수학 개념 노트전체 과목

행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
같은 꼴의 행렬은 대응하는 성분끼리 더하고 빼며, 실수배 kAkA 는 모든 성분에 kk 를 곱해요. 실수와 같은 계산 법칙이 성립하므로 2X−A=B2X-A=B 같은 등식은 XX 에 대하여 먼저 정리해 풀어요.
  1. 1행렬의 덧셈과 뺄셈
  2. 2영행렬과 −A-A
  3. 3행렬의 실수배
  4. 4연산의 성질
  5. 5행렬의 등식에서 XX 구하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1행렬의 덧셈과 뺄셈

정의덧셈과 뺄셈
같은 꼴의 두 행렬 A, BA,\ B 에 대하여 대응하는 성분끼리 더한 것을 A+BA+B, 대응하는 성분끼리 뺀 것을 A−BA-B 라 한다.(a1a2a3a4)±(b1b2b3b4)=(a1±b1a2±b2a3±b3a4±b4)\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}\pm\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1\pm b_1 & a_2\pm b_2 \\ a_3\pm b_3 & a_4\pm b_4 \end{pmatrix}(복부호동순)
결과도 처음과 같은 꼴의 행렬이다.
계산해 보기
A=(1−230), B=(41−52)A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}
A+B=(1+4−2+13+(−5)0+2)=(5−1−22)A+B=\begin{pmatrix} 1+4 & -2+1 \\ 3+(-5) & 0+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
↳같은 자리끼리 더해요
A−B=(1−4−2−13−(−5)0−2)=(−3−38−2)A-B=\begin{pmatrix} 1-4 & -2-1 \\ 3-(-5) & 0-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}
↳같은 자리끼리 빼요
A−BA-B 의 (2,1)(2,1) 성분은 3−(−5)=83-(-5)=8 이에요.
학생
왜 꼴이 같아야만 더할 수 있어요?
쌤
같은 자리 성분끼리 더하는데, 꼴이 다르면 짝이 없는 성분이 생기거든요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(2−103)−(1−423)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} 을 계산하면?
음수 성분을 뺄 때
✗ 틀린 풀이
(3−1)−(5−4)=(−2−5)\begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -5 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 음수 성분을 뺄 때는 괄호를 씌우므로 −1−(−4)=−1+4=3-1-(-4)=-1+4=3 이다.
✓ 바른 풀이
(3−1)−(5−4)=(−23)\begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix}
행렬의 뺄셈은 같은 자리 성분끼리 빼는 것이므로 성분마다 실수의 뺄셈을 그대로 한다.
꼴이 다르면 더할 수 없다
✗ 틀린 풀이
(12)+(34)=(46)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 6 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 행렬의 덧셈은 꼴이 같을 때만 정의되므로 1×21\times2 행렬과 2×12\times1 행렬은 더할 수 없다.
✓ 바른 풀이
(12)+(34)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} 는 계산할 수 없다.
더하기 전에 두 행렬의 꼴을 먼저 적어 같은지 확인한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

1호점과 2호점에서 이틀 동안 팔린 사과와 배의 개수를 날마다 행렬로 나타냈다고 해요.
첫날은 (3542)\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
둘째 날은 (2163)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}
이틀 동안 팔린 개수는 같은 자리의 수끼리 더하면 돼요.(3542)+(2163)=(56105)\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 10 & 5 \end{pmatrix}같은 자리의 성분은 같은 지점, 같은 과일을 뜻하므로 같은 자리끼리만 더해요. 이것이 행렬의 덧셈이에요.

2영행렬과 −A-A

정의영행렬
모든 성분이 00 인 행렬을 영행렬이라 하고, 기호로 OO 와 같이 나타낸다.
2×22\times2 영행렬은 (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 이다.
AA 와 같은 꼴의 영행렬 OO 에 대하여 A+O=O+A=AA+O=O+A=A 이다.
영행렬은 실수의 덧셈에서 00 과 같은 역할을 한다.
정의−A-A 와 뺄셈
행렬 AA 의 각 성분의 부호를 바꾼 행렬을 −A-A 로 나타낸다.A+(−A)=(−A)+A=OA+(-A)=(-A)+A=O또 A−B=A+(−B)A-B=A+(-B) 이다.
곧 행렬의 뺄셈은 부호를 바꾼 행렬을 더하는 것이다.
학생
영행렬 OO 는 하나뿐이에요?
쌤
꼴마다 하나씩 있어요.
2×22\times2 영행렬과 2×32\times3 영행렬은 서로 다른 행렬이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(2−301)A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 일 때 −A-A 는?

3행렬의 실수배

정의실수배
실수 kk 에 대하여 행렬 AA 의 각 성분에 kk 를 곱한 것을 AA 의 k배 라 하고, 기호로 kAkA 와 같이 나타낸다.k(a1a2a3a4)=(ka1ka2ka3ka4)k\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka_1 & ka_2 \\ ka_3 & ka_4 \end{pmatrix}A+AA+A 는 모든 성분이 두 배가 되므로 2A2A 와 같다. 실수배는 같은 행렬을 여러 번 더한 것을 넓힌 것이다.
학생
2A2A 는 A+AA+A 와 같아요?
쌤
네. A+AA+A 는 같은 자리 성분을 두 번 더하니까, 모든 성분에 22 를 곱한 2A2A 와 같아요.
모든 성분에 곱하기
✗ 틀린 풀이
3(1−230)=(3−230)3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 행렬의 실수배는 실수를 한 행이나 한 성분이 아니라 모든 성분에 곱하는 것이다.
✓ 바른 풀이
3(1−230)=(3−690)3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}
실수에서 3(a+b)=3a+3b3(a+b)=3a+3b 인 것과 같다. 결과의 성분마다 처음 성분의 33 배인지 확인한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−2(10−32)-2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} 를 계산하면?
2A−3B2A-3B 계산하기
A=(1−230), B=(41−52)A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}
2A=(2−460)2A=\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}
↳모든 성분에 22 를 곱해요
3B=(123−156)3B=\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ -15 & 6 \end{pmatrix}
↳모든 성분에 33 을 곱해요
2A−3B=(−10−721−6)2A-3B=\begin{pmatrix} -10 & -7 \\ 21 & -6 \end{pmatrix}
↳같은 자리끼리 빼요
(1,2)(1,2) 성분은 −4−3=−7-4-3=-7, (2,1)(2,1) 성분은 6−(−15)=216-(-15)=21 이에요.

4연산의 성질

행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배는 모두 같은 자리 성분끼리의 실수 계산이에요.
그래서 실수의 계산 법칙이 성분마다 성립하고, 행렬 전체에도 그대로 성립해요. 곱셈은 이와 달리 행 × 열로 계산해서 성질도 달라요.

공식같은 꼴의 행렬 A, B, CA,\ B,\ C 와 실수 k, lk,\ l 에 대하여
교환법칙
A+B=B+A\displaystyle A+B=B+A
결합법칙
(A+B)+C=A+(B+C)\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)
괄호 없이 A+B+CA+B+C 로 쓴다.
영행렬
A+O=O+A=A\displaystyle A+O=O+A=A
−A-A
A+(−A)=(−A)+A=O\displaystyle A+(-A)=(-A)+A=O
실수배의 결합
(kl)A=k(lA)\displaystyle (kl)A=k(lA)
분배법칙
(k+l)A=kA+lA\displaystyle (k+l)A=kA+lA
분배법칙
k(A+B)=kA+kB\displaystyle k(A+B)=kA+kB
11배와 00배
1A=A,0A=O\displaystyle 1A=A,\quad 0A=O
0A0A 는 실수 00 이 아니라 영행렬 OO 이다.
성질다항식처럼 정리한다
위 성질 덕분에 A, BA,\ B 를 문자처럼 보고 다항식의 동류항 정리와 같이 계산할 수 있다.
3(A−2B)−2(A−B)=3A−6B−2A+2B=A−4B3(A-2B)-2(A-B)=3A-6B-2A+2B=A-4B
식을 먼저 간단히 한 뒤 행렬을 넣으면 계산이 줄고 실수도 줄어든다.
괄호 앞의 음수
✗ 틀린 풀이
3(A−2B)−2(A−B)=3A−6B−2A−2B=A−8B3(A-2B)-2(A-B)=3A-6B-2A-2B=A-8B
왜 틀렸나 분배법칙에 따라 −2-2 는 괄호 안의 두 항에 모두 곱해지므로 −2×(−B)=+2B-2\times(-B)=+2B 이다.
✓ 바른 풀이
3(A−2B)−2(A−B)=3A−6B−2A+2B=A−4B3(A-2B)-2(A-B)=3A-6B-2A+2B=A-4B
괄호를 풀 때는 괄호 앞의 수를 부호까지 붙여 각 항에 곱한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2(A+B)−(A−B)2(A+B)-(A-B) 를 간단히 하면?
자세히 보기펼치기공식 더 보기예제
공식헷갈리는 두 식
뺄셈은 순서를 바꿀 수 없다
덧셈
A+B=B+A\displaystyle A+B=B+A
항상 성립한다.
뺄셈
A−B=−(B−A)\displaystyle A-B=-(B-A)
A−BA-B 와 B−AB-A 는 부호가 반대이다.
A=BA=B 일 때만 같다.
먼저 정리하고 넣기 3(A+B)−2(A+2B)3(A+B)-2(A+2B)
A=(1−230), B=(41−52)A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}
3A+3B−2A−4B=A−B3A+3B-2A-4B=A-B
↳먼저 정리해요
A−B=(−3−38−2)A-B=\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}
↳그다음 넣어요

5행렬의 등식에서 XX 구하기

2X−A=B2X-A=B 처럼 모르는 행렬 XX 가 들어 있는 등식은 일차방정식 2x−a=b2x-a=b 를 푸는 것과 같은 순서로 풀어요(다항식의 등식에서 XX 를 구할 때와 같아요).
위의 연산 성질이 성립하므로 이항, 양변을 같은 수로 나누기를 그대로 할 수 있어요.

2X−A=B2X-A=B
A=(3−125), B=(17−43)A=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}
2X=A+B2X=A+B
↳AA 를 이항
X=12(A+B)=12(46−28)X=\frac{1}{2}(A+B)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}
↳양변을 22 로 나눠요
=(23−14)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
검산: 2X−A=(46−28)−(3−125)=(17−43)=B2X-A=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=B ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
X+A=2A−BX+A=2A-B 일 때 XX 를 A, BA,\ B 로 나타내면?
나누기를 곱하기로
✗ 틀린 풀이
2X=A+B2X=A+B 이므로 X=2(A+B)X=2(A+B)
왜 틀렸나 2X=A+B2X=A+B 의 양변을 22 로 나누어야 하므로 X=12(A+B)X=\frac12(A+B) 이다.
✓ 바른 풀이
2X=A+B2X=A+B 이므로 X=12(A+B)X=\frac{1}{2}(A+B)
검산: X=12(A+B)X=\frac12(A+B) 이면 2X=A+B2X=A+B 가 되어 처음 식과 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2성질 더 보기
XX 를 구하는 순서
  1. 1
    XX 가 있는 항은 왼쪽, 나머지는 오른쪽으로 모아요.
    이항하면 부호가 바뀌어요.
  2. 2
    XX 의 계수로 양변을 나누어 X=⋯X=\cdots 꼴로 만들어요.
    양변에 12\frac{1}{2} 배를 하는 것과 같아요.
  3. 3
    마지막에 주어진 행렬을 넣어 성분을 계산해요.
  4. 4
    구한 XX 를 처음 등식에 넣어 검산해요.
XX 가 양쪽에 있을 때 3X−2A=X+B3X-2A=X+B
A=(10−23), B=(4−260)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}
2X=2A+B2X=2A+B
↳XX 는 왼쪽, −2A-2A 는 오른쪽
X=A+12BX=A+\frac{1}{2}B
↳양변을 22 로 나눠요
=(10−23)+(2−130)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
↳행렬을 넣어요
=(3−113)=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
예두 등식을 연립하기
X+Y=A, X−Y=BX+Y=A,\ X-Y=B 이고 A=(521−3), B=(1431)A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} 일 때
두 식을 연립하면{X+Y=AX−Y=B\begin{cases} X+Y=A \\ X-Y=B \end{cases}두 식을 더하면 2X=A+B2X=A+B
두 식을 빼면 2Y=A−B2Y=A-B
따라서
X=12(A+B)=(332−1)X=\frac{1}{2}(A+B)=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
Y=12(A−B)=(2−1−1−2)Y=\frac{1}{2}(A-B)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
성질거꾸로 보기
성분으로 풀어도 된다
행렬의 등식은 성분마다의 등식이므로, X=(xyzw)X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} 로 놓고 성분별 일차방정식 네 개를 풀어도 같은 답이 나온다.
다만 식을 행렬째 정리한 뒤 한 번에 넣는 방법이 훨씬 짧다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1같은 꼴의 두 행렬은 대응하는 성분끼리 더하고 빼서 덧셈과 뺄셈을 한다. 꼴이 다르면 계산할 수 없다.
  2. 2모든 성분이 00 인 행렬이 영행렬 OO 이고, 실수배 kAkA 는 모든 성분에 kk 를 곱한 것이다.
  3. 3성분끼리의 실수 계산이므로 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 실수와 똑같이 성립한다.
  4. 42X−A=B2X-A=B 같은 행렬의 등식은 일차방정식처럼 XX 에 대하여 먼저 정리한 뒤 성분을 계산한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 음수 성분을 뺄 때 −1−(−4)-1-(-4) 를 −5-5 로 계산하는 것처럼 부호를 틀려요.
  • 실수배 kAkA 에서 일부 성분에만 kk 를 곱해요.
  • 2X=A+B2X=A+B 에서 X=2(A+B)X=2(A+B) 로 양변에 22 를 곱해 버려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    A=(2−103), B=(−145−2)A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} 일 때, A−2BA-2B 를 구하시오.
  2. 예제 2
    A=(12−30), B=(4−125)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} 일 때, 2(A−B)−(A−3B)2(A-B)-(A-3B) 를 구하시오.
  3. 예제 3
    A=(4−216), B=(13−20)A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} 일 때, 2X+A=3(X+B)2X+A=3(X+B) 를 만족시키는 행렬 XX 를 구하시오.

다음 공부

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