일차방정식의 활용

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

구하려는 것을 미지수로 놓고 수량 사이의 관계로 일차방정식을 세워 푼 뒤, 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인해요. 수·나이·거리·속력·시간·과부족 문제의 기본 꼴을 다뤄요.

1활용 문제를 푸는 순서
2수에 관한 문제
3나이에 관한 문제
4거리·속력·시간에 관한 문제
5과부족에 관한 문제
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1활용 문제를 푸는 순서

문제: 어떤 수의 $3$ 배에서 $5$ 를 뺀 수는 그 수에 $7$ 을 더한 수와 같아요. 어떤 수를 구하시오.
모르는 수를 문자로 놓으면 문장을 그대로 식으로 옮길 수 있어요. 이 문자를 미지수 라 해요.

네 단계로 풀기

1
미지수 정하기: 어떤 수를 $x$ 라 해요.
보통 구하려는 것을 $x$ 로 놓아요.
2
방정식 세우기
$3x-5=x+7$
「 $3$ 배에서 $5$ 를 뺀 수」와 「 $7$ 을 더한 수」가 같아요.
3
방정식 풀기
$2x=12$
$x=6$
4
확인
$3\times6-5=13$
$6+7=13$
방정식이 아니라 문제의 문장에 넣어 확인해요. 개수·사람 수는 자연수인지, 단위는 맞는지도 봐요.

학생

꼭 구하려는 것을

x

로 놓아야 해요?

쌤

보통은 그게 가장 편해요. 하지만 다른 양을

x

로 놓아야 식이 더 간단하면 그렇게 해도 돼요. 그때는 마지막에 구하려는 값을 따로 계산해야 해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

「어떤 수에

4

를 더한 수의

2

배」를 어떤 수

x

로 나타내면?

문장을 식으로 옮길 때

✗ 틀린 풀이

「어떤 수의

3

배에서

5

를 뺀 수」

3(x-5)

왜 틀렸나 문장에서 먼저 하는 계산부터 식으로 옮기므로 「

3

배」를 먼저 하고 그다음에

5

를 뺀다.

✓ 바른 풀이

「어떤 수의

3

배에서

5

를 뺀 수」

3x-5

3(x-5)

는 「어떤 수에서

5

를 뺀 수의

3

배」이에요.
무엇을 먼저 하는지 문장 순서대로 옮겨요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

모르는 수가 두 개이면 연립일차방정식을 세워요.

2수에 관한 문제

공식수를 미지수로 놓는 방법

연속하는 세 정수

\displaystyle x-1,\ x,\ x+1

가운데 수를

x

로 놓으면 합이

3x

로 간단하다.

연속하는 세 짝수(홀수)

\displaystyle x-2,\ x,\ x+2

짝수·홀수는

2

씩 차이 난다.

두 자리 자연수

\displaystyle 10a+b

십의 자리 숫자

a

, 일의 자리 숫자

b

자리를 바꾼 수

\displaystyle 10b+a

십의 자리와 일의 자리 숫자를 바꾼 수

연속하는 세 자연수의 합이

48

(x-1)+x+(x+1)=48

↳◀가운데 수를

x

로

3x=48

x=16

↳◀세 수는

15,\ 16,\ 17

학생

가장 작은 수를

x

로 놓으면 틀려요?

쌤

틀리지 않아요.

x,\ x+1,\ x+2

로 놓아도 답은 같아요. 다만 합이

3x+3

이 되어 계산이 한 단계 늘고, 구한

x

가 가장 작은 수라는 것도 기억해야 해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

연속하는 세 짝수의 합이

42

일 때, 가장 큰 수는?

자세히 보기펼치기예제

예자리를 바꾼 두 자리 자연수

각 자리 숫자의 합이

9

인 두 자리 자연수가 있어요. 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다

27

커요.
십의 자리 숫자를

x

라 하면, 두 숫자의 합이

9

이므로 일의 자리 숫자는

9-x

처음 수는 (십의 자리)

\times10+

(일의 자리)이므로

10x+(9-x)=9x+9

바꾼 수는

10(9-x)+x=90-9x

바꾼 수가

27

크므로

90-9x=9x+9+27

18x=54

x=3

따라서 처음 수는

36

(확인:

63-36=27

)

3나이에 관한 문제

현재 아버지는 $42$ 살, 아들은 $12$ 살이에요. 몇 년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 $2$ 배가 되는지 구해 봐요.
$x$ 년 후에는 두 사람 모두 $x$ 살씩 많아져요.
아버지: $42+x$ (살)
아들: $12+x$ (살)

방정식을 세워 풀기

42+x=2(12+x)

↳◀아버지

=2\times

아들

42+x=24+2x

↳◀괄호를 풀어요

x=18

↳◀확인:

60=2\times30

학생

「몇 년 전」을 묻는 문제는 어떻게 놓아요?

쌤

x

년 전에는 모든 사람의 나이가

x

살씩 적어요. 아버지는

(42-x)

살, 아들은

(12-x)

살로 놓고 똑같이 식을 세워요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

현재 어머니는

40

살, 딸은

10

살이에요. 몇 년 후에 어머니의 나이가 딸의 나이의

3

배가 될까요?

나이를 늘릴 때

✗ 틀린 풀이

42+x=2\times12

x=-18

왜 틀렸나 시간이 흐르면 아버지와 아들의 나이가 똑같이 늘어나므로 아들의 나이도

12+x

로 쓴다.

✓ 바른 풀이

42+x=2(12+x)

x=18

확인 방법:

18

년 뒤 아버지는

60

세, 아들은

30

세로

2

배이다.
답이 음수로 나오면 식을 다시 확인한다.

4거리·속력·시간에 관한 문제

공식세 양 사이의 관계

거리

\displaystyle (\text{거리})=(\text{속력})\times(\text{시간})

속력

\displaystyle (\text{속력})=\frac{(\text{거리})}{(\text{시간})}

시간

\displaystyle (\text{시간})=\frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}

시간의 합이 주어지면 이 식으로 시간을 나타내어 더한다.

(거리) $=$ (속력) $\times$ (시간)을 기억하면 나머지 두 식은 나눗셈으로 바꾸어 얻어요.
속력이 시속이면 시간은 「시간」 단위로 맞춰요.
$20$ 분은 $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ 시간이에요.

단위 맞추기

시속

4

km 로

20

분 동안 간 거리

✗ 틀린 풀이

4\times20=80

(km)

왜 틀렸나 시속은

1

시간에 가는 거리이므로

20

분을

\frac{1}{3}

시간으로 바꾸어 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

4\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}

(km)

확인 방법:

1

시간에

4

km 가므로

1

시간보다 짧은

20

분 동안에는

4

km 보다 적게 간다.

두 지점 사이를 갈 때는 시속 $4$ km, 올 때는 시속 $6$ km 로 걸어 모두 $5$ 시간이 걸렸어요.
거리를 $x$ km 라 하면 (갈 때 시간) $+$ (올 때 시간) $=5$ 예요.

갈 때와 올 때 속력이 다른 왕복

\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=5

↳◀시간

=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}

3x+2x=60

↳◀양변에

12

(

4

6

의 최소공배수)를 곱해요

x=12

↳◀거리는

12

학생

왕복 문제에서는 왜 시간끼리 더해요?

쌤

갈 때와 올 때 속력이 달라서 속력은 더할 수 없지만, 걸린 시간은 그대로 더할 수 있어요. 그래서 구간마다 시간을

\frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}

로 나타내 더해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

시속

3

km 로

40

분 동안 걸은 거리는?

자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

$12$ km 떨어진 곳까지 처음에는 시속 $6$ km 로 달리다가 도중에 시속 $3$ km 로 걸어 모두 $3$ 시간이 걸렸어요.
달린 거리를 $x$ km 라 하면 걸은 거리는 $(12-x)$ km 예요.

12

km 를 두 구간으로 나누기

달린 거리가

x

km 이면 걸은 거리는

(12-x)

km 예요. 시간

=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}

를 구간마다 더해요.

도중에 속력을 바꿀 때

\frac{x}{6}+\frac{12-x}{3}=3

↳◀달린 시간 + 걸은 시간

x+2(12-x)=18

↳◀양변에

6

(

6

3

의 최소공배수)을 곱해요

24-x=18

↳◀괄호를 풀어 정리:

x+24-2x

x=6

↳◀달린 거리는

6

5과부족에 관한 문제

학생들에게 사탕을 나누어 주는데 $3$ 개씩 주면 $5$ 개가 남고, $4$ 개씩 주면 $7$ 개가 부족해요.
학생 수를 $x$ 명이라 하고 사탕의 개수를 두 가지로 나타내요.
$3$ 개씩 주고 $5$ 개가 남으면 사탕은 $3x+5$ (개)
$4$ 개씩 주려면 $7$ 개가 모자라므로 사탕은 $4x-7$ (개)
나누어 주는 방법이 달라도 사탕의 개수는 같아요.

방정식을 세워 풀기

3x+5=4x-7

↳◀사탕의 전체 개수는 같아요

-x=-12

↳◀이항해요

x=12

↳◀학생

12

명

3\times12+5=41

↳◀사탕

41

개 (확인

4\times12-7

)

학생

학생 수 대신 사탕의 개수를

x

로 놓아도 돼요?

쌤

돼요. 그러면 학생 수를

\frac{x-5}{3}=\frac{x+7}{4}

처럼 두 가지로 나타내 등호로 이어요. 분수가 생겨 번거로워서 보통은 학생 수를

x

로 놓아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

학생들에게 공책을

2

권씩 주면

4

권이 남고,

3

권씩 주면

6

권이 부족해요. 학생 수는?

부족할 때의 식

✗ 틀린 풀이

4

개씩 주면

7

개가 부족

4x+7

왜 틀렸나

7

개가 부족하면 가진 양은 필요한 양

4x

보다

7

개 적으므로

4x

에서

7

을 뺀다.

✓ 바른 풀이

4

개씩 주면

7

개가 부족

4x-7

기억 요령: 남으면 더하고 부족하면 뺀다.
예를 들어 「

4

개씩 주면

3

개가 남는다」는

4x+3

이다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1활용 문제는 ① 구하려는 것을 미지수 $x$ 로 놓고 ② 수량 사이의 관계로 방정식을 세운 뒤 ③ 방정식을 풀고 ④ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인하는 순서로 푼다.
2연속하는 세 정수는 $x-1,\ x,\ x+1$ , 연속하는 세 짝수(홀수)는 $x-2,\ x,\ x+2$ 로 놓는다. $a$ 년 후에는 모든 사람의 나이가 $a$ 살씩 많아진다.
3(거리) $=$ (속력) $\times$ (시간), (시간) $=\frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}$ . 단위를 먼저 맞춘다.
4과부족 문제는 나누어 주는 방법이 달라도 전체 개수는 같다는 것으로 방정식을 세운다.

✗ 자주 하는 실수

「어떤 수의 $3$ 배에서 $5$ 를 뺀 수」를 $3(x-5)$ 로 써요(바른 식은 $3x-5$ 예요).
시속과 분을 그대로 곱하는 등 단위를 맞추지 않아요.
과부족 문제에서 「부족하다」를 $+$ 로 써서 $4x+7$ 로 나타내요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
연속하는 세 홀수의 합이 $57$ 일 때, 세 홀수를 구하시오.
예제 2
집에서 도서관까지 갈 때는 시속 $3$ km 로 걷고, 올 때는 갈 때보다 $2$ km 더 먼 길을 시속 $4$ km 로 걸었더니 모두 $4$ 시간이 걸렸다. 갈 때 걸은 거리를 구하시오.
예제 3
학생들에게 공책을 나누어 주는데 한 명에게 $5$ 권씩 주면 $3$ 권이 부족하고, $4$ 권씩 주면 $6$ 권이 남는다. 학생 수와 공책 수를 구하시오.

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