수학 개념 노트전체 과목

표본평균의 분포

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
모평균 mm, 모표준편차 σ\sigma 인 모집단에서 크기 nn 인 표본을 임의추출하면 표본평균 X‾\overline{X} 는 E(X‾)=mE(\overline{X})=m, V(X‾)=σ2nV(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}, σ(X‾)=σn\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 이에요. 모집단이 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 이면 X‾\overline{X} 는 N(m, σ2n)\mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) 을 따라요.
  1. 1모집단과 표본
  2. 2모평균과 표본평균
  3. 3표본평균의 분포
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1모집단과 표본

어떤 집단의 특성을 알아보려고 할 때, 집단 전체를 모두 조사하기도 하고 일부만 뽑아 조사하기도 해요.
조사 대상 전체를 조사하는 것을 전수조사, 일부만 뽑아 조사하는 것을 표본조사라 해요.

정의모집단과 표본
통계 조사에서 조사하려는 대상 전체를 모집단이라 하고, 모집단에서 뽑은 일부를 표본이라 한다.
표본에 들어 있는 대상의 개수를 표본의 크기라 한다.
학생
왜 전체를 다 조사하지 않고 일부만 뽑아요?
쌤
조사하면 제품이 망가지거나, 대상이 너무 많아 시간과 비용이 많이 들 때가 있어요. 그래서 표본을 골고루 뽑아 모집단을 짐작해요.
정의임의추출
모집단의 각 대상이 같은 확률로 뽑히도록 표본을 뽑는 방법을 임의추출이라 한다.
제비뽑기, 난수표, 컴퓨터의 난수 생성 등을 이용한다.
⚠ 주의표본은 모집단을 대표해야 한다
특정한 학교 학생만 조사하여 전국 고등학생의 수면 시간을 알아보려고 하면 표본이 한쪽으로 치우쳐요.
이런 표본으로는 모집단의 특성을 바르게 알 수 없으므로 반드시 임의추출을 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 전수조사보다 표본조사가 알맞은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

다음과 같은 경우에는 전수조사보다 표본조사가 알맞아요.
조사하면 제품이 망가지는 경우: 전구의 수명, 통조림의 품질
대상이 너무 많아 시간과 비용이 많이 드는 경우: 전국 유권자의 지지율, 강물의 오염도
반대로 인구주택총조사, 비행기 탑승객의 보안 검색처럼 한 명도 빠짐없이 조사해야 하는 경우에는 전수조사를 해요.

한 개를 뽑아 확인한 뒤 되돌려 놓고 다시 뽑는 것을 복원추출, 되돌려 놓지 않는 것을 비복원추출이라 해요.
여기서는 표본을 복원추출로 임의추출한 것으로 생각해요.
모집단이 충분히 크면 비복원추출도 복원추출과 거의 같아요.

2모평균과 표본평균

정의모평균·모분산·모표준편차
모집단에서 조사하려는 특성을 나타내는 확률변수를 XX 라 할 때
XX 의 평균을 모평균, 분산을 모분산, 표준편차를 모표준편차라 한다.
이것을 각각 mm, σ2\sigma^2, σ\sigma 로 나타낸다.
정의표본평균·표본분산·표본표준편차
모집단에서 크기가 nn 인 표본 X1, X2, ⋯ , XnX_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n 을 임의추출할 때
X‾=1n(X1+X2+⋯+Xn)\overline{X}=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n)
을 표본평균이라 한다.
S2=1n−1{(X1−X‾)2+(X2−X‾)2+⋯+(Xn−X‾)2}S^2=\dfrac{1}{n-1}\{(X_1-\overline{X})^2+(X_2-\overline{X})^2+\cdots+(X_n-\overline{X})^2\}
을 표본분산, S=S2S=\sqrt{S^2} 을 표본표준편차라 한다.
학생
모평균이랑 표본평균은 뭐가 달라요?
쌤
모평균 mm 은 정해진 상수예요. 표본평균 X‾\overline{X} 는 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 값이 달라지는 확률변수라서, 그 평균과 분산을 따져요.
공식모평균 mm, 모표준편차 σ\sigma 인 모집단에서 크기 nn 인 표본을 임의추출할 때
평균
E(X‾)=m\displaystyle E(\overline{X})=m
모평균과 같다.
분산
V(X‾)=σ2n\displaystyle V(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}
모분산을 nn 으로 나눈다.
표준편차
σ(X‾)=σn\displaystyle \sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
모표준편차를 n\sqrt{n} 으로 나눈다.

E(X‾)E(\overline{X}) 는 모평균과 같고, V(X‾)V(\overline{X}) 는 모분산을 표본의 크기 nn 으로 나눈 값이에요.

예모평균이 5050, 모표준편차가 88 인 모집단에서 크기가 1616 인 표본을 임의추출할 때
E(X‾)=50E(\overline{X})=50
V(X‾)=8216=4V(\overline{X})=\dfrac{8^2}{16}=4
σ(X‾)=816=2\sigma(\overline{X})=\dfrac{8}{\sqrt{16}}=2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모표준편차가 66 인 모집단에서 크기가 99 인 표본을 임의추출할 때 σ(X‾)\sigma(\overline{X}) 의 값은?
표준편차는 √n 으로 나눈다
✗ 틀린 풀이
σ=8\sigma=8, n=16n=16 일 때
σ(X‾)=816=12\sigma(\overline{X})=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}
왜 틀렸나 표본평균의 표준편차는 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 이므로 16=4\sqrt{16}=4 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
σ(X‾)=816=2\sigma(\overline{X})=\dfrac{8}{\sqrt{16}}=2
분산은 nn 으로, 표준편차는 n\sqrt{n} 으로 나눠요.
분산에는 σ² 을 넣는다
✗ 틀린 풀이
모표준편차가 44, n=16n=16 일 때
V(X‾)=416=14V(\overline{X})=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}
왜 틀렸나 V(X‾)=σ2nV(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n} 이므로 모표준편차 44 를 제곱하여 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
V(X‾)=4216=1V(\overline{X})=\dfrac{4^2}{16}=1
주어진 값이 모표준편차인지 모분산인지 먼저 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제 2

표본분산은 분산을 구할 때와 달리 nn 이 아니라 n−1n-1 로 나눠요. 이렇게 해야 표본분산이 모분산에 더 가까운 값이 되기 때문이에요.
모평균 mm 은 정해진 상수이지만, 표본평균 X‾\overline{X} 는 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 값이 달라지는 확률변수예요.
실제로 뽑은 표본에서 계산한 표본평균의 값은 소문자 x‾\overline{x} 로 나타내요.

위 공식을 예로 확인해 봐요. 숫자 1, 3, 51,\ 3,\ 5 가 하나씩 적힌 카드 33 장이 모집단이라 해요. 카드에 적힌 수를 XX 라 하면
m=1+3+53=3m=\dfrac{1+3+5}{3}=3
σ2=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=83\sigma^2=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\dfrac{8}{3}
이 모집단에서 크기가 22 인 표본을 복원추출하면 표본은 3×3=93\times3=9 가지예요.
각 표본의 평균을 표로 구하면 아래와 같아요.

두 번 뽑은 수와 그 평균
첫째＼둘째113355
11112233
33223344
55334455
칸의 수가 표본평균이에요. 33 이 33 칸(칠한 곳), 22 와 44 가 22 칸씩, 11 과 55 가 11 칸씩이에요.
X‾\overline{X} 의 확률분포
19\frac{1}{9}
29\frac{2}{9}
13\frac{1}{3}
19\frac{1}{9}
11
29\frac{2}{9}
22
13\frac{1}{3}
33
29\frac{2}{9}
44
19\frac{1}{9}
55
X‾\overline{X}
P(X‾=x‾)P(\overline{X}=\overline{x})
99 가지 표본의 평균이 모평균 33 근처에 많이 모여요.
이 분포의 평균과 분산
E(X‾)=1×1+2×2+3×3+4×2+5×19=3E(\overline{X})=\frac{1\times1+2\times2+3\times3+4\times2+5\times1}{9}=3
↳(값)×\times(칸 수)
V(X‾)=4×1+1×2+0×3+1×2+4×19=43V(\overline{X})=\frac{4\times1+1\times2+0\times3+1\times2+4\times1}{9}=\frac{4}{3}
↳(편차)2×^2\times(개수)

E(X‾)E(\overline{X}) 는 모평균 33 과 같고, V(X‾)V(\overline{X}) 는 모분산 83\dfrac{8}{3} 을 표본의 크기 22 로 나눈 값과 같아요.
즉 V(X‾)V(\overline{X}) 는 모분산을 표본의 크기 nn 으로 나눈 값이에요.

왜 분산이 작아질까요? 여러 개를 뽑아 평균을 내면 큰 값과 작은 값이 서로 상쇄되어 X‾\overline{X} 의 값은 mm 근처에 모이게 돼요.
표본의 크기 nn 이 클수록 더 많이 상쇄되므로 X‾\overline{X} 의 분산은 작아져요.
표준편차는 n\sqrt{n} 으로 나누므로, 표준편차를 12\dfrac{1}{2} 배로 줄이려면 표본의 크기를 44 배로 늘려야 해요.
이 성질로 모평균을 추정해요.

공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3
V(X‾)=σ□nV(\overline{X})=\dfrac{\sigma^{\square}}{n}
단계 1 / 2
σ(X‾)=σ□\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\square}
예응용
모집단이 표로 주어진 경우
모집단의 확률분포가 다음과 같고, 크기가 44 인 표본을 임의추출해요.X012합계P(X=x)1412141\begin{array}{c|ccc|c} X & 0 & 1 & 2 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 1 \end{array}먼저 모평균과 모분산을 구해요.
m=0×14+1×12+2×14=1m=0\times\dfrac{1}{4}+1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{4}=1
E(X2)=0×14+1×12+4×14=32E(X^2)=0\times\dfrac{1}{4}+1\times\dfrac{1}{2}+4\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2}
σ2=32−12=12\sigma^2=\dfrac{3}{2}-1^2=\dfrac{1}{2}
따라서
E(X‾)=1E(\overline{X})=1
V(X‾)=12÷4=18V(\overline{X})=\dfrac{1}{2}\div4=\dfrac{1}{8}

3표본평균의 분포

성질표본평균의 분포
모집단이 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르면, 크기가 nn 인 표본의 표본평균 X‾\overline{X} 는 정규분포
N(m, σ2n)\mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)
을 따른다.
모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 nn 이 충분히 크면 X‾\overline{X} 는 근사적으로 정규분포 N(m, σ2n)\mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) 을 따른다.
학생
왜 X‾\overline{X} 의 곡선이 더 좁고 높아요?
쌤
표본평균은 여러 값을 평균 낸 것이라 큰 값과 작은 값이 서로 비겨서 mm 근처에 모여요. 표준편차가 σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}} 로 작아지니 곡선이 좁고 높아져요.
모집단이 N(100, 202)\mathrm{N}(100,\ 20^2) 을 따르고 크기가 1616 인 표본을 임의추출할 때
σ(X‾)=2016=5\sigma(\overline{X})=\frac{20}{\sqrt{16}}=5
↳X‾\overline{X} 는 N(100, 52)\mathrm{N}(100,\ 5^2)
P(X‾≥110)=P(Z≥2)P(\overline{X}\ge 110)=P(Z\ge 2)
↳Z=X‾−1005Z=\frac{\overline{X}-100}{5}
=0.5−0.4772=0.0228=0.5-0.4772=0.0228
P(95≤X‾≤105)=P(−1≤Z≤1)P(95\le\overline{X}\le 105)=P(-1\le Z\le 1)
=2×0.3413=0.6826=2\times0.3413=0.6826
(단, P(0≤Z≤1)=0.3413P(0\le Z\le 1)=0.3413, P(0≤Z≤2)=0.4772P(0\le Z\le 2)=0.4772)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모집단이 N(60, 102)\mathrm{N}(60,\ 10^2) 을 따를 때, 크기가 2525 인 표본의 표본평균 X‾\overline{X} 가 따르는 분포는?
표준화할 때 σ/√n 으로 나눈다
✗ 틀린 풀이
P(X‾≥110)=P(Z≥110−10020)=P(Z≥0.5)P(\overline{X}\ge 110)=P\left(Z\ge \dfrac{110-100}{20}\right)=P(Z\ge 0.5)
왜 틀렸나 표본평균을 표준화할 때는 X‾\overline{X} 의 표준편차 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
P(X‾≥110)=P(Z≥110−1005)=P(Z≥2)P(\overline{X}\ge 110)=P\left(Z\ge \dfrac{110-100}{5}\right)=P(Z\ge 2)
바른 계산에서 σ(X‾)=2016=5\sigma(\overline{X})=\dfrac{20}{\sqrt{16}}=5 이다.
확인 방법: 표본평균의 표준편차는 모표준편차보다 작아야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

XX 와 X‾\overline{X} 를 나란히 비교하면 다음과 같아요.
평균은 둘 다 mm 이므로 곡선의 중심은 같아요.
표준편차는 σ\sigma 와 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 이고 n>1n>1 이면 n>1\sqrt{n}>1 이므로 X‾\overline{X} 의 곡선이 더 좁고 높아요.

표본평균에 대한 확률을 구하는 순서
  1. 1
    모평균 mm, 모표준편차 σ\sigma, 표본의 크기 nn 을 확인해요.
  2. 2
    σ(X‾)=σn\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 을 구해요.
    X‾\overline{X} 는 N(m, (σn)2)\mathrm{N}\left(m,\ \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2\right) 을 따라요.
  3. 3
    Z=X‾−mσ/nZ=\dfrac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}} 으로 표준화해요.
    분모는 σ\sigma 가 아니라 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 이에요.
  4. 4
    표준정규분포표를 이용하여 확률을 구해요.
거꾸로
σ=12\sigma=12 이고 σ(X‾)=2\sigma(\overline{X})=2 가 되는 표본의 크기
12n=2\frac{12}{\sqrt{n}}=2
n=6\sqrt{n}=6
n=36n=36
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1모집단에서 크기가 nn 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X‾\overline{X} 에 대하여
  2. 2E(X‾)=mE(\overline{X})=m
    V(X‾)=σ2nV(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}
    σ(X‾)=σn\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
    (mm 은 모평균, σ\sigma 는 모표준편차)
  3. 3모집단이 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르면 X‾\overline{X} 는 정규분포 N(m, σ2n)\mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) 을 따른다.
  4. 4모집단이 정규분포가 아니어도 nn 이 충분히 크면 X‾\overline{X} 는 근사적으로 N(m, σ2n)\mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) 을 따른다.
✗ 자주 하는 실수
  • σ(X‾)\sigma(\overline{X}) 를 σn\dfrac{\sigma}{n} 으로 계산해요. 표준편차는 n\sqrt{n} 으로 나누고, 분산을 nn 으로 나눠요.
  • 표본평균의 확률을 구할 때 Z=X‾−mσZ=\dfrac{\overline{X}-m}{\sigma} 처럼 모표준편차로 표준화해요. 분모는 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 이에요.
  • 모표준편차가 주어졌는데 그대로 σn\dfrac{\sigma}{n} 에 넣어 분산이라고 하거나, 모분산과 모표준편차를 혼동해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    모평균이 3030, 모표준편차가 66 인 모집단에서 크기가 99 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X‾\overline{X} 의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.
  2. 예제 2
    모집단의 확률분포가 다음 표와 같다. 이 모집단에서 크기가 88 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X‾\overline{X} 의 표준편차를 구하시오.X123합계P(X=x)1412141\begin{array}{c|ccc|c} X & 1 & 2 & 3 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 1 \end{array}
  3. 예제 3
    정규분포 N(80, 102)\mathrm{N}(80,\ 10^2) 을 따르는 모집단에서 크기가 2525 인 표본을 임의추출할 때, P(X‾≥84)P(\overline{X}\ge 84) 를 구하시오. (단, P(0≤Z≤2)=0.4772P(0\le Z\le 2)=0.4772)

다음 공부

다음 개념: 모평균의 추정 →
이전 개념: 표준정규분포설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 산포도확률과 통계 목차
← 표준정규분포모평균의 추정 →
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