모집단 전체를 조사하기 어려우므로 모평균 m m m 표본평균 x ‾ \overline{x} x m m m
이전 개념 정의 추정
표본에서 얻은 정보를 이용하여 모평균, 모비율 등 모집단의 특성을 나타내는 값을 짐작하는 것을 추정 이라 한다.
학생 표본평균 하나로 모평균을 딱 맞힐 수 있어요?
쌤 표본마다 표본평균이 달라서 딱 맞히기는 어려워요. 그래서 「이 구간 안에 있다」처럼 구간으로 짐작하고, 그 방법을 얼마나 믿을 수 있는지도 함께 나타내요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 표본에 따라 달라지지 않는 정해진 값은?
표본평균 X ‾ \overline{X} X 신뢰구간의 양 끝 값 모평균 m m m + 펼치기 접기 왜 그런지 표본평균 하나로 「m m m 100 100 100 m m m 96.08 96.08 96.08 103.92 103.92 103.92
정의 신뢰구간
모집단에서 크기가 n n n x ‾ \overline{x} x x ‾ − 1.96 σ n ≤ m ≤ x ‾ + 1.96 σ n \overline{x}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x − 1.96 n σ ≤ m ≤ x + 1.96 n σ m m m 95 % 95\,\% 95 % 신뢰구간 이라 한다.P ( − 2.58 ≤ Z ≤ 2.58 ) = 0.99 P(-2.58\le Z\le 2.58)=0.99 P ( − 2.58 ≤ Z ≤ 2.58 ) = 0.99 1.96 1.96 1.96 2.58 2.58 2.58 99 % 99\,\% 99 % 공식 모평균 m m m σ \sigma σ n n n x ‾ \overline{x} x x ‾ − 1.96 σ n ≤ m ≤ x ‾ + 1.96 σ n \displaystyle \overline{x}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x − 1.96 n σ ≤ m ≤ x + 1.96 n σ P ( 0 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 0.475 P(0\le Z\le 1.96)=0.475 P ( 0 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 0.475 x ‾ − 2.58 σ n ≤ m ≤ x ‾ + 2.58 σ n \displaystyle \overline{x}-2.58\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+2.58\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x − 2.58 n σ ≤ m ≤ x + 2.58 n σ P ( 0 ≤ Z ≤ 2.58 ) = 0.495 P(0\le Z\le 2.58)=0.495 P ( 0 ≤ Z ≤ 2.58 ) = 0.495 두 공식은 「x ‾ ± k × σ n \overline{x}\pm k\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x ± k × n σ 95 % 95\,\% 95 % k = k= k = 1.96 1.96 1.96 이고, 99 % 99\,\% 99 % k = 2.58 k=2.58 k = 2.58
예 모집단이 N ( m , 10 2 ) \mathrm{N}(m,\ 10^2) N ( m , 1 0 2 ) 25 25 25 100 100 100 σ n = 10 25 = 2 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{10}{\sqrt{25}}=2 n σ = 25 10 = 2 95 % 95\,\% 95 % 1.96 × 2 = 3.92 1.96\times2=3.92 1.96 × 2 = 3.92 100 − 3.92 ≤ m ≤ 100 + 3.92 100-3.92\le m\le 100+3.92 100 − 3.92 ≤ m ≤ 100 + 3.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 96.08\le m\le 103.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 99 % 99\,\% 99 % 2.58 × 2 = 5.16 2.58\times2=5.16 2.58 × 2 = 5.16 94.84 ≤ m ≤ 105.16 94.84\le m\le 105.16 94.84 ≤ m ≤ 105.16 x ‾ = 100 \overline{x}=100 x = 100 95 % 95\,\% 95 % 96.08 ≤ m ≤ 103.92 96.08\le m\le 103.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 99 % 99\,\% 99 % 94.84 ≤ m ≤ 105.16 94.84\le m\le 105.16 94.84 ≤ m ≤ 105.16 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 두 구간 모두 가운데가
x ‾ = 100 \overline{x}=100 x = 100 이에요. 신뢰도가 높은
99 % 99\,\% 99 % 구간이 더 길어요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
모표준편차가 8 8 8 16 16 16 50 50 50 m m m 95 % 95\,\% 95 % 49.02 ≤ m ≤ 50.98 49.02\le m\le 50.98 49.02 ≤ m ≤ 50.98 46.08 ≤ m ≤ 53.92 46.08\le m\le 53.92 46.08 ≤ m ≤ 53.92 34.32 ≤ m ≤ 65.68 34.32\le m\le 65.68 34.32 ≤ m ≤ 65.68 σ 를 √n 으로 나눈다
✗ 틀린 풀이
100 − 1.96 × 10 ≤ m ≤ 100 + 1.96 × 10 100-1.96\times10\le m\le 100+1.96\times10 100 − 1.96 × 10 ≤ m ≤ 100 + 1.96 × 10 80.4 ≤ m ≤ 119.6 80.4\le m\le 119.6 80.4 ≤ m ≤ 119.6 왜 틀렸나 신뢰구간은 표본평균 X ‾ \overline{X} X 1.96 1.96 1.96 σ n \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} n σ ↓ ✓ 바른 풀이
100 − 1.96 × 10 25 ≤ m ≤ 100 + 1.96 × 10 25 100-1.96\times\dfrac{10}{\sqrt{25}}\le m\le 100+1.96\times\dfrac{10}{\sqrt{25}} 100 − 1.96 × 25 10 ≤ m ≤ 100 + 1.96 × 25 10 96.08 ≤ m ≤ 103.92 96.08\le m\le 103.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 확인 방법: 10 25 = 2 \dfrac{10}{\sqrt{25}}=2 25 10 = 2 1.96 × 2 = 3.92 1.96\times2=3.92 1.96 × 2 = 3.92 100 100 100 학생 그럼 m m m 95 % 95\,\% 95 % 쌤 그렇게 말하면 안 돼요. m m m ⚠ 주의 신뢰도 95 % 의 뜻
모평균 m m m 95 % 95\,\% 95 % m m m m m m + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 외우기 카드 두 공식은 「x ‾ ± k × σ n \overline{x}\pm k\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x ± k × n σ 95 % 95\,\% 95 % k = k= k = 1.96 1.96 1.96 99 % 99\,\% 99 % k = 2.58 k=2.58 k = 2.58 x ‾ \overline{x} x σ n \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} n σ .
이전 개념 왜 이런 구간이 되는지 알아봐요.N ( m , σ 2 ) \mathrm{N}(m,\ \sigma^2) N ( m , σ 2 ) n n n X ‾ \overline{X} X N ( m , σ 2 n ) \mathrm{N}\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) N ( m , n σ 2 ) Z = X ‾ − m σ / n Z=\dfrac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}} Z = σ / n X − m 표준정규분포 를 따라요.P ( 0 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 0.475 P(0\le Z\le 1.96)=0.475 P ( 0 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 0.475 P ( − 1.96 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 2 × 0.475 = 0.95 P(-1.96\le Z\le 1.96)=2\times0.475=0.95 P ( − 1.96 ≤ Z ≤ 1.96 ) = 2 × 0.475 = 0.95
이전 개념 괄호 안의 부등식 을 m m m
이전 개념 − 1.96 ≤ X ‾ − m σ / n ≤ 1.96 -1.96\le \frac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}}\le 1.96 − 1.96 ≤ σ / n X − m ≤ 1.96 − 1.96 σ n ≤ X ‾ − m ≤ 1.96 σ n -1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \overline{X}-m\le 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} − 1.96 n σ ≤ X − m ≤ 1.96 n σ ↳ ◀ 각 변에 σ n \frac{\sigma}{\sqrt{n}} n σ − 1.96 σ n ≤ m − X ‾ ≤ 1.96 σ n -1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m-\overline{X}\le 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} − 1.96 n σ ≤ m − X ≤ 1.96 n σ ↳ ◀ 각 변에 − 1 -1 − 1 X ‾ − 1.96 σ n ≤ m ≤ X ‾ + 1.96 σ n \overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} X − 1.96 n σ ≤ m ≤ X + 1.96 n σ ↳ ◀ 각 변에 X ‾ \overline{X} X 이 부등식이 성립할 확률이
0.95 0.95 0.95 예요.
공식 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 3
95 % = x ‾ ± □ σ n 95\,\%=\overline{x}\pm \square\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 95 % = x ± □ n σ 정답 보기
단계 1 / 2
99 % = x ‾ ± □ σ n 99\,\%=\overline{x}\pm \square\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 99 % = x ± □ n σ 정답 보기
신뢰구간을 구하는 순서
1 모분산이 주어지면 제곱근을 구하여 σ \sigma σ 2 3 95 % 95\,\% 95 % 1.96 1.96 1.96 99 % 99\,\% 99 % 2.58 2.58 2.58 4 표본 10 10 10 10 10 10 m 세로 점선이 모평균 m m m m m m 95 % 95\,\% 95 % m m m 모표준편차 σ \sigma σ n n n n ≥ 30 n\ge 30 n ≥ 30 σ \sigma σ s s s
예 응용
표본표준편차를 쓰는 경우
크기가 100 100 100 50 50 50 5 5 5 n n n σ \sigma σ 5 5 5 5 100 = 0.5 \dfrac{5}{\sqrt{100}}=0.5 100 5 = 0.5 1.96 × 0.5 = 0.98 1.96\times0.5=0.98 1.96 × 0.5 = 0.98 95 % 95\,\% 95 % 49.02 ≤ m ≤ 50.98 49.02\le m\le 50.98 49.02 ≤ m ≤ 50.98 신뢰구간 x ‾ − k σ n ≤ m ≤ x ‾ + k σ n \overline{x}-k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le\overline{x}+k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} x − k n σ ≤ m ≤ x + k n σ 2 k σ n 2k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 2 k n σ
성질 신뢰구간의 길이
신뢰도 95 % 95\,\% 95 % 2 × 1.96 σ n 2\times1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 2 × 1.96 n σ 99 % 99\,\% 99 % 2 × 2.58 σ n 2\times2.58\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 2 × 2.58 n σ k k k n n n σ \sigma σ 쌤 아니에요. 길이 2 k σ n 2k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} 2 k n σ x ‾ \overline{x} x σ \sigma σ n n n 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
다른 조건은 그대로 두고 표본의 크기만 9 9 9 1 9 \dfrac{1}{9} 9 1 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1 3 3 3 길이에는 2 를 곱한다
✗ 틀린 풀이
σ = 10 \sigma=10 σ = 10 n = 25 n=25 n = 25 95 % 95\,\% 95 % 1.96 × 2 = 3.92 1.96\times2=3.92 1.96 × 2 = 3.92 왜 틀렸나 신뢰구간의 길이는 가운데에서 양쪽 끝까지의 거리를 합한 것이므로 2 2 2 ↓ ✓ 바른 풀이
2 × 1.96 × 2 = 7.84 2\times1.96\times2=7.84 2 × 1.96 × 2 = 7.84 확인 방법: 신뢰구간 96.08 ≤ m ≤ 103.92 96.08\le m\le 103.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 103.92 − 96.08 = 7.84 103.92-96.08=7.84 103.92 − 96.08 = 7.84 n 을 4 배로 하면
✗ 틀린 풀이
길이가 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 왜 틀렸나 신뢰구간의 길이는 1 n \dfrac{1}{\sqrt{n}} n 1 n n n 4 4 4 1 4 \dfrac{1}{\sqrt{4}} 4 1 ↓ ✓ 바른 풀이
길이가 1 4 = 1 2 \dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2} 4 1 = 2 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 이유는 다음과 같아요. 신뢰구간 a ≤ m ≤ b a\le m\le b a ≤ m ≤ b b − a b-a b − a ( x ‾ + k σ n ) − ( x ‾ − k σ n ) = 2 k σ n \left(\overline{x}+k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\overline{x}-k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ( x + k n σ ) − ( x − k n σ ) = 2 k n σ x ‾ \overline{x} x σ \sigma σ n n n
길이는 n \sqrt{n} n 4 4 4 1 4 = 1 2 \dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2} 4 1 = 2 1 2 2 2 1 2 \dfrac{1}{\sqrt{2}} 2 1
거꾸로 신뢰구간 96.08 ≤ m ≤ 103.92 96.08\le m\le 103.92 96.08 ≤ m ≤ 103.92 σ = 10 \sigma=10 σ = 10 x ‾ = 96.08 + 103.92 2 = 100 \overline{x}=\frac{96.08+103.92}{2}=100 x = 2 96.08 + 103.92 = 100 ↳ ◀ 가운데가 표본평균
1.96 × 10 n = 3.92 1.96\times\frac{10}{\sqrt{n}}=3.92 1.96 × n 10 = 3.92 ↳ ◀ 한쪽 거리 103.92 − 100 103.92-100 103.92 − 100 길이가 2 2 2 σ = 10 \sigma=10 σ = 10 95 % 95\,\% 95 % 2 × 1.96 × 10 n ≤ 2 2\times1.96\times\frac{10}{\sqrt{n}}\le 2 2 × 1.96 × n 10 ≤ 2 ↳ ◀ 길이 2 k σ n 2k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} 2 k n σ 39.2 ≤ 2 n 39.2\le 2\sqrt{n} 39.2 ≤ 2 n n ≥ 19.6 \sqrt{n}\ge 19.6 n ≥ 19.6 n ≥ 384.16 n\ge 384.16 n ≥ 384.16 ↳ ◀ 양변을 제곱해요
따라서
n n n 의 최솟값은
385 385 385 예요.