수학 개념 노트전체 과목

거듭제곱근

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
xn=ax^n=a 를 만족하는 xx 를 aa 의 nn제곱근이라 해요. 실수인 nn제곱근의 개수는 nn 의 홀짝과 aa 의 부호로 정해지고, a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때 anbn=abn\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} 등의 성질이 성립해요.
  1. 1거듭제곱근의 뜻
  2. 2실수인 nn제곱근
  3. 3거듭제곱근의 성질
  4. 4거듭제곱근의 크기 비교
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1거듭제곱근의 뜻

정의nn제곱근
nn 이 22 이상의 자연수일 때, nn 제곱하여 실수 aa 가 되는 수, 즉 방정식 xn=ax^n=a 를 만족하는 수 xx 를 aa 의 nn제곱근이라 한다.
aa 의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, ⋯\cdots 을 통틀어 aa 의 거듭제곱근이라 한다.
학생
「88 의 세제곱근」은 그냥 22 하나 아니에요?
쌤
세제곱해서 88 이 되는 수는 모두 88 의 세제곱근이에요. x3=8x^3=8 을 풀면 22 말고 허수인 근도 두 개 나와요. 그중 실수인 것이 22 하나예요.
88 의 세제곱근
x3=8x^3=8
↳세제곱하여 88 이 되는 수
x3−8=(x−2)(x2+2x+4)=0x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)=0
↳인수분해
x=2 또는 x=−1±3ix=2\ \text{또는}\ x=-1\pm\sqrt{3}i
↳실수인 것은 22 하나
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
44 의 제곱근은?
⚠ 주의「aa 의 nn제곱근」과 「nn제곱근 aa」
「aa 의 nn제곱근」은 nn 제곱하여 aa 가 되는 수이고, 「nn제곱근 aa」는 기호 an\sqrt[n]{a} 를 읽는 말이에요.
44 의 제곱근은 x2=4x^2=4 의 근이므로 ±2\pm2 이에요.
제곱근 44 는 4=2\sqrt{4}=2 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

xn=ax^n=a 는 nn차방정식이므로 복소수의 범위에서 aa 의 nn제곱근은 nn 개 있어요.
예를 들어 88 의 세제곱근은 x3=8x^3=8 의 근이고, x3−8x^3-8 을 인수분해하여 구해요.
여기서는 주로 실수인 거듭제곱근을 다뤄요.

2실수인 nn제곱근

곡선 y=xny=x^n 과 직선 y=ay=a 의 교점의 xx 좌표가 방정식 xn=ax^n=a 의 실근, 즉 aa 의 nn제곱근 중 실수인 것이에요.

아래 그래프에서 nn 과 aa 를 바꾸며 교점을 세어 봐요. 결과는 그래프 아래 표에 정리했어요.

공식실수 aa 의 nn제곱근 중 실수인 것
nn 이 홀수
an  (하나)\displaystyle \sqrt[n]{a}\ \ (\text{하나})
aa 의 부호와 관계없이 하나이다. 예: −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2
nn 이 짝수, a>0a>0
an,  −an  (두 개)\displaystyle \sqrt[n]{a},\ \ -\sqrt[n]{a}\ \ (\text{두 개})
예: 1616 의 네제곱근 중 실수인 것은 ±2\pm2
nn 이 짝수, a=0a=0
0  (하나)\displaystyle 0\ \ (\text{하나})
nn 이 짝수, a<0a<0
없다\displaystyle \text{없다}
예: −16-16 의 네제곱근 중 실수인 것은 없다.

nn 이 짝수이고 a<0a<0 이면 실수인 nn제곱근은 없다.
짝수 번 거듭제곱한 실수는 00 이상이기 때문이에요.

학생
−8-8 의 세제곱근과 −8-8 의 네제곱근은 어떻게 달라요?
쌤
33 은 홀수라서 x3=−8x^3=-8 의 실근 −2-2 가 하나 있어요. 44 는 짝수이고 −8<0-8<0 이라서 실수인 네제곱근이 없어요.
정의기호 an\sqrt[n]{a}
nn 이 홀수이면 aa 의 실수인 nn제곱근(하나)을 an\sqrt[n]{a} 로 나타낸다.
nn 이 짝수이고 a>0a>0 이면 실수인 nn제곱근 중 양수 인 것을 an\sqrt[n]{a}, 음수인 것을 −an-\sqrt[n]{a} 로 나타낸다.
an\sqrt[n]{a} 는 「nn제곱근 aa」라 읽고, a2\sqrt[2]{a} 는 22 를 생략하여 a\sqrt{a} 로 쓴다.
0n=0\sqrt[n]{0}=0 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
164\sqrt[4]{16} 의 값은?
성질ann\sqrt[n]{a^n} 과 −an\sqrt[n]{-a}
nn 이 홀수이면 ann=a,−an=−an\sqrt[n]{a^n}=a,\quad \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}nn 이 짝수이면 ann\sqrt[n]{a^n} 은 ana^n 의 양의 nn제곱근(또는 00)이므로 ann=\sqrt[n]{a^n}= |a|이다.
예: (−2)33=−2\sqrt[3]{(-2)^3}=-2
예: (−2)44=164=2\sqrt[4]{(-2)^4}=\sqrt[4]{16}=2
an\sqrt[n]{a} 는 하나의 수
✗ 틀린 풀이
164=±2\sqrt[4]{16}=\pm2
왜 틀렸나 기호 an\sqrt[n]{a} 는 nn 이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근 중 양수인 것 하나만 나타낸다.
✓ 바른 풀이
164=2\sqrt[4]{16}=2
1616 의 네제곱근 중 실수인 것은 ±2\pm2 이지만, 기호 164\sqrt[4]{16} 은 그중 양수인 것 하나예요.
검산: 24=162^4=16 이고 2>02>0 이에요.
짝수 번 거듭제곱근 안의 음수
✗ 틀린 풀이
(−3)2=−3\sqrt{(-3)^2}=-3
왜 틀렸나 짝수 번 거듭제곱근은 항상 00 이상이므로 a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| 로 계산해야 한다.
✓ 바른 풀이
(−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3
nn 이 짝수이면 ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n}=|a| 이에요.
근호 안을 먼저 계산하면 틀리지 않아요.
자세히 보기펼치기예제
실수인 거듭제곱근 구하기
−273=−3\sqrt[3]{-27}=-3
↳−27-27 의 세제곱근 (nn 홀수)
±814=±3\pm\sqrt[4]{81}=\pm3
↳8181 의 네제곱근 (nn 짝수, a>0a>0)
325=2\sqrt[5]{32}=2
↳3232 의 다섯제곱근
x2=−9x^2=-9
↳실수인 근이 없어요 (nn 짝수, a<0a<0)

3거듭제곱근의 성질

근호의 지수가 22 가 아니어도 제곱근과 같은 성질이 성립해요. 근호의 지수가 같으면 근호 안끼리 곱하고 나눌 수 있어요.

공식a>0, b>0a>0,\ b>0 이고 m, nm,\ n 이 22 이상의 자연수, pp 가 자연수일 때
곱
an bn=abn\displaystyle \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
근호의 지수가 같을 때만 근호 안끼리 곱한다.
몫
anbn=abn\displaystyle \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
거듭제곱
(an)m=amn\displaystyle (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}
mm 제곱은 근호 안으로 들어간다.
근호 안의 근호
anm=amn\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}
근호의 지수끼리 곱한다.
지수 약분
ampnp=amn\displaystyle \sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}
근호의 지수와 근호 안의 지수를 같은 수로 나눈다(곱한다).
학생
근호의 지수가 다르면 바로 곱할 수 없어요?
쌤
바로는 못 곱해요. amn=ampnp\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}} 를 써서 근호의 지수를 최소공배수로 맞춘 뒤 곱해요.
응용하기
23 43=83=2\sqrt[3]{2}\,\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2
↳곱: □=3\square=3
34 274=814=3\sqrt[4]{3}\,\sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{81}=3
↳곱: □=4\square=4
54323=273=3\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{27}=3
↳몫의 성질
(53)6=563=25(\sqrt[3]{5})^6=\sqrt[3]{5^6}=25
↳거듭제곱의 성질
643=646=2\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2
↳근호 안의 근호
94=324=3\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt{3}
↳지수 약분
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
33 93\sqrt[3]{3}\,\sqrt[3]{9} 의 값은?
근호 안끼리 더하지 않는다
✗ 틀린 풀이
23+33=53\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{5}
왜 틀렸나 근호의 성질은 곱과 몫에 대한 것이므로 근호 안의 수끼리 더할 수는 없다.
✓ 바른 풀이
23+33\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3} 은 더 간단히 할 수 없다.
성질은 곱과 몫에 대한 거예요. 제곱근에서 2+3≠5\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5} 인 것과 같아요.
검산: 23+33≈1.26+1.44=2.70\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\approx1.26+1.44=2.70
53≈1.71\sqrt[3]{5}\approx1.71
근호의 지수가 다른 곱
✗ 틀린 풀이
2×23=45\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}=\sqrt[5]{4}
왜 틀렸나 anbn=abn\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} 는 근호의 지수가 같을 때만 쓰므로 먼저 지수를 맞춰야 한다.
✓ 바른 풀이
2×23=236×226=326\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^3}\times\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{32}
곱의 성질은 근호의 지수가 같을 때만 써요. 근호의 지수를 더하지 않아요.
먼저 최소공배수 66 으로 근호의 지수를 맞춰요.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기외우기 카드

틀로 쓰면 근호의 지수 자리를 □\square, 근호 안을 △\triangle, ◯\bigcirc 로 두어
△□ ◯□=△◯□\sqrt[\square]{\triangle}\,\sqrt[\square]{\bigcirc}=\sqrt[\square]{\triangle\bigcirc}
◯△□=◯□×△\sqrt[\square]{\sqrt[\triangle]{\bigcirc}}=\sqrt[\square\times\triangle]{\bigcirc}
처럼 기억해요. □\square 가 같아야 근호 안끼리 곱할 수 있어요.

성질왜 성립하는가
곱의 성질을 보이자. anbn\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} 를 nn 제곱하면
(anbn)n=(an)n(bn)n=ab(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n(\sqrt[n]{b})^n=ab
또 anbn>0\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}>0 이다.
따라서 anbn\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} 는 abab 의 양의 nn제곱근, 즉 abn\sqrt[n]{ab} 이다.
나머지도 같은 방법으로 「양변을 거듭제곱하면 같고, 둘 다 양수」임을 보이면 된다.
예를 들어 anm\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} 를 mnmn 제곱하면 ((anm)m)n=(an)n=a\left((\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^m\right)^n=(\sqrt[n]{a})^n=a 이다.
성질 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
an bn=ab□\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[\square]{ab}
단계 1 / 2근호의 지수끼리 곱한다.
anm=a□\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[\square]{a}
단계 1 / 2
ampnp=a□n\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^{\square}}
거듭제곱근 계산 순서
  1. 1
    근호 안의 수를 소인수분해하여 거듭제곱 꼴로 써요.
    예: 16=2416=2^4, 54=2×3354=2\times3^3
  2. 2
    근호 안에 근호가 있으면 근호의 지수끼리 곱해 하나로 만들어요.
    anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}
  3. 3
    곱·몫은 근호의 지수를 같게 만든 뒤 근호 안끼리 계산해요.
    지수가 다르면 ampnp=amn\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m} 을 거꾸로 써서 맞춰요.
  4. 4
    근호의 지수와 같은 거듭제곱은 근호 밖으로 꺼내요.
    예: 163=23×23=223\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^3\times2}=2\sqrt[3]{2}
  5. 5
    결과를 nn 제곱하여 처음 수가 나오는지 확인해요.
    검산

성질은 거꾸로도 써요.
abn=anbn\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} 로 쪼개면 근호 밖으로 수를 꺼낼 수 있어요.
amn=ampnp\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}} 로 키우면 근호의 지수가 다른 두 수를 같은 지수로 맞출 수 있어요.

예: 근호의 지수를 최소공배수 66 으로 맞추면 곱할 수 있어요.

2=236\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}
↳ampnp\sqrt[np]{a^{mp}} 로 키워요
23=226\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^2}
2×23=86×46=326\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\times\sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{32}
↳근호의 지수가 같아졌어요

4거듭제곱근의 크기 비교

성질같은 지수의 거듭제곱근
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때
a<b  ⟺  an<bna<b \iff \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}
이유: 양수 A, BA,\ B 에 대하여 A<B  ⟺  An<BnA<B \iff A^n<B^n 이다.
A=anA=\sqrt[n]{a}, B=bnB=\sqrt[n]{b} 로 놓으면 An=aA^n=a, Bn=bB^n=b 이다.
성질근호의 지수가 다른 거듭제곱근
근호의 지수가 다르면 근호의 지수를 그 최소공배수로 같게 만든 뒤 근호 안의 수를 비교한다.
또는 모두 최소공배수만큼 거듭제곱하여 비교해도 된다.
학생
근호 안의 수가 큰 쪽이 항상 더 커요?
쌤
근호의 지수가 같을 때만 그래요. 2\sqrt{2} 와 33\sqrt[3]{3} 처럼 지수가 다르면 최소공배수 66 으로 맞춘 86\sqrt[6]{8} 과 96\sqrt[6]{9} 를 비교해야 해요.
2\sqrt{2}, 33\sqrt[3]{3}, 106\sqrt[6]{10} 의 크기 비교
2=236=86\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}
↳2, 3, 62,\ 3,\ 6 의 최소공배수 66
33=326=96\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}
106\sqrt[6]{10}
↳그대로
2<33<106\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}
↳8<9<108<9<10
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
5\sqrt{5} 와 113\sqrt[3]{11} 중 큰 것은?
근호 안의 수만 보고 비교하지 않는다
✗ 틀린 풀이
5>35>3 이므로 53>3\sqrt[3]{5}>\sqrt{3}
왜 틀렸나 근호의 지수가 다르면 먼저 같은 지수로 맞춘 뒤 근호 안의 수를 비교해야 한다.
✓ 바른 풀이
3=276\sqrt{3}=\sqrt[6]{27}
53=256\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{25}
따라서 3>53\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}
근호의 지수가 다르면 근호 안의 수끼리 비교할 수 없어요.
검산: 3≈1.732\sqrt{3}\approx1.732
53≈1.710\sqrt[3]{5}\approx1.710
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1nn 이 22 이상의 자연수일 때, nn 제곱하여 aa 가 되는 수 xx, 즉 xn=ax^n=a 를 만족하는 xx 를 aa 의 nn제곱근이라 한다.
  2. 2실수인 nn제곱근은 nn 이 홀수이면 하나, nn 이 짝수이면 a>0a>0 일 때 두 개(±an\pm\sqrt[n]{a}), a=0a=0 일 때 00 하나, a<0a<0 일 때 없다.
  3. 3a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때
    anbn=abn\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
    (an)m=amn(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}
    anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}
    ampnp=amn\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}
  4. 4근호의 지수가 다른 수의 크기는 지수를 같게(최소공배수) 만든 뒤 근호 안의 수로 비교한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 164=±2\sqrt[4]{16}=\pm2 처럼 기호 an\sqrt[n]{a} 를 두 수로 생각해요. 「1616 의 네제곱근 중 실수인 것」은 ±2\pm2, 164\sqrt[4]{16} 은 22 이에요.
  • nn 이 짝수일 때 (−2)nn=−2\sqrt[n]{(-2)^n}=-2 로 써요. ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n}=|a| 이에요.
  • 2×23=45\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}=\sqrt[5]{4} 처럼 근호의 지수가 다른데 근호 안끼리 곱하거나, 근호 안의 수만 보고 크기를 비교해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    −27-27 의 세제곱근을 모두 구하고, 그중 실수인 것을 구하시오.
  2. 예제 2
    34×274+54323−643\sqrt[4]{3}\times\sqrt[4]{27}+\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{64}} 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    세 수 2\sqrt{2}, 33\sqrt[3]{3}, 54\sqrt[4]{5} 의 크기를 비교하시오.

다음 공부

다음 개념: 지수의 확장과 지수법칙 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 제곱근과 실수, 공통수학1 삼차방정식과 사차방정식, 공통수학1 복소수의 뜻과 서로 같은 복소수, 공통수학1 인수분해 공식, 중1 최대공약수와 최소공배수대수 목차
지수의 확장과 지수법칙 →
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