수학 개념 노트전체 과목

조건부확률

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
사건 AA 가 일어났을 때 사건 BB 가 일어날 조건부확률은 P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} 이고, 이를 바꾸어 쓴 P(A∩B)=P(A)P(B∣A)\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A) 를 확률의 곱셈정리라 해요.
  1. 1조건부확률의 뜻
  2. 2표(분할표)로 구하기
  3. 3확률의 곱셈정리
  4. 4비복원 추출
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1조건부확률의 뜻

정의조건부확률
확률이 00 이 아닌 사건 AA 가 일어났다고 가정할 때 사건 BB 가 일어날 확률을, 사건 AA 가 일어났을 때의 사건 BB 의 조건부확률이라 한다.
이것을 기호로 P(B∣A)\mathrm{P}(B|A) 와 같이 나타낸다.P(B∣A)=P(A∩B)P(A) (단, P(A)>0)\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}\ (\text{단, }\mathrm{P}(A)>0)근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때는 다음과 같이 원소의 개수로 구할 수도 있다.P(B∣A)=n(A∩B)n(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}

사건 AA 가 일어났다는 것을 알면 AA 를 새로운 표본공간으로 보고, 그 안에서 BB 가 일어나는 A∩BA\cap B 의 원소를 세요.

학생
그럼 분모가 n(S)n(S) 가 아니라 n(A)n(A) 예요?
쌤
네. AA 가 일어났다는 걸 알면 AA 밖의 결과는 볼 필요가 없어요. 그래서 분모는 n(A)n(A), 분자는 AA 안에서 BB 인 n(A∩B)n(A\cap B) 예요.
예주사위 한 개를 던져 짝수의 눈이 나왔을 때, 그 눈이 33 이상일 확률
짝수의 눈이 나오는 사건을 AA, 33 이상의 눈이 나오는 사건을 BB 라 해요.
A={2, 4, 6}A=\{2,\ 4,\ 6\}
A∩B={4, 6}A\cap B=\{4,\ 6\}
AA 를 표본공간으로 보면
P(B∣A)=n(A∩B)n(A)=23\mathrm{P}(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}
정의의 식으로 계산해도 같아요.
P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=2636=23\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{2}{3}
AA 가 새 표본공간
SAB
22
4, 64,\ 6
3, 53,\ 5
11
AA(짝수)가 일어났으면 AA 의 원 안만 봐요. 그 안의 33 개 중 칠한 A∩BA\cap B 가 22 개라 23\frac{2}{3} 이에요.
공식조건부확률
정의
P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}
P(A)>0\mathrm{P}(A)>0
개수로
P(B∣A)=n(A∩B)n(A)\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}
근원사건의 가능성이 같을 때
순서를 바꾸면
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}
P(B)>0\mathrm{P}(B)>0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 던져 55 이하의 눈이 나왔을 때, 그 눈이 짝수일 확률은?
분모를 잘못 잡기 (1)
P(B∣A)\mathrm{P}(B|A) 와 P(A∣B)\mathrm{P}(A|B)
✗ 틀린 풀이
짝수의 눈이 나왔을 때 33 이상일 확률
n(A∩B)n(B)=24=12\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
왜 틀렸나 AA 가 일어났을 때의 조건부확률이므로 분모는 이미 일어난 사건 AA 의 원소의 개수이다.
✓ 바른 풀이
짝수의 눈이 나왔을 때 33 이상일 확률
n(A∩B)n(A)=23\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}
확인 방법: 짝수의 눈 2, 4, 62,\ 4,\ 6 만 남겨 놓고 그중 33 이상인 4, 64,\ 6 을 세면 23\frac{2}{3} 이다.
분모를 잘못 잡기 (2)
조건부확률과 곱사건의 확률
✗ 틀린 풀이
짝수의 눈이 나왔을 때 33 이상일 확률
n(A∩B)n(S)=26=13\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
왜 틀렸나 조건이 주어지면 표본공간이 사건 AA 로 줄어들므로 분모에 n(A)n(A) 를 써야 한다.
✓ 바른 풀이
짝수의 눈이 나왔을 때 33 이상일 확률
n(A∩B)n(A)=23\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}
기억 요령: 「~일 때」 앞에 오는 사건이 분모가 된다.
짝수의 눈 33 개 중 33 이상인 것은 22 개이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

왜 이런 식이 되는지 알아봐요.
사건 AA 가 일어났다는 것을 알면 일어날 수 있는 결과는 AA 의 원소뿐이에요.
즉 AA 를 새로운 표본공간으로 보고, 그 안에서 BB 가 일어나는 경우인 A∩BA\cap B 의 원소를 세요.P(B∣A)=n(A∩B)n(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}개수를 확률로 바꾸려고 분모와 분자를 각각 n(S)n(S) 로 나누면
n(A∩B)n(A)=n(A∩B)n(S)n(A)n(S)=P(A∩B)P(A)\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(A)}{n(S)}}=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}

성질틀로 외우기
P(△∣□)\mathrm{P}(△|□)
P(△∣□)=P(□∩△)P(□)\mathrm{P}(△|□)=\frac{\mathrm{P}(□\cap△)}{\mathrm{P}(□)}
세로선 오른쪽의 □ 는 「이미 일어난 사건」 이고 분모가 된다.
분자는 두 사건이 동시에 일어나는 □ ∩\cap △ 이다.
조건부확률을 구하는 순서
  1. 1
    「~ 일 때」, 「~ 중에서」 로 주어진 이미 일어난 사건을 AA 로 정해요.
    문제의 문장에서 조건을 먼저 찾아요.
  2. 2
    구하는 사건 BB 와 곱사건 A∩BA\cap B 를 정해요.
  3. 3
    n(A∩B)n(A)\frac{n(A\cap B)}{n(A)} 또는 P(A∩B)P(A)\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} 를 계산해요.
    결과는 P(A∩B)\mathrm{P}(A\cap B) 이상, 11 이하이어야 해요.

2표(분할표)로 구하기

두 가지 기준으로 나누어 조사한 결과를 표로 나타내면 조건부확률을 바로 읽을 수 있어요.
어느 학교 학생 100100 명의 안경 착용 여부를 조사한 결과가 다음과 같아요.

안경 씀안경 안 씀합계
남학생242436366060
여학생202020204040
합계44445656100100
조건이 가리키는 행(또는 열)의 합계가 분모, 그 행과 구하는 열이 만나는 칸이 분자예요. 칠한 두 칸은 「여학생일 때 안경을 쓴 학생일 확률」 2040\frac{20}{40} 의 분자와 분모예요.
예표에서 읽기
임의로 택한 학생이 여학생일 때 안경을 쓴 학생일 확률
여학생 행의 합계 4040 이 분모예요.
2040=12\frac{20}{40}=\frac{1}{2}
임의로 택한 학생이 안경을 쓴 학생일 때 여학생일 확률
안경 쓴 학생 열의 합계 4444 가 분모예요.
2044=511\frac{20}{44}=\frac{5}{11}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
학생 100100 명을 조사한 표에서, 임의로 택한 학생이 남학생일 때 안경을 쓴 학생일 확률은?
표에서 합계를 잘못 고르기
✗ 틀린 풀이
안경을 쓴 학생일 때 여학생일 확률
2040=12\frac{20}{40}=\frac{1}{2}
왜 틀렸나 조건이 「안경을 쓴 학생」이므로 안경을 쓴 학생 전체의 수 4444 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
안경을 쓴 학생일 때 여학생일 확률
2044=511\frac{20}{44}=\frac{5}{11}
기억 요령: 표에서는 조건에 해당하는 행이나 열 하나만 남기고 그 합계를 분모로 쓴다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

표에 인원 대신 비율(확률)이 적혀 있어도 같은 방법으로 구해요.
이때는 P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} 의 분모와 분자를 표에서 읽는 거예요.

3확률의 곱셈정리

성질확률의 곱셈정리
조건부확률의 정의의 양변에 P(A)\mathrm{P}(A) 를 곱하면 다음을 얻는다. 이것을 확률의 곱셈정리 라 한다.P(A∩B)=P(A)P(B∣A) (단, P(A)>0)\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)\ (\text{단, }\mathrm{P}(A)>0)같은 방법으로 P(A∣B)=P(A∩B)P(B)\mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)} 에서P(A∩B)=P(B)P(A∣B) (단, P(B)>0)\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A|B)\ (\text{단, }\mathrm{P}(B)>0)「AA 가 일어나고, 그다음 BB 가 일어날 확률」 은 차례로 곱하면 된다는 뜻이다.
공식확률의 곱셈정리
AA 가 먼저
P(A∩B)=P(A)P(B∣A)\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)
BB 가 먼저
P(A∩B)=P(B)P(A∣B)\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A|B)
거꾸로
P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}
곱사건의 확률을 알면 조건부확률을 구한다.
예당첨 제비 33 개를 포함한 1010 개의 제비에서 한 개씩 두 번 뽑을 때(뽑은 제비는 다시 넣지 않는다) 두 번 모두 당첨될 확률
첫 번째에 당첨될 확률은
310\frac{3}{10}
첫 번째에 당첨되었을 때 남은 99 개 중 당첨 제비는 22 개이므로
29\frac{2}{9}
곱셈정리에 의해
310×29=115\frac{3}{10}\times\frac{2}{9}=\frac{1}{15}
비복원으로 두 번 뽑기
당첨
꽝
당첨
당첨
꽝
꽝
29\frac{2}{9}
79\frac{7}{9}
13\frac{1}{3}
23\frac{2}{3}
310\frac{3}{10}
710\frac{7}{10}
첫 번째에 당첨되면 두 번째는 99 개 중 당첨 22 개라 29\frac{2}{9} 예요. 맨 위 가지를 따라 곱하면 310×29=115\frac{3}{10}\times\frac{2}{9}=\frac{1}{15} 이에요.
학생
나뭇가지 그림에서는 가지를 따라 곱하기만 하면 돼요?
쌤
네. 둘째 가지에 적힌 확률이 바로 앞 결과가 일어났을 때의 조건부확률이라서, 가지를 따라 곱하면 곱셈정리가 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
P(A)=12\mathrm{P}(A)=\frac{1}{2}, P(B∣A)=25\mathrm{P}(B|A)=\frac{2}{5} 일 때 P(A∩B)\mathrm{P}(A\cap B) 의 값은?
자세히 보기펼치기외우기 카드예제
공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2분모는 이미 일어난 사건
P(B∣A)=P(A∩B)□\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\square}
단계 1 / 2
P(A∩B)=P(A)×□\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\times\square
예곱셈정리와 거꾸로 쓰기
P(A)=13\mathrm{P}(A)=\frac{1}{3}, P(B∣A)=12\mathrm{P}(B|A)=\frac{1}{2} 이면
P(A∩B)=13×12=16\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}
P(A)=25\mathrm{P}(A)=\frac{2}{5}, P(A∩B)=15\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{5} 이면
P(B∣A)=1525=12\mathrm{P}(B|A)=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}

4비복원 추출

정의비복원 추출
꺼낸 것을 다시 넣지 않고 다음 것을 꺼내는 것을 비복원 추출이라 한다.
두 번째에 꺼낼 때는 남은 개수가 달라지므로, 두 번째 사건의 확률은 첫 번째 결과가 일어났을 때의 조건부확률이다.
다시 넣는 복원 추출이면 각 회의 사건이 서로 독립이다.
예흰 공 55 개, 검은 공 33 개에서 한 개씩 차례로 두 번 꺼낼 때(꺼낸 공은 다시 넣지 않는다) 첫 번째는 흰 공, 두 번째는 검은 공일 확률
첫 번째에 흰 공일 확률은
58\frac{5}{8}
흰 공 한 개를 꺼냈으므로 남은 77 개 중 검은 공은 33 개예요.
37\frac{3}{7}
따라서 구하는 확률은
58×37=1556\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}
학생
꺼낸 공을 다시 넣으면 계산이 어떻게 달라져요?
쌤
두 번째에도 처음과 똑같이 88 개 중에서 꺼내니까 58×38\frac{5}{8}\times\frac{3}{8} 이에요. 첫 번째 결과가 두 번째 확률에 영향을 주지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
빨간 공 22 개, 파란 공 33 개에서 한 개씩 두 번 꺼낼 때(꺼낸 공은 다시 넣지 않는다) 두 번 모두 빨간 공일 확률은?
비복원인데 두 번째 확률을 줄이지 않기
✗ 틀린 풀이
58×38=1564\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{15}{64}
왜 틀렸나 꺼낸 공을 다시 넣지 않으면 두 번째에는 전체 공이 하나 줄어 77 개이므로 분모도 77 이다.
✓ 바른 풀이
58×37=1556\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}
확인 방법: 비복원추출에서는 두 번째 확률의 분모가 첫 번째보다 11 작은지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림
비복원 추출의 확률을 구하는 순서
  1. 1
    일어나는 순서대로 사건을 써요.
    예: 첫 번째 흰 공, 두 번째 검은 공
  2. 2
    첫 번째 사건의 확률을 구해요.
  3. 3
    첫 번째 결과를 반영하여 두 번째 확률을 구해요.
    전체 개수가 11 줄고, 첫 번째에 꺼낸 종류의 개수도 11 줄어요.
  4. 4
    곱셈정리로 곱해요.
예응용
같은 상황에서 두 번째에 검은 공이 나올 확률
두 번째 확률은 첫 번째 결과에 따라 달라지므로, 첫 번째 결과에 따라 서로 배반인 두 경우로 나눠요.
첫 번째 흰 공, 두 번째 검은 공일 확률은
58×37=1556\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}
첫 번째 검은 공, 두 번째 검은 공일 확률은
38×27=656\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}
따라서 구하는 확률은
1556+656=2156=38\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}
첫 번째에 검은 공이 나올 확률 38\frac{3}{8} 과 같아요. 제비뽑기에서 먼저 뽑든 나중에 뽑든 당첨될 확률이 같은 것과 같은 이유예요.
흰 공 55 개, 검은 공 33 개에서 비복원으로 두 번
흰: 2056\frac{20}{56}
검: 1556\frac{15}{56}
흰
흰: 1556\frac{15}{56}
검: 656\frac{6}{56}
검
47\frac{4}{7}
37\frac{3}{7}
57\frac{5}{7}
27\frac{2}{7}
58\frac{5}{8}
38\frac{3}{8}
가지를 따라 곱한 값이 끝에 있어요. 두 번째가 검은 공인 두 가지를 더하면 1556+656=38\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{3}{8} 이에요.
성질동시에 꺼내기와 비교
검산
흰 공 55 개, 검은 공 33 개에서 22 개를 꺼낼 때 모두 흰 공일 확률을 두 가지로 구해 보자.
22 개를 동시에 꺼내면
5C28C2=1028=514\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}
한 개씩 차례로 꺼내고 다시 넣지 않으면
58×47=2056=514\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}
두 값이 같다. 동시에 꺼내는 것은 비복원으로 차례로 꺼내는 것과 같으므로 한 방법으로 구한 값을 다른 방법으로 검산할 수 있다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1사건 AA 가 일어났을 때 사건 BB 가 일어날 확률은 P(B∣A)=P(A∩B)P(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} 이다(단, P(A)>0\mathrm{P}(A)>0).
  2. 2AA 를 새로운 표본공간으로 보면 P(B∣A)=n(A∩B)n(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)} 이다. 분모는 이미 일어난 사건이다.
  3. 3확률의 곱셈정리는 P(A∩B)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A|B) 이다.
  4. 4꺼낸 것을 다시 넣지 않는 비복원 추출에서는 두 번째 확률이 첫 번째 결과에 따라 달라지므로 곱셈정리로 계산한다.
✗ 자주 하는 실수
  • P(B∣A)\mathrm{P}(B|A) 의 분모를 n(B)n(B) 나 n(S)n(S) 로 잡아요. 분모는 이미 일어난 사건 AA 이에요.
  • 분할표에서 조건이 가리키는 행(또는 열)의 합계 대신 전체 합계나 다른 합계로 나눠요.
  • 비복원 추출에서 두 번째 확률의 분모와 분자를 줄이지 않고 첫 번째와 같은 확률을 곱해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 사건 A, BA,\ B 에 대하여 P(A)=25\mathrm{P}(A)=\frac{2}{5}, P(B)=310\mathrm{P}(B)=\frac{3}{10}, P(A∩B)=15\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{5} 일 때, P(B∣A)\mathrm{P}(B|A) 와 P(A∣B)\mathrm{P}(A|B) 를 각각 구하시오.
  2. 예제 2
    어느 동아리 회원 5050 명을 학년과 성별로 조사한 결과가 다음과 같다.남학생여학생합계1학년148222학년161228합계302050\begin{array}{c|cc|c} & \text{남학생} & \text{여학생} & \text{합계} \\ \hline \text{1학년} & 14 & 8 & 22 \\ \text{2학년} & 16 & 12 & 28 \\ \hline \text{합계} & 30 & 20 & 50 \end{array}이 동아리에서 임의로 택한 한 회원이 여학생일 때, 이 회원이 11 학년일 확률을 구하시오.
  3. 예제 3
    당첨 제비 33 개를 포함한 1010 개의 제비가 있다. AA 가 먼저 한 개를 뽑고 BB 가 나중에 한 개를 뽑을 때, BB 가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하시오. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

다음 공부

다음 개념: 사건의 독립과 종속 →
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← 확률의 덧셈정리와 여사건사건의 독립과 종속 →
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