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행렬의 곱셈

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
AA 의 열의 개수와 BB 의 행의 개수가 같을 때 ABAB 의 (i,j)(i,j) 성분은 AA 의 제ii행과 BB 의 제jj열을 차례로 곱해 더한 거예요. 결합·분배법칙은 성립하지만 교환법칙은 성립하지 않아요.
  1. 1행렬의 곱셈의 뜻
  2. 2곱이 정의되는 조건
  3. 3교환법칙이 성립하지 않는다
  4. 4단위행렬
  5. 5행렬의 거듭제곱
  6. 6곱셈의 성질
  7. 7실수의 곱셈과 다른 점
  8. 8케일리-해밀턴 정리
  9. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1행렬의 곱셈의 뜻

1호점과 2호점의 하루 판매량(사과, 배)이 (3542)\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} 이고, 사과와 배의 값이 각각 22 백 원, 33 백 원이라 해요.
지점별 판매 금액은 (사과 개수)×\times(사과 값)++(배 개수)×\times(배 값)이에요.

판매량 × 값 = 판매 금액
335544222233=21211414
1행×1열3×2+5×3=213\times 2+5\times 3=21
  • 1호점3⋅2+5⋅3=213\cdot2+5\cdot3=21 (백 원)
  • 2호점4⋅2+2⋅3=144\cdot2+2\cdot3=14 (백 원)
판매량 행렬의 각 행과 값 행렬의 열을 차례로 곱해 더한 거예요. 이것을 행렬의 곱으로 써요.
정의행렬의 곱셈
AA 가 m×km\times k 행렬, BB 가 k×nk\times n 행렬일 때, AA 의 제ii행의 성분과 BB 의 제jj열의 성분을 차례로 곱하여 더한 값을 (i,j)(i,j) 성분으로 하는 m×nm\times n 행렬을 AA 와 BB 의 곱이라 하고, 기호로 ABAB 와 같이 나타낸다.
학생
행렬의 곱셈은 같은 자리끼리 곱하면 돼요?
쌤
아니에요. 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 첫째끼리, 둘째끼리 곱해서 더해요.
판매량과 값으로 판매 금액을 구한 계산과 같아요.
(2×2)(2×2)(2\times2)(2\times2) 계산하기
A=(123−1), B=(20−14)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
112233−1-12200−1-144=008877−4-4
2행×1열3×2+−1×−1=73\times 2+-1\times -1=7
  • (1,1)(1,1)제11행 × 제11열: 1⋅2+2⋅(−1)=01\cdot2+2\cdot(-1)=0
  • (1,2)(1,2)제11행 × 제22열: 1⋅0+2⋅4=81\cdot0+2\cdot4=8
  • (2,1)(2,1)제22행 × 제11열: 3⋅2+(−1)⋅(−1)=73\cdot2+(-1)\cdot(-1)=7
  • (2,2)(2,2)제22행 × 제22열: 3⋅0+(−1)⋅4=−43\cdot0+(-1)\cdot4=-4
색칠한 것은 (2,1)(2,1) 성분: AA 의 제22행과 BB 의 제11열이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(12)(3−1)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} 을 계산하면?
같은 자리끼리 곱하기
✗ 틀린 풀이
(123−1)(20−14)=(20−3−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 행렬의 곱셈은 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열의 성분을 차례로 곱하여 더하는 것이다.
✓ 바른 풀이
(123−1)(20−14)=(087−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}
(1,1)(1,1) 성분은 제11행 (1, 2)(1,\ 2) 와 제11열 (2, −1)(2,\ -1) 을 곱해 더한 2−2=02-2=0 이다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기왜 그런지그림
공식꼴에 따른 곱
(1×2)(2×1)(1\times2)(2\times1)
(ab)(pq)=(ap+bq)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+bq \end{pmatrix}
가장 기본: 행 하나와 열 하나를 곱해 더한다.
(2×2)(2×1)(2\times2)(2\times1)
(abcd)(pq)=(ap+bqcp+dq)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+bq \\ cp+dq \end{pmatrix}
(1×2)(2×2)(1\times2)(2\times2)
(ab)(pqrs)=(ap+braq+bs)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \end{pmatrix}
(2×2)(2×2)(2\times2)(2\times2)
(abcd)(pqrs)=(ap+braq+bscp+drcq+ds)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}
(i,j)(i,j) 성분은 왼쪽 행렬의 제ii행 × 오른쪽 행렬의 제jj열이다.
곱을 계산하는 순서
  1. 1
    두 행렬의 꼴을 적고 곱이 정의되는지, 결과가 어떤 꼴인지 먼저 확인해요.
    (m×k)(k×n)→m×n(m\times k)(k\times n)\to m\times n
  2. 2
    결과의 (i,j)(i,j) 자리마다 왼쪽 행렬의 제ii행과 오른쪽 행렬의 제jj열을 골라요.
  3. 3
    첫째끼리, 둘째끼리, … 곱하여 모두 더해요.
    음수는 괄호를 씌워 곱해요.
  4. 4
    모든 자리를 채운 뒤 꼴이 맞는지 다시 봐요.
꼴이 다른 행렬의 곱
(2×3)(3×2)(2\times3)(3\times2)
110022−1-13311221100−1-11144=4499−1-100
1행×2열1×1+0×−1+2×4=91\times 1+0\times -1+2\times 4=9
  • (1,1)(1,1)1⋅2+0⋅0+2⋅1=41\cdot2+0\cdot0+2\cdot1=4
  • (1,2)(1,2)1⋅1+0⋅(−1)+2⋅4=91\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot4=9
  • (2,1)(2,1)(−1)⋅2+3⋅0+1⋅1=−1(-1)\cdot2+3\cdot0+1\cdot1=-1
  • (2,2)(2,2)(−1)⋅1+3⋅(−1)+1⋅4=0(-1)\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot4=0
행 하나와 열 하나에 성분이 33 개씩이라 세 쌍을 곱해 더해요. 곱은 바깥쪽 꼴인 2×22\times2 행렬이에요.
(2×1)(1×2)(2\times1)(1\times2) 처럼 성분이 하나씩만 곱해지는 경우도 있어요. (12)(3−1)=(3−16−2)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}
곱셈 규칙 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2행 × 열
(abcd)(pqrs)=(ap+□aq+bscp+dr□+ds)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+\square & aq+bs \\ cp+dr & \square+ds \end{pmatrix}

2곱이 정의되는 조건

성질안쪽은 같고, 바깥쪽이 남는다
AA 의 열의 개수와 BB 의 행의 개수가 같을 때만 ABAB 가 정의된다.(□×△)(△×◯)→□×◯(\square\times\triangle)(\triangle\times\bigcirc)\to\square\times\bigcirc안쪽의 두 수 △ 가 같아야 하고, 결과의 꼴은 바깥쪽 □ 와 ○ 이다.
왼쪽 행렬의 한 행과 오른쪽 행렬의 한 열의 성분 개수가 같아야 짝지어 곱할 수 있기 때문이다.
공식꼴로 판단하기
정의됨
(2×3)(3×1)→2×1\displaystyle (2\times3)(3\times1)\to2\times1
정의됨
(1×2)(2×3)→1×3\displaystyle (1\times2)(2\times3)\to1\times3
정의됨
(2×2)(2×2)→2×2\displaystyle (2\times2)(2\times2)\to2\times2
같은 꼴의 정사각행렬끼리는 항상 곱할 수 있다.
정의되지 않음
(3×1)(2×3)\displaystyle (3\times1)(2\times3)
안쪽 11 과 22 가 다르다.
학생
왜 열의 개수와 행의 개수가 같아야 해요?
쌤
왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 첫째끼리, 둘째끼리 짝지어 곱하니까 개수가 같아야 짝이 맞아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AA 가 2×32\times3, BB 가 3×43\times4 행렬일 때 ABAB 의 꼴은?
덧셈의 조건과 혼동하기
✗ 틀린 풀이
A, BA,\ B 가 모두 2×32\times3 행렬이면 ABAB 는 2×32\times3 행렬
왜 틀렸나 곱 ABAB 는 AA 의 열의 개수와 BB 의 행의 개수가 같을 때만 정의된다.
✓ 바른 풀이
A, BA,\ B 가 모두 2×32\times3 행렬이면 ABAB 는 정의되지 않는다
덧셈은 꼴이 같아야 하고, 곱셈은 안쪽 수가 같아야 해요.
(2×3)(2×3)(2\times3)(2\times3) 은 안쪽 33 과 22 가 달라요.

3교환법칙이 성립하지 않는다

성질교환법칙
실수에서는 ab=baab=ba 이지만, 행렬의 곱셈에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.
곧 AB≠BAAB\ne BA 일 수 있다.
위의 A=(123−1), B=(20−14)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} 로 확인
AB=(087−4)AB=\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}
↳AA 를 왼쪽에
BA=(2411−6)BA=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 11 & -6 \end{pmatrix}
↳BB 를 왼쪽에
따라서 AB≠BAAB\ne BA 이에요.
학생
그럼 AB=BAAB=BA 인 경우는 없어요?
쌤
있어요. 하지만 늘 그런 건 아니라서, 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지 구별해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(1000), B=(0100)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 일 때 옳은 것은?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질순서를 바꾸면 꼴부터 달라지기도 한다
AA 가 2×32\times3, BB 가 3×23\times2 행렬이면 ABAB 는 2×22\times2, BABA 는 3×33\times3 행렬이다.
AA 가 2×32\times3, BB 가 3×13\times1 행렬이면 ABAB 는 정의되지만 BABA 는 정의되지 않는다.
그래서 곱할 때는 「왼쪽에 곱한다」, 「오른쪽에 곱한다」를 구별한다.
AB=BAAB=BA 가 되는 특별한 경우도 있다. 예를 들어 AA 와 AA, AA 와 단위행렬 EE, AA 와 영행렬 OO 는 곱하는 순서를 바꾸어도 같다.

4단위행렬

정의단위행렬
정사각행렬에서 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 대각선 위의 성분이 모두 11 이고, 나머지 성분이 모두 00 인 행렬을 단위행렬이라 하고, 기호로 EE 와 같이 나타낸다.
이차정사각행렬의 단위행렬은 E=(1001)E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 이다.
성질단위행렬의 성질
이차정사각행렬 AA 에 대하여AE=EA=AAE=EA=A실수의 곱셈에서 11 과 같은 역할이다. 직접 곱해 보면 확인된다.
(abcd)(1001)=(abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
또 E2=E, E3=EE^2=E,\ E^3=E 이고, 일반적으로 자연수 nn 에 대하여 En=EE^n=E 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
이차정사각행렬의 단위행렬 EE 에 대하여 E10E^{10} 은?

5행렬의 거듭제곱

정의거듭제곱
정사각행렬 AA 에 대하여 AAAA 를 A2A^2, A2AA^2A 를 A3A^3 과 같이 나타내고, 이것을 AA 의 거듭제곱이라 한다.
일반적으로 자연수 nn 에 대하여 An+1=AnAA^{n+1}=A^nA 이다.
AAAA 가 정의되는 조건은 AA 의 행과 열의 개수가 같은 것이므로 거듭제곱은 정사각행렬에서만 생각한다.
학생
A2A^2 은 성분마다 제곱하면 돼요?
쌤
아니에요. A2A^2 은 AA 와 AA 의 곱셈이라 행 × 열로 계산해요.
그래서 거듭제곱은 정사각행렬에서만 생각해요.
A2, A3A^2,\ A^3 구하기
A=(1−120)A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
A2=AA=(−1−12−2)A^2=AA=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
↳AA 와 AA 의 곱
A3=A2A=(−31−2−2)A^3=A^2A=\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
↳A2A^2 에 AA 를 곱해요
A3A^3 의 (1,1)(1,1) 성분 검산: (−1)⋅1+(−1)⋅2=−3(-1)\cdot1+(-1)\cdot2=-3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(0110)A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 일 때 A2A^2 은?
성분마다 제곱하기
✗ 틀린 풀이
(1−120)2=(1140)\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}
왜 틀렸나 A2A^2 은 AA 와 AA 의 곱이므로 성분마다 제곱하지 않고 행과 열을 곱하여 더한다.
✓ 바른 풀이
(1−120)2=(−1−12−2)\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
확인: (1,1)(1,1) 성분은 1⋅1+(−1)⋅2=−11\cdot1+(-1)\cdot2=-1 이다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기예제
공식지수법칙(m, nm,\ n 은 자연수)
곱
AmAn=Am+n\displaystyle A^mA^n=A^{m+n}
AA 끼리의 곱이므로 순서를 바꾸어도 같다.
A2A=AA2=A3A^2A=AA^2=A^3
거듭제곱의 거듭제곱
(Am)n=Amn\displaystyle (A^m)^n=A^{mn}
규칙이 보이는 경우
A=(1201)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
A2=(1401)A^2=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
A3=(1601)A^3=\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
↳(1,2)(1,2) 성분이 22 씩 커져요
이렇게 규칙을 찾아 AnA^n 을 구하는 것은 유형별 학습에서 다뤄요.

6곱셈의 성질

공식곱셈이 정의되는 행렬 A, B, CA,\ B,\ C 와 실수 kk 에 대하여
결합법칙
(AB)C=A(BC)\displaystyle (AB)C=A(BC)
괄호 없이 ABCABC 로 쓴다.
분배법칙
A(B+C)=AB+AC\displaystyle A(B+C)=AB+AC
분배법칙
(A+B)C=AC+BC\displaystyle (A+B)C=AC+BC
실수배
k(AB)=(kA)B=A(kB)\displaystyle k(AB)=(kA)B=A(kB)
학생
분배할 때 무엇을 조심해요?
쌤
교환법칙이 없어서, 왼쪽에 있던 행렬은 왼쪽에, 오른쪽에 있던 행렬은 오른쪽에 그대로 둬요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(A+B)C(A+B)C 를 전개하면?
분배할 때 순서 바꾸기
✗ 틀린 풀이
A(B+C)=AB+CAA(B+C)=AB+CA
왜 틀렸나 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 AA 를 BB, CC 모두의 왼쪽에 곱한다.
✓ 바른 풀이
A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
분배할 때는 AA 의 자리를 그대로 두고 곱하는 순서를 바꾸지 않는다.

7실수의 곱셈과 다른 점

행렬은 ABAB 와 BABA 가 다를 수 있어서 실수의 곱셈공식을 그대로 쓸 수 없어요.

(A+B)2(A+B)^2 을 분배법칙으로 전개하기
(A+B)2=(A+B)(A+B)(A+B)^2=(A+B)(A+B)
=A(A+B)+B(A+B)=A(A+B)+B(A+B)
↳(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC
=A2+AB+BA+B2=A^2+AB+BA+B^2
↳ABAB 와 BABA 는 달라요
ABAB 와 BABA 가 같다는 보장이 없으므로 2AB2AB 로 합칠 수 없어요.
학생
그럼 (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 이 성립할 때는 없어요?
쌤
AB=BAAB=BA 일 때는 성립해요.
그때는 AB+BA=2ABAB+BA=2AB 로 합칠 수 있거든요.
공식실수와 행렬 나란히 보기
실수
(a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
행렬
(A+B)2=A2+AB+BA+B2\displaystyle (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2
실수
(a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2
행렬
(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2\displaystyle (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2
실수
ab=0⇒a=0 또는 b=0\displaystyle ab=0\Rightarrow a=0\text{ 또는 }b=0
행렬
AB=O⇏A=O 또는 B=O\displaystyle AB=O\not\Rightarrow A=O\text{ 또는 }B=O
아래 예처럼 A≠O, B≠OA\ne O,\ B\ne O 인데 AB=OAB=O 일 수 있다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(A−B)2(A-B)^2 을 바르게 전개한 것은?
곱셈공식을 그대로 쓰기
✗ 틀린 풀이
(A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2
왜 틀렸나 (A+B)(A+B)(A+B)(A+B) 를 전개하면 ABAB 와 BABA 가 따로 나오며 둘은 일반적으로 다르다.
✓ 바른 풀이
(A+B)2=A2+AB+BA+B2(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2
AB=BAAB=BA 일 때만 왼쪽 식이 성립해요.
검산하려면 위의 예처럼 간단한 행렬을 넣어 봐요.
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기
(A+B)2≠A2+2AB+B2(A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2 인 예
A=(1101), B=(1011)A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
AB=(2111), BA=(1112)AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
↳AB≠BAAB\ne BA
(A+B)2=(5445)(A+B)^2=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}
A2+2AB+B2=(6444)A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}
↳달라요
AB≠BAAB\ne BA 이기 때문에 두 결과가 달라요.
예AB=OAB=O 인데 A≠O, B≠OA\ne O,\ B\ne O 인 예
(1224)(2−4−12)=(0000)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
두 행렬 모두 영행렬이 아니지만 곱은 영행렬이에요.
또 A=(0100)A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 이면 A≠OA\ne O 이지만 A2=OA^2=O 이에요.
실수에서 쓰던 AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0 이 행렬에서는 성립하지 않아요.
성질거꾸로 보기
AB=BAAB=BA 이면 곱셈공식이 살아난다
AB=BAAB=BA 이면 AB+BA=2ABAB+BA=2AB 이므로 (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 이 성립한다.
특히 AE=EAAE=EA 이므로 단위행렬과의 식은 실수처럼 전개할 수 있다.
(A+E)2=A2+2A+E(A+E)^2=A^2+2A+E
(A+E)(A−E)=A2−E(A+E)(A-E)=A^2-E

8케일리-해밀턴 정리

이차정사각행렬 AA 의 성분으로 만든 등식 하나로 A2A^2 을 AA 와 EE 로 바꿀 수 있어요.
교과서 밖 내용이지만 거듭제곱을 계산할 때 자주 써요.

성질케일리-해밀턴 정리
A=(abcd)A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} 이면A2−(a+d)A+(ad−bc)E=OA^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O따라서 A2=(a+d)A−(ad−bc)EA^2=(a+d)A-(ad-bc)E 로 차수를 낮출 수 있다.
학생
이 등식을 만족하는 AA 는 특별한 행렬이에요?
쌤
아니에요. 모든 이차정사각행렬이 이 등식을 만족해요.
a+da+d 는 왼쪽 위와 오른쪽 아래 성분의 합, ad−bcad-bc 는 대각선끼리 곱한 값의 차예요.
A=(1234)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 에 적용하기
a+d=5,ad−bc=4−6=−2a+d=5,\quad ad-bc=4-6=-2
A2−5A−2E=OA^2-5A-2E=O
↳정리에 넣어요
A2=5A+2E=(7101522)A^2=5A+2E=\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}
↳직접 곱한 값과 같아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(2113)A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 일 때 A2−5AA^2-5A 는?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질왜 성립하는가
A2=(a2+bc(a+d)b(a+d)cd2+bc)A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & d^2+bc \end{pmatrix}
(a+d)A=(a2+ad(a+d)b(a+d)cad+d2)(a+d)A=\begin{pmatrix} a^2+ad & (a+d)b \\ (a+d)c & ad+d^2 \end{pmatrix}
빼면 A2−(a+d)A=(bc−ad00bc−ad)=−(ad−bc)EA^2-(a+d)A=\begin{pmatrix} bc-ad & 0 \\ 0 & bc-ad \end{pmatrix}=-(ad-bc)E
성질거꾸로는 성립하지 않는다
A2−pA+qE=OA^2-pA+qE=O 을 만족한다고 해서 p=a+dp=a+d, q=ad−bcq=ad-bc 라고 할 수는 없다.
AA 가 EE 의 실수배이면 다른 p, qp,\ q 로도 성립하기 때문이다.
예) A=EA=E 는 A2−2A+E=OA^2-2A+E=O 도, A2−3A+2E=OA^2-3A+2E=O 도 만족한다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1AA 의 열의 개수와 BB 의 행의 개수가 같을 때만 곱 ABAB 가 정의된다. (m×k)(m\times k) 행렬과 (k×n)(k\times n) 행렬의 곱은 m×nm\times n 행렬이다.
  2. 2ABAB 의 (i,j)(i,j) 성분은 AA 의 제ii행과 BB 의 제jj열의 성분을 차례로 곱하여 더한 것이다(행 × 열).
  3. 3일반적으로 AB≠BAAB\ne BA 이다. 단위행렬 EE 는 AE=EA=AAE=EA=A 로 실수의 11 과 같은 역할을 한다.
  4. 4결합법칙·분배법칙은 성립하지만, (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 나 「AB=OAB=O 이면 A=OA=O 또는 B=OB=O」 는 성립하지 않는다.
✗ 자주 하는 실수
  • 같은 자리 성분끼리 곱하거나, A2A^2 을 성분마다 제곱하여 계산해요.
  • ABAB 와 BABA 를 같다고 생각하여 (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 으로 전개해요.
  • AB=OAB=O 이면 A=OA=O 또는 B=OB=O 라고 결론 내려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    A=(2−134), B=(10−25)A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} 일 때, ABAB 를 구하시오.
  2. 예제 2
    A=(10−2311), B=(21−1013)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 일 때, ABAB 를 구하고 BABA 의 꼴을 말하시오.
  3. 예제 3
    A=(1−121)A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} 일 때, A3A^3 을 구하시오.

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