「또는」으로 바꾸면
    x<−1x<-1 또는 x≥3x\ge 3
−1≤x<3-1\le x<3 의 부정
x<−1x<-1
x≥3x\ge 3
-4-3-2-10123456
−1-1
33
원래 범위의 바깥 두 쪽이라 「또는」으로 이어요. −1-1 은 원래 범위에 들어 있어 ○, 33 은 원래 범위 밖이라 ● 예요.
예두 문자에 대한 조건 (x, yx,\ y 는 실수)
「xy=0xy=0」은 「x=0x=0 또는 y=0y=0」이에요.
그 부정은 「x≠0x\ne 0 그리고 y≠0y\ne 0」이에요.
곧 xy≠0xy\ne 0
「x2+y2=0x^2+y^2=0」은 「x=0x=0 그리고 y=0y=0」이에요(제곱은 00 이상이라 합이 00 이려면 둘 다 00 이어야 해요).
그 부정은 「x≠0x\ne 0 또는 y≠0y\ne 0」이에요.

5「모든」「어떤」이 들어 있는 명제와 그 부정

성질「모든」「어떤」이 들어 있는 명제
조건 pp 앞에 「모든」이나 「어떤」을 붙이면 참·거짓을 판별할 수 있으므로 명제가 된다.
「모든 xx 에 대하여 pp」는 P=UP=U 이면 참이고, P≠UP\ne U 이면 거짓이다.
「어떤 xx 에 대하여 pp」는 P≠∅P\ne\emptyset 이면 참이고, P=∅P=\emptyset 이면 거짓이다.
예참·거짓 판별
「모든 실수 xx 에 대하여 x2>0x^2>0 이다」
x=0x=0 이면 x2=0x^2=0 이므로 거짓이에요.
「모든 실수 xx 에 대하여 x2≥0x^2\ge 0 이다」
참이에요.
「어떤 실수 xx 에 대하여 x2−2x−3=0x^2-2x-3=0 이다」
x=3x=3 이면 9−6−3=09-6-3=0 이므로 참이에요.
「어떤 실수 xx 에 대하여 x2+1=0x^2+1=0 이다」
x2≥0x^2\ge 0 이라 x2+1≥1x^2+1\ge 1 이므로 거짓이에요.
학생
「모든」 명제가 거짓임을 보이려면 몇 개를 찾아야 해요?
쌤
하나만 찾으면 돼요. x=0x=0 처럼 성립하지 않는 원소가 하나라도 있으면 「모든」 명제는 거짓이에요.
성질「모든」「어떤」이 들어 있는 명제의 부정
「모든 xx 에 대하여 pp」의 부정은 「어떤 xx 에 대하여 ∼p\sim p」이다.
「어떤 xx 에 대하여 pp」의 부정은 「모든 xx 에 대하여 ∼p\sim p」이다.
이유: P=UP=U 가 아니라는 것은 PC≠∅P^{C}\ne\emptyset 이라는 뜻이다.
또 P≠∅P\ne\emptyset 이 아니라는 것은 PC=UP^{C}=U 라는 뜻이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「모든 실수 xx 에 대하여 x2≥1x^2\ge 1 이다」의 부정은?
「모든」 명제의 부정
✗ 틀린 풀이
「모든 실수 xx 에 대하여 x2>0x^2>0」의 부정은
「모든 실수 xx 에 대하여 x2≤0x^2\le 0」
왜 틀렸나 「모든」 명제의 부정은 「어떤」 명제로 바꾸고 뒤의 조건을 부정해야 한다.
✓ 바른 풀이
「모든 실수 xx 에 대하여 x2>0x^2>0」의 부정은
「어떤 실수 xx 에 대하여 x2≤0x^2\le 0」
확인 방법: 원래 명제는 x=0x=0 일 때 성립하지 않아 거짓이고, 부정은 x=0x=0 이 있어 참이다. 부정은 참·거짓이 반대여야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

「모든」 명제가 거짓임을 보이려면 pp 를 만족하지 않는 원소를 하나만 찾으면 돼요. 「어떤」 명제가 참임을 보이려면 pp 를 만족하는 원소를 하나만 찾으면 돼요.
모든 실수에서 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 해요.

예
「모든 실수 xx 에 대하여 x2>0x^2>0 이다」의 부정
  1. 1
    「모든」을 「어떤」으로 바꿔요.
  2. 2
    조건 x2>0x^2>0 을 부정하면
    x2≤0x^2\le 0
  3. 3
    부정은 「어떤 실수 xx 에 대하여 x2≤0x^2\le 0 이다」
    x=0x=0 이 만족하므로 참이에요.
  4. 4
    원래 명제는 거짓이고 부정은 참이에요.
    명제와 그 부정은 참·거짓이 항상 반대예요. 이것으로 검산해요.

6나란히 비교하기

공식조건·명제와 진리집합
∼p\sim p
PC\displaystyle P^{C}
pp 또는 qq
P∪Q\displaystyle P\cup Q
pp 그리고 qq
P∩Q\displaystyle P\cap Q
모든 xx 에 대하여 pp
참  ⟺  P=U\displaystyle \text{참}\iff P=U
어떤 xx 에 대하여 pp
참  ⟺  P≠∅\displaystyle \text{참}\iff P\ne\emptyset
공식부정할 때 바뀌는 것
같다
= 은 ≠\displaystyle =\ \text{은}\ \ne
부등호
> 은 ≤,< 은 ≥\displaystyle >\ \text{은}\ \le,\quad <\ \text{은}\ \ge
등호가 붙거나 떨어진다.
연결어
또는 은 그리고\displaystyle \text{또는}\ \text{은}\ \text{그리고}
거꾸로도 바뀐다.
「모든」「어떤」
모든 은 어떤\displaystyle \text{모든}\ \text{은}\ \text{어떤}
거꾸로도 바뀐다.
학생
부정할 때 바뀌는 게 너무 많아요.
쌤
세 가지만 기억해요. 등호는 붙이거나 떼고, 「또는」과 「그리고」를 바꾸고, 「모든」과 「어떤」을 바꿔요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1참인지 거짓인지를 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 한다. 변수의 값에 따라 참·거짓이 정해지는 문장이나 식은 조건이다.
  2. 2전체집합 UU 의 원소 중 조건 pp 를 참이 되게 하는 원소 전체의 집합을 진리집합 PP 라 한다. ∼p\sim p 의 진리집합은 PCP^{C} 이다.
  3. 3「pp 또는 qq」의 진리집합은 P∪QP\cup Q, 「pp 그리고 qq」의 진리집합은 P∩QP\cap Q 이다. 부정하면 각 조건을 부정하고 「또는」과 「그리고」를 바꾼다.
  4. 4「모든 xx 에 대하여 pp」는 P=UP=U 일 때, 「어떤 xx 에 대하여 pp」는 P≠∅P\ne\emptyset 일 때 참이다. 부정하면 「모든」과 「어떤」이 바뀌고 pp 는 ∼p\sim p 가 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 부등호를 부정할 때 등호를 빠뜨려요(x>2x>2 의 부정을 x<2x<2 로 써요).
  • 「또는」「그리고」로 이어진 조건을 부정할 때 각 조건만 부정하고 「또는」과 「그리고」를 바꾸지 않아요.
  • 「모든」 명제를 부정할 때 「모든」을 「어떤」으로 바꾸지 않고 조건만 부정해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    전체집합 U={1,2,3,⋯ ,12}U=\{1, 2, 3, \cdots, 12\} 에 대하여 두 조건 pp, qq 가 다음과 같다.
    pp 는 「xx 는 1212 의 약수이다」
    qq 는 「xx 는 짝수이다」
    조건 「pp 그리고 ∼q\sim q」의 진리집합을 구하시오.
  2. 예제 2
    실수 xx 에 대한 조건 「x≤−2x\le -2 또는 x>3x>3」의 부정을 구하시오.
  3. 예제 3
    명제 「모든 실수 xx 에 대하여 x2−4x+4>0x^2-4x+4>0 이다」의 부정을 말하고, 그 부정의 참·거짓을 판별하시오.

다음 공부

다음 개념: 명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건 →
이전 개념: 집합의 연산설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 제곱근과 실수, 중2 일차부등식공통수학2 목차
← 집합의 연산 법칙과 원소의 개수명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건 →
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